特别解析汇报：线性规划求最值

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1、特别解析：线性规划求最值、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题x - 2 0取值范围是().(A) 2, 1( B) :-2, 1 :(C) 1, 2( D) : 1 , 2解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z = x-y ,变形为y = x -z，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线.-z是直线在y轴上的截距.当直线满足约束条件且经过点 取得最大值为2;直线经过点(0, 1)时，目标函数z=x-y取得最小值为1.故选(C).注：本题用交点法”求出三个交点坐标分别为(0, 1), (2, 1), (2, 0),然后再代入目标函数求出 z=x-y的取值范围为-1, 2更为简单.x y

2、 _0 I例2已知实数x、y满足约束条件 0,贝U z=-的最大值是/x2y -3 0,解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC(如图2) , z=-=-匚0表示两点x x 00(0,0) P(x, y)确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图2可以看出直线 OP的斜率最大，故P为x2y4 = 0与2y3 = 0的交点，即A点. P 1,总故答案为3 I 2丿2注：解决本题的关键是理解目标函数z=-=上的x x0几何意义，当然本题也可设y =t,则y =tx，即为求xy =tx的斜率的最大值.由图 2可知，y =tx过点A时,t最大代入y =tx，求出

3、t = 3 ,23即得到的最大值是-.2例3.已知实数x、y满足不等式组y2乞4x _0,求函数的直线族.问题的几何意义：求过半圆域x2y2空4(x 0)上任一点与点P(T,-3)的直线斜率的最大、最小值.由图知，过点P和点A(0, 2)的直线斜率最大，zmax二2一(一3) =5 过0 一(T)点P所作半圆的切线的斜率最小. 设切点为B(a,b)，则过B点的切线方程为ax by = 4 又B在半圆周上,P在切线上，则有- 2 2a b二4解得a - 3b = 4-2+3屈a =!5厂b=6I5因此Zmin、平面内两点间的距离型(或距离的平方型)，构造两点间的距离公式法解决最值问题!x y -

4、仁 0例5 已知实数x、y满足 0,例6 已知x y - 4 0,求z二x y -10y 25的最小值.2x-y -5w 0,解析：作出可行域，并求出顶点的坐标 A( 1,3)、B( 3, 1 )、C( 7 9) 而z = x2 (y-5)2表示可行域内任一点(x, y)到定点M( 0, 5)的距离的平方，过 M作直线AC的垂线，易2 9知垂足N在线段AC上，故z的最小值是 MN =工2注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离等.四、点到直线的距离型例7已知实数x、y满足2x y _ 1,求u = x2 y2 4x _ 2y的最小值。解析：目标函数u = x2

5、y2 4x2y二(x - 2)2 (y1)2 -5，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示Iy(-2,1) 1h.O12x2x+y=1点(-2,1)至问行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得d2 (-2) 1一1|4.55，故d2169-5 = 一一55x - y 2 0,例8 已知x，y-4 0,，求x2 y2 - 10y 25的最小值.2x -y -5 w 0,解析：作出可行域，并求出顶点的坐标 A( 1,3 )、B( 3,1 )、C( 7 9).而z = x2，(y-5)2表示可行域内任

6、一点(x, y)到定点M( 0, 5)的距离的平方，过 M作直线AC的垂线，易2知垂足N在线段AC上，故z的最小值是 MN =五、变换问题研究目标函数例9(08年山东)已知x y _2，且z =2x y的最大值是最小值的 3倍，a等于()x _ a解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，z = 2x y在 A点和B点分别取得最小值和最大值.由 x=a/曰；x + y =2/曰丿得A(a, a)，由得y=xM = y1旳,1).二 zmax =3,Zmin =3a.由题意，得 a .。3六、综合导数、函数知识类例10（ 06山东）已知函数f（x）的定义域为

7、-2,；），部分对应值如下表，f（x）为f（x）的导函数，函数y二f （x）的图象如右图所示若两正数a，b满足f（2a - b） : 1,则丄-3的a十3x-204f (x)1-11分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0,:）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得-2 ： 2a b ： 4，另外注意到丄卫的几何意义，转化为线性规划问题可求解。a +3解析：由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0，:：）为单调递增函数，又f （-2） =1,

8、 f（0）二1, f （4） =1，故 -2 ： 2a b ： 4，而 a,b 均为正電i4JF7 y/2*(-3,-3)数，可得可行域如图,b 3故最大为点（0, 4），仝的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围,a 34+37此时为=一，最小为点（2，0），此时为0+33七、在日常应用中解决最值问题例.（2009山东卷文）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为 200元,设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产

9、品140件,所需租赁费最少为 元.答案 2300解析 设甲种设备需要生产 x天，乙种设备需要生产 y天，该公司所需租赁费为 z元设备A类产品(件)( 50)B类产品(件)( 140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则z =200x 300y，甲、乙两种设备生产 A,B两类产品的情况为下表所示则满足的关系为5x 6y - 50*10x + 20y 绡40即:xO, y K0x 6 y _10x 2y _14x _0,y _0作出不等式表示的平面区域61 xy = 10,当200x 300 y对应的直线过两直线的交点x 2y =14(4,5)时，目标函数 z = 200x 300y

10、取得最低为2300元.附：线性规划常见题型及解法求线性目标函数的取值范围x乞2I例1、 若x、y满足约束条件 y _ 2x y _ 2范围是 ()A、 2,6B、2,5C、3,6解：如图，作出可行域，作直线，则 z=x+2yD、（ 3,5I : x+2y = 0,向右上方平移，过点A ( 2,0 )时，有最小值2,过点B ( 2,2 )时，有最大值6,故选A二、求可行域的面积2x y - 6 _ 0I例2、不等式组 xy_30表示的平面区域的面积为（1 ）。八2解：如图作出可行域，Sa abc即为所求，由S弟形OMBC减去S梯形OM A 即可。三、求可行域中整点个数例3、满足|x|+ |y|

11、2的点（x ,都是整数）有（13个 ）x + y 兰 2x v 兰 2 解：|x|+ |y|0） 取得 最小值的最优解有无 数个，a的值为（）A、一 3B、3C、 一 1D、1解：如图，作出可行域，作直线I : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay（a0） 取得最小值的最优解有无数个，则将I向右上方平移后与直线x+y = 5重合，故a=1 ,选D五、求非线性目标函数的最值2x y - 2 _0例5、已知x、y满足以下约束条件x2y + 4兰0J3x _ y _ 3 兰 0,贝H z=x 2+y 2x -2y + 4x2x + y - 2=3x -y _3的最大值和最小值分别是()A、13

12、 , 1B、13 , 2 C、13 , 4D、13 , 555解：如图，作出可行域,x 2+y2是点(x , y)到原点的距离的平方，故最大 值为点A( 2,3)到原点的距离的平方，即|AO| 2=13，最小值为原点到直线42x + y 2=0的距离的平方，即为一，选Co5六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x y + m| v 3表示的平面区域包含点A、( -3,6 )B、( 0,6 )C、( 0,3 ) D、( -3,3(0,0 )和(一1,1 ),则m的取值范围是()解: |2x y + m| v 3 等价于 2x 一 y m 302x y + m 3c0由右图可知 m 33 ,故0v mv 3,选C.m 3 1, x+ y 7w 0,则y的取值范围是(A) |, 6(B)(-汽 | U 6 ,+)(C)(汽 3 U 6 ,+)( D) 3 , 6解析：-是可行域内的点 M( x, y)与原点Ox59 y(0, 0)连线的斜率，当直线 0讯点(2 , 2)时，x取得 最小值5；当直线OM过点(1, 6)时，-取得最大值6.答案A