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1、第第8讲函数与方程讲函数与方程知 识 梳 理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 x轴 零点 (3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二
2、分法f(a)f(b)0 (a，b) f(a)f(b)0 一分为二 辨 析 感 悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ()(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，则函数f(x)有零点()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点()(5)(2012湖北卷改编)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为2.()(6)(2013广州模拟改编)已
3、知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(2,0)()感悟提升1一点提醒函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，如(1)2三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在a，b上单调且f(a)f(b)0，则f(x)在a，b上只有一个零点.规律方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函
4、数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点答案(1)(2)1 规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用解析画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1. 答案(0,1
5、)考点三与二次函数有关的零点分布【例3】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由审题路线由f(x)在1,3上只有一个零点f(x)0在1,3上有且只有一个实数根计算知0恒成立令 f(1)f(3)0求出a的范围对端点值检验得出结论规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间
6、(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围1函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 创新突破2函数的零点与函数极值点的交汇【典例】 (2013安徽卷改编)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为_突破：条件“函数f(x)x3ax2bx
7、c有两个极值点x1，x2”等价于“方程f(x)3x22axb0有两个不等实数根x1，x2”；条件：“若f(x1)x1x2，关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的根”等价于“方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等实根，f(x)x1，f(x)x2”解析f(x)3x22axb，原题等价于方程3x22axb0有两个不等实数根x1，x2，且x1x2，x(，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(x1，x2)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(x2，)时，f(x)0，f(x)单调递增x1为极大值点，x2为极小值点方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等实根，f(x)x1，f(x)x2
8、.f(x1)x1，由图知f(x)x1有两个不同的解，f(x)x2仅有一个解答案3 反思感悟 (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数转化为f(x)x1与f(x)x2的根的个数之和(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想【自主体验】(2014广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为_解析由题意，知f(x)ex10恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函数f(x)的零点a(0,1)；答案f(a)f(1)f(b)
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