382高级微观经济学

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1、1高级微观经济学经济学院桑乃泉2教材:高级微观经济理论 上海财经大学出版社 Geoffrey A.Jehle Philip J.Reny31.2.2 效用函数 定义 实值函数 是表示偏好关系的效用函数，如果( ):nuRR01x ,x,nR01xx01(x )(x )uu4 定义在消费集 上的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数来表示： nR( ):nuRR5首先证明A、B 为闭集e=(1,1,.,1)entX R0t :0 xAtte:0 xBtte2x1x0exu(x)eoBA6 nnnnC= te|t0 xxCx ,Cx1f:,f(x)x ,fnA=f Cx,Bf

2、 CxAB+是的闭集由的连续性得，是的闭集均为的闭集定义连续所以 、 都是闭集 范范7然后证明A、B为闭区间tA, t t, t ete,t etex,tAABA= t,B0, t任取若那么由的严格单调性，因此，从而 是一个闭区间同理 也是一个闭区间，即,+贩8再证明A与B的交集非空t0, tex tex,tAtB AB= 0 +tt,AB任取由的完备性，或者所以, 或者 则，从而非空范9证明A与B的交集只含唯一元素*tAB AB*xxt et e而且范*ext而且 是唯一的。因为：*t假设12exextt和12eett12tt（严格单调性）（传递性）+x R存在唯一的 *u x0t u x

3、ex使得10证明 代表偏好关系(x)u12x ,xnR由P.1（）式得到1(x )u2(x )u和12xx12(x )e(x )euu（传递性）12(x )(x )uu（严格单调性）111xu( )e1xx21x0e2xu( x2 )e12最后证明 是连续函数1( , )ua bn+x(x)aubR效用函数在开区间上的原象n+xe(x)eeaubRn+xexeabR( e)( e)ab （定义）（单调性）（传递性）是开集（因为( e)( e)ab和的补集是闭集）(x)u131( , )ua b连续( ):nuRR是开集14效用函数的单调变换 表示偏好关系 (x)u01xx01(x )(x )u

4、u(x)(x)8vu3(x)(x)vu2(x)(x)vuu u u 15正单调变换(x)( (x)vf u:fRR其中 在 的取值范围上是严格递增函数。u16 定理1.2： 效用函数对正单调变换的不变性 实值函数 能够表示偏好系，那么它的正单调变换也能够表示该偏好关系。(x)u17 12121212xxu xu xf u xf u x(f(.)v xv x为单调函数所以，v(x）也能代表偏好关系18定理1.3 偏好性质与效用函数令 是由 表示，那么1 当且仅当 是严格单调的，u(x) 是严格递增2 当且仅当 是凸的，u(x) 是拟凹的3 当且仅当 是严格凸的， u(x) 是严格拟凹的( ):n

5、uRR19(x)u拟凹具有凸性t12(x )min (x ), (x )uuu12xxt2xx0,1t 证明定理1.3之二t2u xu x20(x)u拟凹具有凸性t122(x )min (x ), (x )(x )uuuu12xx ，t2xx0,1t 21 效用函数与无差异曲线012( ,)u x xu无差异集：000(x )x(x)(x )uuuL021( ,)xg x u1x2x0 x0(x )L22上优集(Superior Set)0()L u1x2x0 x2x【严格上优集】3x0()S u00()x x, (x)S uX uu00()x x, (x)S uX uu23 (x)u严格递增

6、严格单调00 xx ,x( (x )S u 都有0()L u1x2x0 xx0()S u24可导性无差异曲线光滑(x)u边际效用(x)iiuMUx0（偏好单调性）0（偏好严格单调性）【几乎处处成立】25是凹函数(x)u 拟凹 边际效用递减26效用函数实例拟线性偏好效用函数1221(,)()uxxv xx27 CES效用函数1/1212( ,)u x xxx281.3 消费者问题29消费者选择 偏好关系： 消费集： 可行集： 最优化选择：nX RBX*xB*xx都有xB使得30偏好与效用函数 假设消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性，并且严格凸的。 那么这种偏好关系可由一个连续的、

7、严格递增的并且严格拟凹的实值函数 来表示。（根据定理1.1和1.3）(x)u31消费者最优化问题(x)ux XMax. .stp xy32最优化图解预算集预算集B弱偏好集33预算集B 预算收入市场价格yp0np,+xpxyByR预算集：p0B非空0BB是有界、闭集预算集B为紧集34复习: (威尔斯拉斯)极值存在性定理*f SSxS xS, f(x)f(x)f(x ), xS 设 :是一个连续实值映射，是一个非空的紧子集，那么存在一个向量与另一个向量使得：35效用函数极值存在性(x)u则 是 上的连续函数B 效用函数存在极大值如果满足假设1.2B由于 同时又是紧集36极值的唯一性如果偏好关系满足

8、严格凸性，可行集B也是凸集，那么消费者最优解唯一证明：122xx()(x )uu1假设 ，都是最优选择,有xB是凸集t12xx(1)xttBt12(x )min (x ), (x )uuu：严格凸(x)u是严格拟凹函数与假设矛盾假设不成立解是唯一的1(x )u37极值的唯一性：举例 非凸偏好1x2xx1x238极值的唯一性：举例 非严格凸偏好1x2xx1x2t12xx(1)xtt0,1t39瓦尔拉斯法则*p xy*p x y若*x0 p(x + x)u(x) *与x 是最优解矛盾最优解总要把钱花光40极值的性质 偏好的理性、连续性 偏好的严格凸性 偏好的递增性存在性唯一性瓦尔拉斯法则p,x(p

9、, ):yyB R马歇尔需求函数41极值的充要条件 如果偏好具有良好性质， 可导(x)u(x)ux XMax. :stp xy(x, )(x)(p x)uy L42Kuhn-Tucker条件*(x )0iiiupxxL*y p x0 *(y p x ) 0 *0,0ix43 由瓦尔拉斯法则， Kuhn-Tucker条件可以简化为等式约束*(x )0iiupx1,2,.,in*yp x =0 44定理1.4 内点解必要条件的充分性 如果效用函数连续、拟凹，在 处可导，而且 ， 。那么满足以下必要条件的解一定是消费者的效用最大化解。*x*x0(p, )0y*(x )0iiupx1,2,.,in*y

10、p x =0 45解的充要条件(x)u拟凹10(x)(xx )0u10(x )(x )uu如果设*x ,（）*(x )u存在，是(1.10)的解*(x )pu*p x =y有：证明46极值的充要条件假设*x不是消费者的效用最大化选择,即00*x,(x )(x )nuuR0s.t. p xy(x)u连续性0,1t ，使得0*( x )(x )u tu0. . p xstty 10 xx t令*1*(x )(xx )u*1*p (x -x ) *( - )=0y y与u(x)拟凹性矛盾47定理1.5 需求函数的可微性 设 在 下消费者的最优选择。如果有 加边海赛矩阵的秩不 等于0。*x000(p ,)0y(x)u是 上的二次连续可微函数n R(x)/0iux1,2,.,in(x)u*00 x (p ,)y在00(p ,)y可微。那么48例1/1212( ,)u x xxx1/121 122()xxyp xp x12( , )x xL1/(1)111/(1)1/(1)12(p, )pyxypp1/(1)221/(1)1/(1)12(p, )pyxypp49角点解如果那么最优解位于可行集的角上*(x )iiupx0*x0050角点解 拟线性偏好51角点解 线性偏好24421212( ,)u x xxx12(,)(1,2)p p10y x(p, )=(10,0)yx1