2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标A

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)(课标I)-选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合M x | _1乞x，x| _2乞x岂代，则Mp| B =()A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)(2)若tan：0,则A.sin :-0B.COS二:0C.sin 2二:0D.cos2二：0(3) 设z1i，则|z|-1 +i1.23A.Bc.D. 222222(4) 已知双曲线x21(a0)的离心率为2,则 a =a3一65A. 2B.C.D. 122(5)设函数f(x),g(x

2、)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是A.f (x)g(x)是偶函数B.| f (x)| g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.| f(x)g(x)|是奇函数(6)设D, E, F分别为ABC的三边BC, CA, AB的中点，贝U EB FC二.1 -1 A.ADB.ADC.BCD.BC2 2JIH(7)在 函 数 y=cos|2x|，y=|cosx|，y=cos(2x )，y = tan(2x)中，最小正64周期为:的所有函数为A.B.C.D.(8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是A.三棱锥 B

3、.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱(9)执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为 1,2,3，则输出的M=()2071615A.B.C.D.5(10)已知抛物线 C:y2=x的焦点为F,A(xo，y0是 C 上一点，AF =：xo，则X。=()A. 1 B. 2 C. 4 D. 8x + y兰a(11 )设x，y满足约束条件且x ay的最小值为 7,则a =lx-y兰-1,A. -5B. 3C. -5 或 3D. 5或-3(12 )已知函数f (x)二ax3-3x2 1，若f (x)存在唯一的零点x，且x00,则a的取值范围是A.2,： B.1,： C.-:, -2D. 一：，T从某企业生产

4、的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得第 II 卷:、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 _.(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为. Xe ,xc1,(15)设函数f(x)=*i_贝U使得f(x*2成立的x的取值范围是.lx3,X王1,(16)_ 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点

5、的仰 角.MAN =60,C点的仰角.CAB =45以及MAC =75;从C点测得.MCA = 60 已知山高BC =100m，则山高MN =m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 12 分)已知是递增的等差数列，32,34是方程x2-5x 0的根。(I) 求31的通项公式；(II) 求数列旦1的前n项和2n(18)(本小题满分 12 分)如下频数分布表:质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:烦率(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组

6、中的数据用该组区间的中点值作代表)；(III )根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的 80% ”的规定？(19) (本题满分 12 分)如图，三棱柱ABC -ABQ中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O,且AO 平面BB1C1C.(1)证明：B1C - AB；(2)若AC AB1,CBB1=60 ,BC =1,求三棱柱ABC - ABC的高.从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得已知点P（2,2），圆C：x2 y2-8y = 0，过点P的动直线I与圆C交于A, B两点，线段AB的中

7、点为M,O为坐标原点.（1 ）求M的轨迹方程；（2）当OP =OM时，求I的方程及心POM的面积（21）（本小题满分 12 分）1 _ a设函数f x =aln x -x2-bx a1，曲线y =f x在点1, f 1处的切线斜率为 0（1 ）求 b;a（2）若存在X。-1,使得f x0，求 a 的取值范围。a -1请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是 LO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB =CE.（I）证明：.D二/E；（II）设

8、AD不是 LIO的直径，AD的中点为M，且MB MC证明：ABC为等边三角形（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4 :坐标系与参数方程2 2已知曲线C：汁計1，直线门x =2 + t片2-2t（t为参数）(1 )写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与I夹角为 30的直线，交I于点A，求PA的最大值与最小值(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5 ;不等式选讲11 若a 0,b . 0,且aba b33(I)求a b的最小值；(II)是否存在a,b，使得2a 36?并说明理由参考答案一、 选择题1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12.

9、BA二、 填空题213.14. A 15.(-：,816. 1503三、 解答题17.解：(1)方程x2-5x *6=0的两个根为 2，3，由题意得因为a2,a313设数列a*的公差为 d，则a4-a2=2d，故d，从而ai :221所以an的通项公式为ann V2aa n亠2(2)设才的前n项和为Sn，由(1)知扌 k，贝UA.232n 1n 12* 1n 22*2-得19.1311 n 1_Sn=_+F+r+ Tn34n 124222311、n 24(1一尹丁n +4所以，&=2 -齐(1)4 分(2)质量指标值的样本平均数为-80 6 90 26 100 38 110 22 120 8x

10、100100质量指标值的样本方差为J =(-20 ,2X0 06 +(-1 0?X0.26十0 x0 38 + 102x0.22+ 202x 0.08 =104所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为 104.10 分38 22 8(3)依题意=68% 80 %100所以该企业生产的这种产品不符合质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定。(1)证明:18解:12 分1BB1C1C为菱形，所以BC _ BCi又AO _平面BB1C1C,所以BjC_ AO,故BjC _平面 ABO由于AB 二平面 ABO，故B1C _ AB.(2)解：做OD _ BC，垂

11、足为 D,连接 AD,做OH _ AD，垂足为 H。由于BC _ AO, BC _ OD，故BC _ 平面 AOD，所以OH _ BC又OH _ AD，所以OH _平面 ABC因为CBBi=60；，所以.CBB1为等边三角形，又11由于AC _ ABi，所以AOB1C二-22又O为BiC的中点，所以点Bi到平面ABC的距离为，故三棱柱20.解：(i)方法圆C的方程可化为x2，(y-4)2=i6，所以，圆心为C(0,4)，半径为 4,设M (x, y)，则CM = (x, y -4), MP = (2 - x, 2 -y),由题设知CM MP =0，故x(2 -x) (y -4)(2 - y)

12、=0，即(x -i)2(y -3)2=2连接BCi，则0为BiC与BCi的交点，因为侧面由OHAD二=62OA十，得OH二唸BC -1，可得ODABC - A BiCi的高为.7i2 分由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(X-1)2 (y-3)2=2方法二：圆C的方程可化为X2(y-4)2=16，所以，圆心为C(0,4)，半径为 4,设M (X, y)，则隔=汙，匕=宁y - 2 y - 4kABkCM一1化简得，x2y2-2x-6y 8=0，即(x-1)2(y - 3)2= 2所以M的轨迹方程是(x -1)2(y -3)2=2(2)方法一：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，

13、.2为半径的圆由于|OP |=|OM |，故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上，从而ON _ PM1因为ON的斜率为 3,所以I的斜率为-丄，31 8所以I的方程为y = x 833又|OM |=|OP| = 2.2，O到I的距离为 幻0PM卜乞10，所以-POM的面积为55165方法二：依题意，|OP| = 2I2，因为|OM |=|OP|=2、.2所以，M 也在X2y8上2y 二 82y2x6y 8 二 0lx2所以2X1 8两式相减，得_2x-6y 16=0,即卩y x，此方程也就是I的方程33由(1)知，M的轨迹方程是(x -1)2(y _3)2=2,设此方程的圆心为N，则N(1

14、,3)又| NP|(1-2)2(3 - 2)2280到1的距离.101816I的方程为y x，POM的面积为 一335由题设知f=a - (1 -a) -b =0解得bT. 4分1 - a )解：f (x)的定义域为(0,=)，由(1)知，f (x) =aln x x -x,2* a1-a af (x)(1 -a)x -1(x )(x -1)xx 1 a(i)若a空1,U -1,21-a故当x (1,：)时，f (x)0, f (x)在(1,：)单调递增，a所以，存在x0-1，使得f (x0)的充要条件为a T1 -a , a即1：所以,OM12辽2.10521.(1)解:f(X)=旦(1 -

15、 a)x -bx所以d二|19 -8|10综上所述,f (1)aa 1所以|MP |=24. 1052 a -1解得2 1：a八2 -11cd.(ii)右a : 1，则 一21 -a故当x (1,时，1 -a当x (，:：)时，1 -a22.（本小题满分 10 分）所以f(x)在(1,旦)单调递减,1 -a所以，存在Xo-1，使得f (Xo)（，：）单调递增,1 -aa-a -1aa的充要条件为f ()1 a a 1而f()1 - alna，所以不合题意1 -a 2(1 -a) a -1 a -1(iii)若a 1，则f(1) =- a a -1 a1 =22 a -1综上所述，a的取值范围是

16、（-、.2-1,2-1）_.（1,： ）12 分（1）证明：由题设得，A，B，C,D 四点共圆，所以，D - CBE又：CB二CE,CBE E（2）证明：设BC的中点为N，连结MN，则由MB二MC知MN _ BC，故O在直线MN上又AD不是L O的直径，M为AD的中点，故OM _ AD，即MN _ AD23.解:所以AD/BC，故A=/CBE又.CBE =/E，故.A=/E，由（1）知，.D =/E，所以ADE为等边三角形。10 分x = 2cos日（1）曲线C的参数方程为.（v为参数）_y =3si n日直线I的普通方程为2x y -6 =0（2）曲线C上任意一点P（2cos，,3sin旳到I的距离为由于436，从而不存在a, b，使得2a 3b = 610 分24.解:_ 112(1)由. /ab，得ab亠2，且当a =b -2时等号成立a b Jab故a3b2 a3b3_4 2，且当a二b、2时等号成立所以a3b3的最小值为4、2. 5 分(2)由(1)知,2a 3b _2、6、託_4、.3d5| 4cos v 3sin - 6 |5则| PA|= 乙5|5sin（ ?匕）-6 |，其中:sin 305为锐角，且tan：=43当sin (J 1时，| PA|取得最大值，最大值为22.55当sinG =1时，|PA|取得最小值，最小值为2510 分