658.甲型H1N1流感预测模型研究

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1、甲型H1N1流感预测模型研究 【摘要】传染病（甲型H1N1流感等）的控制预防历来都是人们所关注的焦点。每当传染性很强的流感爆发后，人们首先想到的是注射疫苗。但是据美国疾病预防控制中心工作人员透露，此次流感疫苗的大规模生产面市最快的时间是9月份，在此之前人类处于免疫的真空状态。在这期间，流感会以某种速度在某种程度范围内传播是社会各界比较关注的问题，也是关系到患者生命和应疫苗数量的多少的问题。传染病问题数学建模的研究是按照一般的传播机理建立集中模型，主要是建立微分方程模型，一般有SI模型、SIS模型、SIR模型。本文首先拟采用SIR模型1分析、预测美国甲型H1N1流感的传播趋势。我们发现SIR模型

2、在实际应用中有很多的局限，特别是整个传染期间内每个病人有效接触的平均人数称为接触数的（）的确定极其困难，由此得出的阈值在确定传染病是否会蔓延以及蔓延的程度问题方面也带来了很多技术性的困难。本文第二个数学模型采用时间序列计量经济学模型来分析甲型H1N1的传播趋势。流感传播的方式由两个：一是自发，二是由患者传染给健康的人，并且以由患者传染给健康的人为主要方式。每天新增流感患者的数量与前期患流感患者的人数有直接的关系，两者以一定得数学模型联系在一起的。通过时间序列分析，在没有疫苗出现的情况和其他条件不变的假设下，我们建立了模型：。这样就可以预测近期的甲型H1N1经实验室确认患者的数量。我们预测5月1

3、6号美国经实验室确认的流感患者将达到人。问题二和问题三都是基于SIR模型进行修正，并且得出结论。1、我们认为随着的增大，减小得越来越快。在现实中的意义是，随着投放疫苗数量的增加，患病的人数减少的速度变得越来越快。2、如果病毒变异导致潜伏期变长，一个患者将流感传染到别人身上的可能性大大增加，也就是说平均感染人数将增加。由此可以看出流感蔓延的程度将增加，流感疫情将持续更长的时间，流感疫情也变得更加严重。1 问题重述由墨西哥发端的甲型H1N1流感疫情目前正成为人们关注的焦点。据5月13日的最新统计，全球现有33国家（或地区）出现确诊病例，共有确诊病例5887人。你们可以通过有关网站获得最新的数据，如

4、新浪网新闻中心（网址：1、请任选某个国家或地区的相关数据，建立一个具体数学模型，对甲型H1N1流感的传播走势进行预测。2、有专家预言，对付甲型H1N1流感的疫苗很有可能在今年秋天研制成功，如何在疫苗数量有限的情况下，进一步修正你们的预测结果。3、如果甲型H1N1流感病毒发生变异，导致发病潜伏期变长，则如何再次修正你们的预测结果？2 问题分析甲型H1N1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多有关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程模型，按照一般的传播机理建立集中模型。本文先采用SIR模型来分析，传染病的一般传播过程，即从蔓延到消失的过程。相关资

5、料1也指出：我们看到在SIR模型中是一个重要参数。实际上m、k很难估计，而当一次传染病结束后，可以获得和，根据相关的公式得。当同样的传染病到来时，如果估计量没有多大的变化，那么就可以用上面得到的分析这次传染病的蔓延过程。问题就出现在这里：一、世界上没有完全同样的传染病，即与患者接触后，染病的概率肯定不同。二、m会随着交通方式的发展、经济一体化的发展而增加，k却会随着医疗技术的发展而增加，这样=k/m的变化方向就不确定了。本文第二个数学模型采用时间序列计量经济学模型来分析甲型H1N1的传播趋势。问题二和问题三都是基于SIR模型进行修正，并且得出结论。1、我们认为随着的增大，减小得越来越快。在现实

6、中的意义是，随着投放疫苗数量的增加，患病的人数减少的速度变得越来越快。2、如果病毒变异导致潜伏期变长，一个患者将流感传染到别人身上的可能性大大增加，也就是说平均感染人数将增加。由此可以看出流感蔓延的程度将增加，流感疫情将持续更长的时间，流感疫情也变得更加严重。3 建模准备3.1 数据收集与分析3.1.1 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量时间确诊（包括死亡病例） 死亡(累计)4月23日504月24日804月25日1104月26日2004月27日4004月28日6404月29日9114月30日10915月1日14115月2日16015月3日22615月4日27915月5日40315月6日64

7、225月7日89625月8日163925月9日225425月10日253235月11日260035月12日300935月13日335245月14日429845月15日47144感染甲型H1N1流感的患者平均可感染1.4至1.6人。H1N1, with an estimated human mortality rate of only 2.5 to 10%, but with much higher infectivity , produced an estimated 50 million deaths in the 1918 pandemic. 在美国每年大约3.6万人死于普通流感，20万人

8、因此住院治疗。墨西哥调确诊病例死亡率1.2%。世界卫生组织流感专家进藤奈邦子12日说，大多数病情较轻的甲型H1N1流感患者无需服用抗病毒药即可痊愈，因此没必要给所有感染者服用抗病毒药，这些药最好留给那些容易发病严重甚至死亡的高风险人群使用，高风险人群指的是那些本来就患有心血管疾病、糖尿病以及其他慢性病的人或者孕妇等。这些人一旦感染甲型H1N1流感病毒容易发病严重。在墨西哥和美国的甲型H1N1流感确诊病例中，有约10%需要住院治疗，这个比例远高于季节性流感。 4 数学模型 SIR模型用以估计长期传播趋势4.1 模型假设(1)病人数占总人数关于时间的增长率与当时的未受感染人数成正比,比例常数为。k

9、：每个病人每天有效接触的平均人数称为日接触率。(2病人数占总人数治愈率是常数m( 即病人数减少速度与当时的病人数成正比,比例常数为)。m：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率。(3)治愈后的病人(其人数占总人口数 记为)有免疫力, 即治愈后的病人不再被视为未受感染之人。(4) 、与之和是一个常数1。4.2 模型建立 : .4.3 模型求解由第一式得；第三式两边求导：；再将第二式代入上式消去，并利用第一式，最后可得：。利用进行求解：这个微分方程没有解析解，即不能用初等函数表示出、。 利用相平面法，即转而考虑的函数关系。由上面三个方程联立可得: 通过数学软件可解得： 4.4模型分

10、析 4.4.1微分方程分析（一） 当 S ( t ) m / k 时, t 增大时, I ( t ) , 传染病为 蔓延期 ；当 S ( t ) 1/,则开始有：先增加,当s=1/时, 达到最大值：即 ， 然后减小且趋于零,s(t)则单调减小至。4.若 1/,则恒有 ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至。,可以看出,如果仅当病人比例有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么是一个阈值，当 (即)时传染病就会蔓延。如果能够减小传染期接触数,即提高阈值使得(即),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值 是一定的,通常可认为 接近1)。我们注意到在中,人们的卫生水平越高,日接触率k越小；医疗水平越

11、高,日治愈率没m越大，于是越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。4.4.3 结合模型的假设条件和美国具体情况进行分析从相关报道来看，甲型H1N1流感在美国呈现出蔓延的形势，并且有加快的迹象。根据上面的相平面分析。即现在是属于的情况，即。由假设条件可以知道k的取值在1.4-1.6范围内。现在我们取，则表示，即美国每天平均治愈的人数最多有1.6人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。美国疾病预防与控制中心表示，患有此次流感的患者中只有大约10%的人需要到医院就诊。这就表明：大约有90%的人不必到医院就诊，只需去医院以外的医疗机构寻求医疗帮助，即可痊愈。如果美国平均每天治愈

12、1.6人的话，那么从发现第一例流感病例（4-23至5-15）以来总共治愈的人数只有人，这与人（截至15日有4714经实验室确认患者，4人死亡）相距甚远。产生这个问题的原因有以下几个：第一：对每个病人每天有效接触的平均人数称为日接触率k的估计值偏小。随着现代交通方式的发展和经济一体化的发展。如果有一人患病，流动到其他的地方。在这个流动的过程中只要感染了k个人，那么这k个人又会感染其他的k*k个人。那么计算病人这一天接触率就应当包括那些间接接触感染的病人，即。第二，美国疾病预防与控制中心所得到的经实验室确认的患者数量具有滞后性。如果一个患者今天住院，但是经过实验室正式确认则往往要经过一段时间。那么

13、这个数据就具有滞后性。第三：在美国并不一定成立。可以把那些身体强壮的、注意个人卫生人群排出在之外，由于，所以。相关资料也指出：我们看到在SIR模型中=k/m是一个重要参数，实际上m、k很难估计，而当一次传染病结束后，可以获得和，根据相关的公式得 。当同样的传染病到来时，如果估计量m、k没有多大的变化，那么就可以用上面得到的分析这次传染病的蔓延过程。尽管有以上技术方面数据获取的缺陷，SIR在理论上具有无可比拟的优势。它能够适用于解释已经发生的传染病的解释，预测流感传染的趋势，也就是在抽象意义上具有绝对的优势。如果要在微观上预测传染病的传播趋势则要采用其他的模型时间序列计量模型。5.模型二：时间序

14、列计量模型用以估计短期患者人数符号说明：表示第期确诊的患者数量。假设:：只与有关系（）对时间序列，进行平稳性分析：152831142054066479181099141101601122612279134031464215896161639172254182532192600203009213352224298234714Date: 05/17/09 Time: 06:16Sample: 1 23Included observations: 23AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb. |* |. |* |10.6230.62310.

15、1560.001. |* |. | . |20.4100.03514.7540.001. |*. |. | . |30.2740.00916.9070.001. |* . |. | . |40.179-0.00617.8740.001. |* . |. | . |50.1540.06018.6290.002. |* . |. | . |60.1490.04619.3770.004. |* . |. | . |70.1450.03120.1310.005. |* . |. | . |80.1300.00920.7790.008. |* . |. | . |90.100-0.01121.1850.

16、012. | . |. | . |100.063-0.02021.3600.019. | . |. | . |110.022-0.03321.3820.030. | . |. | . |120.000-0.01021.3820.045 时间序列的拟合曲线表现出一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。而且从它们的样本的自相关系数（AC）的变化看，也是缓慢下降的，再次表明他们的非平稳性。这样，我们得出从1-23期该时间序列是非平稳序列。对该时间序列取一阶差分，然后进行平稳性检验。1 2333495206247278189321019116612531312

17、41423915254167431761518278196820409213432294623416Date: 05/17/09 Time: 06:44Sample: 1 23Included observations: 22AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb. |* |. |* |10.4750.4755.66720.017. |*. |. | . |20.220-0.0076.94630.031. |* . |. |* . |30.1730.0927.77690.051. |* . |. | . |40.087-0.0368.

18、00100.092. | . |. | . |50.0470.0098.07000.152. | . |. | . |60.014-0.0248.07660.233. | . |. | . |70.0330.0438.11470.323. |* . |. | . |80.0740.0568.31880.403. | . |. | . |90.052-0.0078.43030.491. | . |. | . |100.0350.0018.48480.582. | . |. | . |110.000-0.0398.48480.669. | . |. | . |120.0000.0118.48480

19、.746我们发现一阶差分方程拟合曲线的样本的自相关系数（AC）的变化看，缓慢下降的，表明出一阶差分方程的非平稳性。对时间序列的二阶差分方程做平稳性分析：Date: 05/17/09 Time: 06:52Sample: 1 23Included observations: 21AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb. *| . |. *| . |1-0.072-0.0720.12470.724. *| . |. *| . |2-0.153-0.1590.71770.698. *| . |. *| . |3-0.119-0.1471.0

20、9680.778. | . |. *| . |4-0.048-0.1031.16330.884. | . |. *| . |5-0.001-0.0651.16330.948. | . |. *| . |6-0.019-0.0751.17440.978. | . |. | . |7-0.004-0.0511.17480.991. | . |. | . |8-0.002-0.0421.17490.997. | . |. | . |9-0.001-0.0351.17500.999. | . |. | . |10-0.001-0.0291.17501.000. | . |. | . |110.000-

21、0.0231.17501.000. | . |. | . |120.000-0.0191.17501.000可以从这张表看出，自相关系数的下降还是不理想。如果排除流感刚刚爆发时的数据，那么二阶差分方程的自行关系数（AC）迅速下降为零，该时间序列平稳。 18二阶差分211320644011564469137109-98141149160-13102264711279-131240371136421151489615151639489162254-128172532-337182600-210193009341203352-66214298603224714-530二阶差分序列的自相关系数、偏相关

22、系数、Q值法、P值发检验。Date: 05/17/09 Time: 07:02Sample: 1 23Included observations: 20AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb*| . |*| . |1-0.342-0.3422.70440.100. | . |. *| . |20.004-0.1282.70470.259. *| . |. *| . |3-0.094-0.1562.93110.402. |* . |. | . |40.077-0.0153.09610.542. | . |. | . |5-0.020-0

23、.0133.10780.683. | . |. | . |6-0.009-0.0263.11020.795. | . |. | . |7-0.000-0.0073.11020.875. | . |. | . |8-0.013-0.0243.11630.927. | . |. | . |9-0.001-0.0213.11640.960. | . |. | . |10-0.001-0.0133.11640.979. | . |. | . |110.000-0.0123.11640.989. | . |. | . |120.000-0.0063.11640.995从这张表格的自相关系数来看，该序列平

24、稳了。接下来进行序列的白噪声检验，从上表中我们看到Q值都大于2，这说明白噪声检验不成立。接下来进行ARMA模型建模。Y Y（-2） XDependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/17/09 Time: 07:40Sample (adjusted): 3 22Included observations: 20 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.Y(-2)1.1558250.09359212.349570.0000X27.147229.9465722.

25、7293040.0138R-squared0.962085Mean dependent var1373.450Adjusted R-squared0.959979S.D. dependent var1552.133S.E. of regression310.5088Akaike info criterion14.40894Sum squared resid1735483.Schwarz criterion14.50851Log likelihood-142.0894Durbin-Watson stat0.801601现在给出图形表示：在这个图形中，我们把它与前面的时间序列图进行比较，发现曲线拟

26、合效果比较好。这个方程式比较单一的方程，接下来对ARMA方程进行改进。拟采用 Y Y(-1 to -2) Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/17/09 Time: 08:04Sample (adjusted): 3 22Included observations: 20 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.Y(-1)1.3824620.2452275.6374690.0000Y(-2)-0.2669880.293408-0.9099560.

27、3749R-squared0.980617Mean dependent var1373.450Adjusted R-squared0.979540S.D. dependent var1552.133S.E. of regression222.0128Akaike info criterion13.73799Sum squared resid887214.4Schwarz criterion13.83756Log likelihood-135.3799Durbin-Watson stat1.891080最后的ARMA模型为 通过这个模型，我们就能够预测下一天的确诊患者数量。估计下一天的确诊病例数

28、为：6.基于 问题二和问题三的模型修正问题2：有专家预言，对付甲型H1N1流感的疫苗很有可能在今年秋天研制成功，如何在疫苗数量有限的情况下，进一步修正你们的预测结果。已知在投放疫苗的前一时刻有：，。则根据已建模型有：，。假设生产出来的疫苗数量占总人口数达，并且在这一刻疫苗全部注射到占总人口的人身上，这些人立刻对流感免疫。假设此时，。则根据已建的数学模型可以得到：，。 令，则：由已知条件可以知道疫苗的数量是有限的，则.当时，。当时，。由已建的模型可以知道：最终未被感染的健康者的比例是，是方程 ， 在(0, )内的根，即，也就是说。由此可知，。当现在取，则，通过软件画图：有该图可以看出，随着的增大

29、，减小得越来越快。在现实中的意义是，随着投放疫苗数量的增加，患病的人数减少的速度变得越来越快，呈指数型减少。问题3：如果甲型H1N1流感病毒发生变异，导致发病潜伏期变长，则如何再次修正你们的预测结果？现有资料表明，人感染甲型H1N1流感病毒后，传染期为发病前1天至发病后7天。若病例发病7天后仍有发热症状，表示仍具有传染性。儿童，尤其是幼儿的传染期可能长于7天。人感染甲型H1N1流感的潜伏期一般1至7天左右，较流感、禽流感潜伏期长。长期看来，流感的蔓延期以及消亡期会随着流感疫苗的持续投放，发病潜伏期变长会使得每个病人的传染期增长，每个病人每天有效接触的平均人数称为日接触率k变大。那么=k/m也增

30、大。根据已建立的模型：最终未被感染的健康者的比例是，是方程 在(0,1/)内的根。现在取令，化简为（1） 令， 解得： （2）令， 解得： 用更一般的办法：总而言之：当时，增加，减少，增加。从现实意义上来说，流感病毒变异导致潜伏期变长以后，一个患者将流感传染到别人身上的可能性大大增加。由此可以看出蔓延的程度将增加，疫情将持续更长的时间，也变得更加严重。如果要降低因潜伏期变长带来k增大的影响，那么我们就应该有意识地提高m的值，也就是要大力提高医疗水平，增加日治愈率m的值。7.模型评价与改进方向本文在解决第一个问题的时候建立了两个模型，分别对应长期传播趋势（SIR模型）与短期传播趋势（时间序列模型

31、）。结论：流感疫情会先蔓延，后消失，并且在大量使用疫苗的情况下，流感疫情消失的速度会加快。短期模型主要是应用时间序列模型来预测在疫苗面市之前的传播趋势。结论：在疫苗面市之前，当期流感患者的人数与前期流感患者人数有直接联系。本文在解决第二个问题、第三个问题的时候，基于已经建立了的SIR模型，进行假设条件的补充，经过数学逻辑推理得出结论。结论：随着投放疫苗数量的增加，患病的人数减少的速度变得越来越快，呈指数型减少。流感病毒变异导致潜伏期变长以后，一个患者将流感传染到别人身上的可能性大大增加。由此可以看出蔓延的程度将增加，疫情将持续更长的时间，也变得更加严重。如果要降低因潜伏期变长带来k增大的影响，那么我们就应该有意识地提高m的值，也就是要提高医疗水平，增加日治愈率m的值。改进方向如何确定m值。根据以前同类型的流感疫情的日治愈率，加权平均得出m值，来确定具体的的具体数值。如何能够使达到长期模型和短期模型的内在统一，共同解释问题二和问题三。 参考文献：姜启源谢金星叶俊数学模型（第三版）高等教育出版社数据来源：美国疾病控制预防中心http:/www.cdc.gov/ 李子奈计量经济学（第二版）高等教育出版社16