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1、 天水一中2015届第一次模拟考试数学试题（理科） 命题、审题人 ： 张志义一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1集合，若，则（ ）A B C D2.设是虚数单位，复数（ ）A. B. C. D. 3. 已知,则 ( )ABCD 4.函数的图像关于原点对称，是偶函数，则A.1 B. C. D. 5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A51个 B50个 C49个 D48个6.下列说法正确的是 A命题“，”的否定是“，”B命题 “已知，若，则或”是真命题 C“
2、在上恒成立”“在上恒成立”D命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题7.已知函数，且，则当时， 的取值范围是 （ ）A B C D8设函数 ，记则 （ ）A. B.C. D.9. 在中，是边上的高，则的值等于（ ）AB CD9 10如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为,则（ ） A B C D11.若曲线f(x，y)0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)0的“自公切线”下列方程：x2y21；yx2|x|；y3sin x4cos x；|x|1对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A B C D12.
3、已知为R上的可导函数，当时， ，则函数的零点个数为 （ ）A.1 B.2 C.0 D.0或2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_14.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 15.设满足约束条件，则所在平面区域的面积为_.16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为 三、解答题（共70分）17.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上网投票，结果如下 观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）10010040
4、0（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值. （2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量表示抽取出3人中支持的人数，写出的分布列并计算.18.（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（）求数列和的通项公式：（）设，设为的前n项和，求.19（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形， BCD= 120,AB= PC =2,AP= BP= （I）求证：ABPC： （）求二面角B一PCD的余弦值20（本小题满分12分） 已知圆点B（l，0）点A是圆C上的动点，线段
5、AB的垂直平分线与线段AC交于点P （I）求动点P的轨迹C1的方程； （）设，N为抛物线上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求MPQ面积的最大值21.（本小题满分12分）.已知函数，（a为实数）() 当a=5时，求函数在处的切线方程；() 求在区间t，t+2（t 0）上的最小值；() 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围22.如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE（1）证明：D=E；（2）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形23.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为:
6、（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24.已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.天水一中2015届第一次模拟考试数学答案（理科）1.【答案解析】A 解析：由，得=2，所以,.即，因此2.【答案】【解析】A 解析：复数3.【答案解析】C cos（x- ）=-，cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=（-）=-1故选
7、C4.【答案】【解析】D 解析：关于原点对称，函数是奇函数，是偶函数，对任意的都成立，对一切恒成立，故选：D5.【答案】【解析】C 解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选6.【答案解析】A、“xR，ex0”的否定是“x0R，ex0”；命题错误；B、x=2且y=1时，x+y=3是真命题；若x+y3，则x2或y1”是真命题；C、“x2+2xax在x1，2上恒成立”“（）minamax在x1，2上恒成立”，命题错误；D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；命题错误故选：
8、B【思路点拨】B. A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2xax在x1，2上恒成立”转化为“（ ）minamax在x1，2上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假7. .设，由得.结合图形可知，即.选A.8.【解析】试题分析：已知，得，当x0时，所以在（0，+）上单调递减，即，故选B.9.【答案】C 解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：A，D，C；，；故选C【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知
9、的边长及角的值可求出向量，的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出10.【答案】【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积V1= ，V2= ，V1：V2= ，故选D.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果11.【答案解析】B x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；y=x2-|x|=，在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线y=3sinx+4cosx=5sin（x+
10、），cos= ，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为B【思路点拨】x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；在x=和x=-处的切线都是y=-，故有自公切线此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线结合图象可得，此曲线没有自公切线12.【答案】C【解析】13.14【答案】40解析：令则有，得，所以二项式为所以其常数项为所以答案为40.15【答案】【解析】试题分析：画出对应的平面区域，如图所
11、示.所在平面区域的面积为.16【答案】解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，化简得：x2+（y+1）2=4，点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切， 故答案为：17.【答案解析】（1）40（2）（1）利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，=，解得n=40，（2）X=0，1，2X012P274717E（X）=1+2=，D（X）=(0-)2+(1-)2+(2-)2=【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值（2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得
12、X的分布列并计算E（X），D（X）18.【答案解析】(1) , . （2）（1）数列bn的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），b1=S1=(b1-1)，解得b1=3当n2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1数列bn为等比数列，bn=33n-1=3na2=b1=3，a5=b2=9设等差数列an的公差为d，解得d=2，a1=1an=2n-1综上可得：an=2n-1，bn=3n（2）cn=anbn=（2n-1）3nTn=3+332+533+（2n-3）3n-1+（2n-1）3n，3Tn=32+333+（2n-3）3n+（2n-1）3n+1-2Tn=3+23
13、2+233+23n-（2n-1）3n+1=-（2n-1）3n+1-3=（2-2n）3n+1-6Tn=3+(n-1)3n+1【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出19. （I）证明：取的中点，连接 为等腰三角形 2分 又四边形是菱形， 是等边三角形 4分 又 ，又 6分20. 解：（）由已知可得，点满足所以，动点的轨迹是一个椭圆，其中， 动点的轨迹的方程为. （）设，则的方程为：，联立方程组，消去整理得：，6分有， 而点到的高为由代入化简得： 即；当且仅当时，可取最大值. 21.【解析】(I) (II) 当时 (III
14、) 解析：()当时,. ，故切线的斜率为. 所以切线方程为:,即. (), 当时,在区间上为增函数,所以 当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数, 所以 () 由，可得：， , 令, . , . 实数的取值范围为 . 22.【答案解析】答案略证明：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，D=CBE，CB=CE，E=CBE，D=E；（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MNBC，O在直线MN上，AD不是O的直径，AD的中点为M，OMAD，ADBC，A=CBE，CBE=E，A=E，由（）知，D=E，ADE为等边三角形【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。23.【答案解析】（1）（2）2（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 从而的参数方程为（为参数） （2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。 射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为。所以.【思路点拨】根据等量关系求出参数方程，根据极坐标求出长度。24【答案解析】（1）x（2）-（1）当时，或或或（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。- 20 -
甘肃省天水市一中高三下学期一模考试理科数学试题及答案
