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1、盘点带电粒子在有界磁场中运动之“最”山东省邹平县第一中学高中部李进带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆，因此会出现一系列最值。由于此类问题综合性强，思维含量高，具有很强的选拔功能，因此成为历年高考的热点。1速度之“最”带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，其轨迹是圆的一段弧，当速度大小变化时，匀速圆周运动的半径随之变化，轨迹也将发生变化，当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度，就是满足条件的最大或最小速度例题1：如图1宽为d的有界磁场的
2、边界为PQ、MN，一个质量为m，带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使该粒子不能从边界MN射出，此粒子入射速度的最大值是多大？解析：为了使粒子不能从边界MN射出，轨道半径最大时应与边界MN相切，如图2所示。设粒子的最大轨道半径为R，则有，结合几何关系，解得点评：根据该题的已知条件，粒子的速度与圆周运动的半径成正比，圆心一定在过入射点与速度垂直的直线上。因此，可以用“缩放圆”的方法，即在保证圆心在过入射点与速度垂直的直线上的基础上，画半径不断增大的圆（如图2所示），去寻找最大值。2运动时间之“最”由和得带电粒子在磁场中运动时间，时间与速度无关，圆心角越大，则粒子运动时间
3、越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。例题2：如图3所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R。以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B方向垂直纸面向外的匀强磁场。D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。解析：M、N间的电压越大，粒子进入磁
4、场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短。粒子从s1到达s2的过程中，根据动能定理得粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有由几何关系得粒子做匀速圆周运动的轨道半径粒子在电场中运动时间在磁场中运动时间出磁场后匀速直线运动的时间因此，整个运动的最短时间点评：该题考查了一个重要结论：“带电粒子沿径向射入圆形磁场区域，则一定沿径向从磁场中射出”。关键在于判断什么情况粒子运动时间最短。 例题3：（2009年山东高考题）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极
5、板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在03t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时，刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（1）求电压U的大小。（2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。解析：（1）（2）略。（3）要使粒子在磁场中运动时间最短
6、，运动轨迹所对的圆心角应最小，由几何关系可知，应使粒子射入磁场时与磁场边界的夹角最小，也就是要粒子在电场中做类平抛运动的偏转角最大。考虑到粒子带正电，因此2 t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短。（如图5）带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则解得圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为,带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得。点评：该题考查了另一个重要结论：粒子从直线边界射入匀强磁场，又从同一边界射出，则射入时速度与边界的夹角同射出时速度与边界的夹角相等。关键在于找电场中的类平抛运动与磁场中圆周运动时间的关系。3磁场范围之
7、“最”近年来在高考试题中多次出现求磁场的最小范围问题，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，抓住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积。例题4：一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30，如图6所示（粒子重力忽略不计）。试求：圆形磁场区的最小面积；解析：由题可知，粒子不可能直接由点经半个圆周偏
8、转到b点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到b点。可知，其离开磁场时的临界点与点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图7，过b点逆着速度v0的方向作虚线，与y轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于x轴上，距O点距离和到虚线上a点垂直距离相等的O1点即为圆周运动的圆心，圆的半径。由，得。弦长Oa为：要使圆形磁场区域面积最小，半径应为l的一半即：，面积点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。例题5：在xOy平面内有许多电子（质量为m、
9、电量为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入第一象限，如图8所示。现加一个垂直于xOy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。图8 图9 图10 图11解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图9所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在x轴上方的个圆弧Odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁
10、场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为的距离,即图10中的弧Ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：。还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度v0与x轴夹角为，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图11中看出，即（x0，y0），这是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。
盘点带电粒子在有界磁场中运动
