数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。曲线方程及圆锥曲线典型例题解析一知识要点1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、

2、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何

3、性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、

4、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线

5、有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。二典例解析题型1：求轨迹方程例1（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有 当与相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得

6、，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。（2）如图，设点坐标各为，在已知双曲线方程中，已知双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例2（2001上海，3）设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21设P（

7、x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04y21x24y21 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3（1）设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则F1AB的面积最大为（ ） A. B. C. D. （2）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. 2D. （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为（ ） A. 10B. C. D. 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又

8、，F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为。所以F1AB的面积最大值为cb。点评：抓住F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：， 又，所以，从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又，从而。故选B。点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。（3）解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知： ， 所以。 由平面几何知识，即，而， 所以。点评：由PAF成立的条件，再延伸到

9、特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。例4（1）（06全国1文，21）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.求该椭圆的标准方程；若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解析：（1）依题意可

10、设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因为|y|1,a>1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值，若1<a<,则当y=1时, |PQ|取最大值2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1， 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为。设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得，线段PA中点M的轨迹方程是。当直

11、线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1。当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,)，则,又点A到直线BC的距离d=，ABC的面积SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立。SABC的最大值是。（3）解：设椭圆方程为（）由已知得所求椭圆方程为。（）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：，由直线与椭圆相交于A、B两点，解得。又由韦达定理得，。原点到直线的距离。.解法1：对两边平方整理得：（*），整理得：。又， ，从而的最大值为，此时代入方程（*）得，。所以，所求直线方程为：。解法2

12、：令，则。当且仅当即时，此时。所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型3：证明问题和对称问题例5（1）（06浙江理，19）如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT。（2）（06湖北理，20）设分别为

13、椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。（3）（06上海理，20）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析：（1）（I）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为（II）由（I）得 故从而由，解得所以 因为又得因此点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆

14、的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（2）（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 将代入，化简得·（2x0）.2x0>0，·>0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1）

15、，N（x2，y2），则2<x1<2，2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得.从而，点B在以MN为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。（3）证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,

16、y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,)，=3。 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0.当y2=2x得ky22y6k=0,则y1y2=6.y=k(x3) 又x1=y, x2=y,=x1x2+y1y2=3.综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.点评：由抛物线y2

17、=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=6。或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0)。例6（1）（06北京文，19）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。（2）（06江苏，17）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；O（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标

18、准方程。解析：（1）解法一：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2c2=4，所以椭圆C的方程为1。()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）。 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(

19、y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得：因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4，y1+ y2=2。代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0。(经检验，所求直线方程符合题意.)（2）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9。所以所求椭圆的标准方程为点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为。由题意知，半焦

20、距c1=6，。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型4：知识交汇题例7（06辽宁,20）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。解析：(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入

21、得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因当时,d有最小值

22、,由题设得.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例8（06重庆文，22）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。（）试证：；（）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；证明：（）对任意固定的因为焦点F（0,1），所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得: ,由一元二次方程根与系数的关系得（）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为：，类似地，可求得在处的切线的方程为：，由得：，将代入并注意得交点的坐标为由两点间的距离公式得：现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。20 / 20