高中数学（北师大版）必修五教案：2.1 典例分析：正余弦定理在解决三角形问题中的应用

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1、正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o 或 A B=0所以ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B

2、+ C)=0, B + C=90o, A=90o,故ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1.解：(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=12sincos+ sin(A + B) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(A + B) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0ABC是Rt。二、三角形中的求角或求边长问题- 2 - / 12例2、ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分

3、别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使DEF是等边三角形（如图1）。设FEC=，问sin为何值时，DEF的边长最短？并求出最短边的长。图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。解：设DEF的边长为x，显然C=90，B=60，故EC=xcos。因为DEC=DEF+=EDB+B，所以EDB=。在BDE中，由正弦定理得，所以 ，因为BE+EC=BC，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2 在ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。解：由cosA=，得sinA=, sinBsinA, B中能是锐角 cosB=,又 cos

4、C= - cos(A + B)=sinAsinB cosAcosB=.例3 (98年高考题)已知ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边，且a + c=2b, A B=60o, 求sinB的值.解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB即 2sincos=2sinB由 A + B + C=180o 得 sin=cos.又 A C= 60o, 得=sinB所以 =2sincos又 0o90o, cos0，所以 sin=.从而 cos=.所以 sinB=.例4（2005年湖北卷第18题）在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基

5、础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，解法2：以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.解法3：过A作AHBC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PNBC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=例5、(2005年天津卷第17题)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.解法一：由余弦定理，因

6、此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，由，得所以 由正弦定理.由式知故BA，因此B为锐角，于是，从而例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理）中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（）求的值（）设，求的值。解：（）由得 由及正弦定理得于是 （）由得，由可得，即由余弦定理 得 例7（2004年浙江高考数学理工第17题，文史第18题，） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 解: () = = = = () ,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何

7、问题例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出A、C，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180，所以sinA=sinC。连结BD，则四边形ABCD的面积。由余弦定理，在ABD中，。在CDB中，。所以2016cosA=5248cosC, 又因为cosC = cosA，所以64cosA= 32，cosA=, 所以A=120。所以S=16sin120=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想

8、的运用。四、解实际应用问题例9 某观测站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，CAD=60。设AD=x，AC=y。在ACB和ACD中，分别由余弦定理得，（1）（2）得2xy=6，将y=2x6代入（2）得，所以x=15，x= 9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等式例10 在ABC中， 求证： + +=0.解：因为 =4R2(cosB cosA),同理 =4R2(cosC cosB)=4R2(cosA cosC).所以左边=4R2(cosB cosA) + 4R2(cosC cosB) + 4R2(cosA cosC)=0 得证.例11（2000年北京春季高考题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。例12 （1999年全国高中数学联赛题）在ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c， 若，则。解：由正弦定理，由余弦定理，所以应填。 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！