《全微分重要例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全微分重要例题（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 )0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元
2、函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，要看微分存在，要看P69 例例2.260dzz?多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxf
3、zyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题习习P75-4.,)0 , 0(0,00,)(),(22222/32222但不可微处连续且偏导数存在证明在点设yxyxyxyxyxf.)0 , 0(),(),0 , 0(0),(lim)2/1 (|)|(|)(|2:)0, 0(),(2/32/3222/3222222点连续在即证明yxffyxfxyyxxyxyyxyxxyyxyx又又由由偏偏导导数数的的定定义义可可得得,在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx dzz,)()(2/32222yx
4、yx2/32222)()(yxyx2222222)1 ()()(kkyxyxdzzxky令0/说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函数数在在点点)0 , 0(处处不不可可微微.函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量
5、.备用题. 选择题D在点 (0,0) 可微 .备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数xy222yx 所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则
全微分重要例题
