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1、 学科论文高中数学水到渠成,顺理成章对人教版A版点到直线的距离一节的一点看法与建议内容提要 本文结合具体课堂教学实践，就新课标教材点到直线的距离一节的处理如何更有效地激发学生数学学习兴趣，培养学生创新思维能力与符号运算能力，对该节课程的课堂教学与教材的编写谈了作者的一些思考.关键词 点到直线距离 运算能力 学习策略 高中数学新课程无论在新课改的理念还是教师的教学手段等方面已经悄悄地发生着变化。比如数学学科人教版A版的教材主导思想是想让学生觉得数学是有用的、学数学能提高能力、数学是自然的、数学是清楚的。该教材是许多课程专家与一线教师的研究成果和实践经验的结晶，但由于是新课程的第一阶段，教材中也存
2、在一些不是很妥当的地方，经过了一轮的教学以后，有些地方已经进行了一些修改，从原先的不甚合理变得比较得合理。本文就笔者所听高一年级的一节点到直线的距离的公开课（人教版A版数学必修2），对该教材中对于点到直线的距离公式的推导的处理谈谈几点想法：首先我们看看这节课的大致情况的摘录：该教师为了培养学生学习数学的兴趣，同时也为了让学生明白数学是有用的，数学是自然的，在进入正题之前设置了一个生活中的例子“某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题，并选择了一条离它最近的电信线路，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？”，然后师生共同从实际事例中抽象出数学问题：点到直线的距离问题。教师为了降低难度
3、，给出了线路所在的直线的方程，同时给出了点P的坐标，然后请学生作答，同学们的发言比较踊跃，而且非常顺利地依次采用“作垂线，求垂足，算距离”“构造直角三角形，利用等面积求高”“利用两点间距离公式，利用函数求最值”三种方法来解决这个问题.在这个环节中，教学活动进程显得很自然，也很顺手，学生的求知欲望高涨，在问题得以解决时的那种兴奋溢于言表，课堂气氛热烈，自然在这样的情景中，教师趁热打铁，乘胜追击，提出该问题是否可以推广到一般情况，如：已知直线的方程为：（A、B不同时为零），点，问能否求出点到直线的距离。该问题抛出后，教师象刚才一样让学生思考了一会，让同学们发表自己的见解，一位同学首先讲述了自己的思
4、路：先利用垂直关系求出过点与直线垂直的直线方程，然后利用两直线相交求出垂足Q的坐标，再利用两点间的距离公式求出的值，即点到直线的距离（笔者认为这个环节可以放手让学生按照自己的思路进行问题解决）。教师根据学生的思路在黑板上进行了板书：可能担心时间过于紧张，也可能因为课本P107上说“上述方法虽然思路十分自然，但运算较繁，下面我们采用另一种方法”，教师没有继续往下求解，而是话锋一转告诉同学们“这样求解方程比较繁琐，花的时间也很长，而且还不容易求对，因此，我们可以跟具体例子里一样，我们还可以构造直角三角形，利用等面积进行计算。”.在这之前，笔者觉得该教师无论在课堂设计方面，还是学生的思维发散方面，都
5、处理地比较自然，没有任何造作，可为了介绍教材中的推导方法，硬生生地把同学们的思维往另一个方向扭转地方式是不妥当的。虽然教师参考用书中也写道“这是典型的坐标法（指刚才学生所说的方法），不妨让学生沿着这条思路走下去，求出结果来，而不是直接介绍教科书上的方法”，教材是我们开展课堂教学的“纲”与“本”（尽管有人认为尽信书，不如无书，但也要回归课本），由于教科书上说“运算较繁”，其结果自然会影响到这些运算能力较差的学生的解题自信心，事实上许多老师都已经受到了影响。另外笔者认为教科书里的这句话不科学，具体理由有以下：一、“作垂线，求垂足，算距离”（下面把这种方法就简称为方法一）的计算是不是真的很繁？是不是
6、比“构造三角形，利用等面积求高”（下面简称为方法二）的计算要繁很多？OxyQ1、下面我们就这两种方法分别计算一下：方法一：解：如图 ，过点作直线的垂线，垂足为Q。（1）若直线平行于x轴，即A=0，直线的方程 变形为，点到直线的距离（2）若直线平行于y轴，即B=0，直线的方程 变形为.点P到直线的距离（3）若直线既不平行于x轴，又不平行于y轴，由直线的方程可得，它的斜率是.直线的方程为,即 。与直线的方程联立，解得,.得，所以.方法二：解：如图 ，过点作直线的垂线，垂足为Q。OxyQ（1）若直线平行于x轴，即A=0，直线的方程 变形为,点到直线的距离S（2）若直线平行于y轴，即B=0，直线的方程
7、 变形为,点到直线的距离 .（3）若直线既不平行于x轴，又不平行于y轴，则直线与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线于R和S，则直线的方程为，R的坐标为,直线的方程为，S的坐标为，于是有.设，由三角形面积公式可得，,于是得 .比较以上两种解法，似乎感觉方法一较繁，实际上，方法一就是式子看起来比较大，其实，计算的繁与简有很多时候还是“仁者见仁，智者见智”的。2、从思维角度，笔者认为方法一比方法二更简单。前面一节同学们刚学习了两点间的距离公式，而且，初中时学生就比较熟悉点到直线的距离,就是由该点向直线引垂线段的长。因此，方法一是比较自然就可以想到的；而方法二，从其本身来说，是难得
8、的一种好方法，也比较重要，但并不是所有的好方法为学生所能掌握的，或者说在基础教育阶段都有能力掌握的。可以想一想，呈现在我们面前的只不过是一个点和一条直线，其他什么都没有，现在我们需要构造一个直角三角形来解决问题，试问由没有的图形通过一种经验来构造，这样的解决问题的方式对思维及能力本身的要求相对于方法一是简还是繁呢？答案是显然的。二、从知识之间的联系来看，笔者认为点到直线的距离公式推导过程应更倾向于方法一。新教材强调的知识的螺旋上升，那么点到直线的距离公式的推导实际上从某种意义上来说也是一次知识的上升过程，至少也是一种应用过程。而且利用曲线的方程，从方程的角度探究曲线的几何特性始终贯穿整个高中的
9、解析几何。三、从能力培养角度来看，方法一更贴近现在的课标要求。新课标中讲到“必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备”，考纲中也只要求学生掌握通性通法，削弱技巧性的问题。既然是这样，那么学生 “水到渠成”的一种想法为什么不进行宣扬呢。更何况，现在许多学生的运算能力十分低下，而运算求解能力又是一种基本能力，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标也是考纲中的要求。解析几何就是利用代数的方法来解决几何的问题，既然是几何问题进行了代数化，代数的主要研究方式就是进行运算，因此也就造成了解析几何避免不了的运算量大的现象，所以对于一个带有字母量的二元一次方程组
10、的求解，无论是从运算的角度还是从培养学生坚韧不拔、锲而不舍的精神品质的角度都应该是一个很好的素材，所以我建议在教科书中，我们应该按照学生的思路进行求解，至于构造三角形确实是一个好方法，不妨以思考或探究的形式，如：“你能否用其他的方法进行求解，如果可以，请比较一下这些方法各有什么优点？”通过学生自己动手操作，通过比较可以加深对知识的理解，并加强了学生应用知识的能力，同时学生的自主探索、动手实践、阅读自学等能力也可以得到发展。当然也可以放在课外阅读或课外练习中。总之，笔者认为，既然想让学生感觉“数学是自然的”，那么我们解题的方法也要遵从学生的思维特点。其实，解数学问题，最关键的还是对问题有没有想法，作为一种大部分的同学都想不到，或者是不容易想到的方法，即使是再好的方法也很难为大部分的同学所掌握。因此，我觉得“顺其自然，水到渠成”的方法应该是我们首要推崇的，至于其他的一些好方法可以在教参中或者以其他方式，为教师在教学时适时参考。5
对人教版A版高中数学《点到直线的距离》一节的一点看法与建议
