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1、导数的应用21. (本小题满分13分)已知曲线C : y =eax .(I)若曲线C在点(0,1)处的切线为3=2 m，求实数a和m的值；(n)对任意实数 a，曲线C总在直线I : y -ax b的上方，求实数 b的取值范围.2. (本小题满分13分)lx In x,x a,已知函数f(x)二 2其中a0 .-x +2x3, xa,(I)当a =0时，求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程；(n)如果对于任意 Xt,x2 R，且石：x2，都有f (xj :： f(x2)，求a的取值范围.3. (本小题满分13分)设函数 f(x)=x2、axlnx(a ：= R).(I)若a =1，
2、求函数f x的单调区间；(n)若函数f(x)在区间(0,1上是减函数，求实数 a的取值范围；(川)过坐标原点 O作曲线y= f (x)的切线，证明：切点的横坐标为1.1解(i) yaeax, 2分因为曲线C在点(0, 1)处的切线为L： y = 2x m ,所以1 =2 0 m且yx卫=2 . 4分解得 m =1 , a = 2 5分(n)法 1：对于任意实数a,曲线C总在直线的y=ax的上方，等价于?x， a R，都有 eax ax b，即？x, a R， eaxax-b 0 恒成立， 6分令 g(x)二eax _ax -b， 7分 若 a=0,则 g(x) =1 -b，所以实数b的取值范围
3、是b 1 ； 8分 若 a =0，g(x) =a(eax-1)，由 g(x) =0 得 x =0， 9分g(x),g(x)的情况如下：x0(0,+)g(x)0+g(x)极小值/11分所以g(x)的最小值为g(0) =1 -b， 12分所以实数b的取值范围是b 1 ；13分综上，实数 b的取值范围是 b 1 .法2：对于任意实数 a,曲线C总在直线的y =ax b的上方，等价于?x, a R，都有 eax ax b，即?x， a R， b：eaxax恒成立,令t二ax，则等价于？t R，et -t恒成立,令 g(t) = e t，贝V g (t) = e 1，7分ii分由 g(t) =0得t =
4、0 ,分g(t),g(t)的情况如下:t(-,o)0(0严)g(t)0+g(t)极小值/12分13分所以g(t)二et t的最小值为g () -1,实数b的取值范围是b ： 1 .2.(本小题满分13分)(I )解：由题意,得f(X)= (xln x) =ln x 亠1,其中x 0 ,分所以f=1 ,又因为f(1) =0,所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y =x 1 .4分(n ) 解：先考察函数g(x)二-X2 2x -3 ,R的图象,配方得2g(x)二 -1)-2, 分 所以函数g(x)在(-：,1)上单调递增，在(1,；)单调递减，且g(x)max二g(1)=2
5、. 6分因为对于任意人必 R ,且 N ：x2,都有f (xj ： f (x2)成立，所以 a1 .以下考察函数h(x) =xlnx , x，(0,；)的图象,则 h (x) =1 n x 1,1令 h(x)=lnx 1=0，解得 x .分e随着x变化时，h( x)和h (x)的变化情况如下：X1(0,T e1 e1(-,畑)ehH(x)0+h(x)/11 11 即函数h(x)在(0,)上单调递减，在(，：)上单调递增，且h(X)min =h()=-eee e11分因为对于任意x, xR ，且X!：X2，都有f(xj： f(X2)成立，所以1a . 1 分e1因为一-(即h( :m) i n
6、g( x), 所以a的取值范围为eI1, 1. 1分 3.(本小题满分13分)2解：(I) a T 时，f (x) = x ax In x (x 0),(2x1)(x+1)1.f (x) =2x 1 -x1 1x (0 2),f (x)：0,x (?, ；),f (X) 0 ,11f(x)的减区间为(0,1)，增区间(丄，；) 3分221(n) f (x) =2x a -xQ f (x)在区间(0，1上是减函数，f (x) -0对任意(0,1恒成立，1即2x a -1 0对任意(0,1恒成立，5分x1.a 2x对任意(0,1恒成立,x1令 g(x) 2X,Xa -g(x)min ,易知 g(x
7、)在(o,单调递减，.g(x)min =g(i)-1.a 乞 _1. 8 分1(川)设切点为M(t,f(t) , f(x)=2xa_x切线的斜率k =2t a -1，又切线过原点k =, tt-1 lnt =0 , 1分f t12222t a ，即：t2 at _lnt =2t2 at _1,. t2 tt存在性：t =1满足方程t2 -1 ln t =0,所以，t =1是方程t2 -1 lnt=0的根. 2 1再证唯一性：设t=t -1 lnt , t =2t 0(t)在(0,；)单调递增，且：1 =0 ,所以方程t2 -1 Jnt =0有唯一解.综上，切点的横坐标为 1. 13更多试题下载：(在文字上按住Ctrl即可查看试题)高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查看更多高考相关试题【下载】
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