常见数量关系与问题解决

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1、小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析 在数学学习中，问题解决不仅能够帮助学生巩固、拓展所学的知识和技能，而且也有利于发展学生的实践能力、激发学生的探究和创新精神。从 1949 年以来，我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置上。但在 20 世纪中叶以后，小学数学应用题教学发生了重大变化。1980 年，美国提出“问题解决（ problem solving ）”的教学模式。要求将纯粹数学和应用数学的问题统一起来，形成统一的“问题解决”教学模式，认为解决非常规的数学问题，培育创新精神，是数学教育的主要追求，应贯穿到数学教育的每一个环节中。这种趋势影响了各国的

2、数学教学，问题解决已被看做数学学习活动的核心。在 2001 年我国制定数学课程标准（实验稿）中，为了使培养学生解决问题能力落到实处，单独设立了解决问题这一目标维度，应用题不再成为独立的教学内容，解决问题的要求被贯穿在四个基本的内容领域中。在数学课程标准（ 2011 版）中这个做法得到延续，并更加明晰。 一、一些基本的观点 1. 问题与数学问题 根据心理学大辞典，问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境”。数学问题是指对人具有智力挑战特征的、没有现成方法、程序或算法可以解决的情境，或者说数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。数学问题有三个特别显著

3、的特点：一是障碍性，二是可接受性，三是探究性。 2 问题解决、应用题、应用问题 (1) 问题解决 数学问题一般分为两类，一类是常规的，即背景简单、条件明确、答案唯一、解决常见的问题，习题和考试中多半是这类题目。另一类是非常规的问题，这类问题设置的情景相对比较复杂、条件隐含、答案开放，没有现成的解法可以套用，常称为“具有挑战性”的问题。 而对于什么是问题解决，到现在没有统一的解释。但是无论如何问题解决从什么角度去理解，有一个观点比较一致：所谓“问题解决”，专指解决“非常贵问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。 （ 2 ）问题解决与应用题 问题解决不等于应用题。问题解决和应用题的区别如下

4、：问题解决是学习的开始，不是单纯的应用；问题解决强调与现实紧密联系，有开放性；问题解决的形式：提出问题、体验、建构、形成创新意识；问题解决有交流和反思的空间。而解应用题的学习的终点，应用题人为编造的痕迹较为明显，是封闭的；应用题的教学形式：找类型，记结语，套公式，形成“条件反射”；“条件 + 体型 = 问题答案”构成了应用题的因素，学生在解题过程中无需反思或较少反思。 （ 3 ）问题解决与应用问题 基于“问题解决”与“应用题”之间的“鸿沟”，有学者提出了“应用问题”的提法。与“问题解决”相比， 问题解决中的“问题”是更具有实际意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多

5、因素，具有综合性、开放性的特点。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并力求具有一定的开放性，但总体上来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生所熟悉的。因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。 3 问题解决模式 （ 1 ）波利亚数学问题解决四阶段模式 早在 1957 年，著名的数学教学家波利亚对数学问题解决的过程做了较为具体的分析和描述，他的研究构成了 20 世纪 80 年代以来数学问题解决研究的基础。波利亚把数学问题解决划分为如下四个阶段： 阶段一：理解问题。你在寻找什么？在该问题中有哪些信息已经给出？画出一

6、个示意图。 阶段二：制定计划。你知道类似的问题吗？你知道一个更容易的问题吗？你能重新表述该问题吗？尝试解决一个相关的问题，尝试解决问题的一部分。 阶段三：执行计划。执行解决的计划，检查每一步骤，你能够证明每一步都是正确的吗？ 阶段四：回顾解答。检查算式和结果，你能用不同的方法得出答案吗？你能把这一结果用到另一个问题的解决上吗？ （ 2 ）新加坡小学数学问题解决四阶段模式 2000 年新加坡修订的小学数学教学大纲附录中给出了问题解决的基本模式，要求小学数学教师参照这一模式来实施问题解决的教学。该模式包含的问题解决的步骤是： 理解问题。包括：找出给出的信息；具体化这些信息；组织这些信息；连接这些信

7、息。 设计计划（选择策略）。包括：描述、表达出它；运用图表和模型；做个系统的表格；寻找模式；退一步考虑；运用前后概念；猜测和检验；做个假设；换一种方式重述问题；简化问题；解决问题的一部分。 实施计划。包括：运用计算技能；运用几何技能；运用逻辑推理。 反思。包括：检验解答；改进所用方法；探寻其他方法；扩展该方法到其他问题上。 （ 3 ）现代认知心理学中的问题解决模式 在现代认知心理学中，问题解决一直是一个异常活跃的研究领域，研究者提出的问题解决模式也层出不穷。概括起来，可以把数学问题解决相关的模式归纳为五个子过程： 发现问题觉知问题的存在，其心理实质是察觉现有的状态与欲想的状态之间存在的差异。

8、界定和表征问题确定地界定问题的性质、分析解决问题需要的条件以及已有条件、明确问题解决的最终目标等。 确定问题解决方案包括选择解题方法，确定具体的解题步骤这两个基本过程。 执行解题方案将前面制定的解题策略与计划付诸实施，使问题达到目标状态。 评价问题解决的结果主动对自己求解的过程和结果进行检验与评价，判断解题过程是否合理、结果是否正确。 4. 数学课程标准（ 2011 版）中的问题解决 无论是 2001 年出版的数学课程标准（实验稿），还是数学课程标准（ 2011 版）中，都将问题解决作为贯穿我国数学课程的一条主线。 （ 1 ）问题解决是理念 在标准中，将解决问题不仅仅看成是课程内容，更是一种贯

9、穿始终的理念，鼓励学生体验从实际背景中抽象出数学问题构建数学模型求解模型解释、应用和拓展的分析问题和解决问题的过程。 （ 2 ）问题解决是目标 数学课程标准（ 2011 版）中过程与方法目标分成：数学思考、问题解决。其中关于问题解决目标的具体描述如下： 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 学会与他人合作交流 初步形成评价与反思的意识。 其中，创新意识和实践能力在数学课程标准的其他目标部分并没有出现，只是在问题解决的部分里出现。 （ 3 ）问题解决

10、是要求 数学课程标准中提到的“经历、体验、探索、尝试、表示、解释、反思”等动词，都伴随着问题解决，问题解决应渗透在每一个知识领域，渗透在数学教学的全过程中。 二、“问题解决”的教育价值 小学数学教学应该把培养学生解决问题能力作为重要任务，重视解决问题的价值。 1. 解决问题能力是学生数学素养的重要标志 PISA（经合组织进行的国际学生评价计划）对数学素养的解释是：“在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的知识，并理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。数学素养包括若干运用数学能力的水平层次，从标准数学运算到数学思维能力

11、和观察能力。它也要求学生理解和应用一定范围内的数学知识，例如：概率、变化率、增长率、空间与形状、定量推理、不定性和从属关系等。这些包括数学课程的特定范围，比如：算数、代数和几何。”在 PISA 设计的八个方面的数学素养中，至少有三个方面与解决问题能力有直接的关系。（ 1 ）数学思考。（ 2 ）建立模型。（ 3 ）提出问题和解决问题的技能。 2. 解决问题意识的提高使学生更能体会数学的价值 学生会从分析问题和解决问题的过程中，体会数学在现实中的应用，了解自己身边的数学问题，进而指导、理解和掌握数学知识能力的作用。有人把数学意识称之为“用数学家的眼光看世界”。别人可能根本不会注意到的东西，在他看来

12、确实饶有趣味的数学。在别人看来并不是数学背景的事情，他们可以从中看出数学问题，并用数学的思考认识和分析这样的问题。数学教育的一个重要功能就在于培养学生的数学意识，是学生学会用数学的眼光看世界。 3. 促进对数学基本知识的理解和掌握 数学课程标准规定的数学学习的四个领域，尤其是前三个领域，对于具体的知识技能，每个领域有特定的学习内容，各自的目标与任务。但通过各个领域的学习，其在培养学生解决问题的意识与能力、培养学生的情感与态度等方面是一致的。在学习各个内容领域的过程中应当把问题解决当做重要的任务，同时，问题解决能力的提高也会促进学生对各个领域内容的理解和掌握。 4 解决问题是发展学生的创新意识和

13、实践能力的重要途径 数学问题的解决往往都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现。因此解决数学问题的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法，它不仅可以使学生获得初步的创新能力，而且可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。 三、“应用问题”中常见的数量关系分析 对数量关系的分析，指向于教材中的“应用问题”。 1. 基本的数量关系 （ 1 ）四则运算： 加法：加数加数和 和一个加数另一个加数 减法：被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 乘法：因数 因数积 积 一个因数另一

14、个因数 除法：被除数 除数商 被除数 商除数 商 除数被除数 （ 2 ）运算定律： 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c (a b) c a (b c) (a c)+b 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 abc (ab)c a(bc) (ac)b 乘法分配律 a(b c) ab ac （ 3 ）基本性质： 减法的运算性质： a b c a (b c) 除法的运算性质： abc a(bc) 商不变的性质： ab (ax)(bx) (ax)(bx)(x0) 分数的基本性质： 比的基本性质： a:b (ax):(bx) (ax):(bx)(x0) 比例的基本性质：因为 a:b c:d

15、 所以 ad bc 我国常规应用题的教学中，成绩一直都很好。但课程和教学往往集中在为了教学而教学上，在提出问题、发展问题、灵活地处理应用性问题上，比起欧美诸国的教学，还有很多不足。 2. 类型问题中的数量关系 除了一些基本的数量关系蕴含在数学学习的各部分内容之中，原来我们还惯常按照问题情境将问题分类开展教学，并进行专门的训练，强化这些类型问题的解题方法。但原来的课程和教学整体上较窄、较难、较偏。 以下是原有的课程中曾经出现过的数量关系：价格问题、行程问题、工程问题、利息问题、利润问题、折扣问题、百分数问题、产量问题、比例尺问题、分数问题。当然，有的教材还出现过植树、流水、盈亏、合倍、差倍、浓度

16、、追及、平均数等问题类型。 就上面列出的数量关系来看，其实有很多本质上是相同的。在数学课程标准（ 2011 版）修订过程中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛地应用，同时也是学生进一步学习（如学习微积分）的两个重要的基本模型。 四、教学策略 在实际教学中，教师们可以将问题解决作为数学课程的基本理念和要求，在教学时把握“应用问题”和“综合与实践”两个线索。“应用问题”重在对学生解决问题基本技能、基本数量关系、数学基本思想的认识，而“综合与实践”更多地指向非常规问题和开放性问

17、题。 （一）“应用问题”教学策略 1 关注对问题的设计 问题本身的设计对问题的解决有着至关重要的作用。一个有趣的、值得探究的问题不仅有助于激发学生的问题解决动机、学习兴趣，而且有助于学生获得良好的问题解决策略以及促进学生解决真实数学问题的能力。尽管教师所使用的教材中，绝大部分问题是教材编写者已经编好的，但这并不意味着教师不可以进行改造或重新编制问题。 2 注重对于运算意义的理解 为了解决问题，学生需要首先学习在什么实际背景下应用四则运算来解决问题，即四则运算的实际背景或四则运算的意义。 （ 1 ）理解运算的背景和意义 每种运算的本质意义，都产生于相对特定的实际背景，也运用于相对特定的问题情境。

18、确定“何种运算”的关键在于，两种数量的关联状态，“暗合”了哪种运算的“实际背景”。“以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法或乘法的逆运算的模型”。（摘自詹姆斯 T 费撰写数量一文）如“合并”“移入”，就是加法的实际背景。 学生在解决问题的过程中，要先在头脑中分析，这个情境对应了哪种运算，进而进行选择和运用。但由于现在教材的编写将运算的实际背景大多处理成“暗线”，所以需要教师对教材进行系统的梳理，找到实际背景，并不断扩充这条线索。 （ 2 ）关注具体情境向运算意义的转化过程 以

19、往我们在教学时往往采取“问题情境问题类型运算意义”的思路；这样容易出现概念化、思维模式固定化的问题。所以提倡“问题情境经验、操作、画图运算意义”的思路来进行教学，有助于学生更好地理解运算意义和问题实际意义。 （ 3 ）鼓励学生建构自己对运算的理解 这里的总结和过去的“记关键词、套题型”是不一样的，不是要求用统一的程序化的语言来背诵运算意义。教师可以鼓励学生完成类似下面的任务，建构自己对于运算的理解。 举生活中不一样的例子，可以用加法、减法、乘法或除法来解决。 画图表示一个情境，可以用加法、减法、乘法或除法来解决 用自己的语言说说什么是加法、减法、乘法或除法 3. 关注对问题的表征和理解 “ 问

20、题表征”是指解题者基于已有的知识经验，根据问题所提供的相关信息，构建属于自己的“问题表象”并被“短时记忆”的过程。主体“解决问题”时的数学思考，通常依赖头脑中“即时获得”并“短时记忆”的“问题表象”而展开。 （ 1 ）读懂题目 新课程提倡运用图、文字、表格等多种形式呈现信息，这也给学生的阅读带来一定的困难。教师可以采取鼓励学生多读几遍，尝试完整地用自己的语言复述题意，采用情境表演等方式帮助学生理解。 （ 2 ）有效地收集和选择信息 可以鼓励学生面对众多的信息，选择若干信息提出可以用数学解决的问题；可以鼓励学生回答，如果要解决某一问题，需要收集哪些信息；可以根据实际的问题情境，鼓励学生对问题进行

21、选、判断或补充。 4 关注对数量关系的分析 在分析数量关系上，过去有一些好的方法。可以借鉴传统“应用题”的教学经验，将“分析法”、“综合法”的思考方法“教”给学生。但问题在于很多教师往往“迫不及待”地将自己解题的方法或已经提炼出的方法告诉学生，导致学生再遇到问题时还是不会用。所以教师要留给学生独立思考、探索策略的时间，对分析数量关系的总结一定是建立在学生思考、探究和充分的交流基础上的。 另外，小学阶段需要学习的两个数量关系一般在小学四年级左右开始引入，但教师应注意他们在小学数学中的学习线索，包括第一学段的引入正式学习高年级的进一步认识。低年级虽然没有正式学习，但学生借助生活经验和对运算意义的理

22、解，就能够理解如“飞机每分钟飞行 21 米 ， 60 分钟飞行多少米”的问题，这可为后面的学习奠定基础。另外，要注意这两个基本数量关系的变式。 5. 关注解决问题策略的学习 问题解决教学的价值不仅在于解决了具体的问题，更重要的是学生在这个过程中获得的发展，包括获得分析、解决问题的基本策略。解决问题的策略，是人们长期解决问题经验的总结，它对于解决特定问题有效，对于学生解决更多的非常规的、实际的问题时也将发挥作用。 小学数学中所涉及到的具体解题策略有以下几种：画图、简化题目、尝试和猜想、逆推、用方程解、用公式解等。学生的解决问题的策略不是先天形成的，而是在解决问题的过程中逐步形成和发展起来的。对于

23、分析问题和解决问题策略的教学，应注意以下几个方面。 第一，教学中要重视对学生分析问题和解决问题策略的指导，适时地将“隐性”的策略“显性化”。如问题解决前，指导学生思考运用哪些策略；解决问题过程中，是否要调整策略；解决问题后，反思所使用的策略。 第二，学生所采用的策略，在教师的眼中也许是有优劣之分的，但在孩子的思考过程中并没有好坏之分，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。 第三，解决问题策略的教学应把解决问题的主动权教给学生，提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。 第四，要注重策略的广泛运用。在解决问题的过程中，要引导学生有意识的使用所学过的策略解决问题。 6. 关注对解决问题

24、过程和结果的检验 教学中应鼓励学生对解决问题的结果加以检验，一方面检验结果是否正确，另一方面考察问题的结果是否符合实际 ， 逐步形成评价和反思意识。事实上，验证结果的合理性需要两种基本的能力，首先需要对现实世界的数量及其关系有一定了解，如自行车的速度、汽车的速度等，这些是判断问题结果合理性的重要背景知识；其次能对结果的数量级有准确的估计。这种能力并不是通过大量的训练笔算就可以得到的，而是通过对位值的理解和对简单的数的运算的灵活运用而得到的。 常教学中，教师要有意引导学生将“所求答案”与“已知条件”相互“反串”，进行“二次解答”，从而确证原先解题的正确性。久而久之，学生便会在教师的“用心”引领下

25、形成“代入检验”的策略习惯。 此外，为了发展学生的应用意识，还可以在解决问题之后，鼓励学生将应用问题的情境与真实生活联系起来，提出新的问题；并可以反思所使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法，对不同策略进行比较，体会各自不同的特点与实用性等等。 （二）“综合与实践”教学策略 小学数学四个课程领域之一综合与实践，就指向了哪些来自实际的、非常规的、条件开放的、结论不确定的问题。 数学课程标准（2011 ）“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至

26、少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。 1. 设计好问题 对于“综合与实践”这个领域在实践上还是很不成熟，反映在教材的编写上，存在着对这个领域的内涵理解不一致、很多素材并不适合学生等现象，需要教师们积极研究，适当改进。教师可以因地制宜地收集、编制、改造适合学生使用的问题，同时鼓励学生自己发现和提出问题。 教师设计问题的时候，应注意以下一些基本原则： 问题应能激起学生的兴趣及探索、创造的愿望。这样的问题来源于学生的现实，又是学生通过努力可以解决的。 问题应具有一定的新颖性。 问题应具有一定探索性和艰巨性 问题应具有一定的综合性 问题应具有一定的弹性和开放性。 问题应具有较为广泛的数学背景

27、，具有连续学习探讨的可能性，并从中提出进一步需要研究的问题。 问题可以课内外结合。 2. 组织学生自主参与和合作探索 教师应作为学生的“参谋、同伴”参与到学生的解决问题活动中，作为他们的建议者、欣赏者，为学生营造一个宽松、民主的环境，提供充分实践和思考的时间，鼓励他们探索解决问题的方法；组织交流自己的成果，对于学生的困难给予适当的帮助和指导。切不可简单地通过“示范”告诉学生应该怎么样，这会造成学生失去自主解决问题的机会。 3 鼓励学生发展个性 学生要解决的问题多数是开放的，答案和解决过程都是不唯一的，因此教师应当尊重与鼓励学生富有个性和创造性的思考，并引导他们之间交流各自解决问题的方法，这对于培养学生的创新意识是非常重要的。 4 引导学生及时反思活动过程 反思自己是如何分析问题的？运用了哪些解决问题的策略？遇到了哪些困难？这些困难是如何克服的？别人的想法对自己是否有启发？通过问题的研究自己有哪些收获等。 5 合理评价学生的表现 对学生的评价要以过程性评估为主，主要评价两个方面：一是学生参与活动的积极程度，包括是否积极思考、探索积极问题的方法；是否能与同伴良好合作；能否主动解决困难等。二是评价学生在活动中所表现出来的思考水平和策略等。