三角形证明部分模型总结基础资料

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1、三角形部分模型总结斜边中线模型构成：RtABC,ACB=,D为AB边的中点目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。结果：AD=CD=BD例 1 已知：ABC中，A=，CEAB,BDAC 求证：DE=BC 证明：取BC中点M，连结EM,DM 先证EM=DMEM=BC=DM再证：2=-1-3 =-（-2ABC）-（-2ACB）=则EDM为等边三角形，所以有DE=DM=BC“Rt中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换”例2已知：ABC中，CEAB,BDAC，M,N分别为BC,DE的中点 求证：MNED证明：连结EM,DM 先证 EM=DMEM=BC=DM 后证 MNED N为中

2、点，EM=DM“RT中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理”思考：若ABC为钝角，又该如何呢？在Rt中，又是怎样？例3已知：在ABC中，AB=AC,BD为ABC的角平分线，AMBC,DEBC, FDBD 求证：ME=BF 证明：取BD、BF中点G、N，连结 DN， EF， GM 先证 DN=BF 再证：DN=DCDNC=C=ABC DNAB3=1 AB=AC 再证 GM=DC 后证 GM=MEMEG=MGE GEM=2 GMB=C=22 所以有ME=DC=BF“RT中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”例4 如图，在ABC中，B=

3、2C，ADBC与D,M为BC边的中点，AB=10cm,则MD长为多少？ 解：取 AB中点N,连结DN,NM,则DN=AB, NDB= B, 且NMD= C NDB= NMD+ DNM B= C+ DNM=2CDNM=C=NDM 则DM=DN=AB“Rt斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理” +“外角性质”+“等底对等腰”例5 如图 ，RtABC中，C=，CD平分C，E为AB中点，PEAB,交CD延长线于P,那么PAC+PBC的大小是多少？解：连结 CE ,则EAC=ECADCE=ECA-DCA=DAC-又DAC=180-ADC-=-PDEDCE=(-PDE)- =DPE 则PE =

4、EC=AE则可证PAC+PBC=PAB+BAC+PBA+ABC=180“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”“三线合一”模型“角平分线”+垂线等腰三角形”构成：OC为A0B的角平分线，BCOC于C点目的：构造等腰三角形结果： 边：BC=AC,OA=OB OC为OAB的中线角：3=4，ACO= OC为ABO的高线全等：ACOBCO例 1 已知：AD是ABC的A的平分线，CDAD于D,BEAD于AD的延长线于E,M是BC边上的中点。 求证：ME=MD 证明：延长 CD交AB于F点，BE与延长线交于点 为FC中点，为中点。 ，3 ， 则3则“三线合一定理的逆定理”“平行

5、线的性质”“等底对等腰”例已知：ABC为等腰直角三角形，A=,2,CEBE 求证：BD=2CE 证明：延长 CE、BA交于F 点 先证 CF=2CE 再证 RTABDRTCAF “3=F”+”AB=AC”+”BAD=CAF” 则有BD=CF=2CE “三线合一定理的逆定理”+“ASA全等”例3 已知：ABC中，CE平分ACB，且AECE,AED+CAE=180(3+4=180)求证：DEBC证明：延长AE交BC边于F点，则有3且35 3+4=180 4+5=180 56 则DEBC“三线合一定理的逆定理”“平行线的判定”例4 已知：在ABC中，ACAB,AM为A的平分线，ADBC于D 求证 ：

6、MAD=(B-C) 证明：作BEAM,交AC于E点，交AM于K点 先证3=42 5AEB AM为角平分线 BEAM 后证：B-C=4+5-C=4+AEB -C=24 则3=4= （B-C）即MAD=(B-C)“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”例 5 已知：在ABC的两边AB 、AC上分别取BD=CE，F、G分别为DE、BC的中点，A的平分线AT交BC于T 求证：FGAT 证明：作ENAT于N点，交AB于L点，作CKAT于K点，连结FN、GK 先证：NF且=LD,KG且=MB 再证：LD=MBLM=DB=EC 最后证明四边形FNKG为平行四边形。“三线合一定理的逆定理”“平行四边形判定”三

7、角形中位线模型构成：ABC中，D 为AB边中点目的：找中位线，构造：2倍关系相似三角形结果：DEBC,DE=BC ADEABC例1 已知：在ABC中，AB=AC,ADBC于D,DEAC于E,F为DE中点 求证：AFBE 证明：取BE中点H，连DH 先证：RtEDHRtAED 则 RtEDHRtAEF 则 BED= 1 EAF+AEG= 则AFBE “AAA”+“中位线定理”+“（两直线）定义”例2 已知 BD、CE为ABC的角平分线，AFCE 于F,AGCE于F,AGBD于G 求证：FGBC FG=(AB+AC-BC) 证明：延长AF、AG 分别交BC于M、N 两点证G为AN中点BDAN 1=

8、2 F为AM中点3=4 CEAM 则GF为ANM中位线 GFBC, GF=MN MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰三线合一”+“中位线定理”+“等量代换”思考：BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？例3 已知 ，如图在ABCD中，P为CD中点，AP延长线交BC延长线于E,PQCE 交DE于Q 求证：PQ=BC证明：先证ADPPCE 可得 CE=AD=BC 再证 PQ为中位线 ，PQ=CE“AAS”+“平行四边形性质”+“中位线定理”例4 已知：梯形ABCD中，AB=DC,ACBD,E、F为腰上中点，DLBC,M为DL与EF的交点 求证：EF=DL 证明：取AD

9、、EF的中点 H、K,连结 EH、FH、HK 易证EHHF 则HK=EF RTDLC中可得M为DL中点，则DM=DL 由题意得 HK=DM 则EF=DL“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例 5 已知：锐角ABC中，以AB、AC为斜边向外作等腰直角ADB，AEC,M为 BC中点，连结DM、ME 求证：DM=EM ,DMEM 证明：取AB、AC的中点F、G,连结DF 、FM、 ME 先证DFMMGE DF=GMDFM=MGE1=2=3 FM=GE则DM=ME , 4=5再证DME=7+1+5=，则 DMEM思考：BAC为钝角时，又该如何证明？“补长截短”模型（1

10、） 截长法： 构成：线段a,b,c目的：确定一线段，找令一线段的等量关系结果： a-=ca=b+c， b=（2）补短法： 构成：线段a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c=，b+=aa=b+c例1 已知：ABC中，AD平分BAC 求：（1）若B=2C,则AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,则B=2C解：（1）在AC上取AE=AB,连结DE,则AEDABD BD=ED3=B,AB=AE且3=2C=4+C 则EC=ED AC=AE+EC=AB+BD(2) (1)的反推过程“SAS全等”+“的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底等腰”例2已知：等腰ABC中，AB=AC,

11、A=,BD平分ABC 求证：BC=AB+DC证明： 在BC边上取BE=BA,连结 DE,则ABDEBDAB=BE 再证：3=4 4=，3=5-C=DC=EC 则BC=BE+EC=AB+DC“SAS 全等”+“两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰”例 3 已知：在ABC的边BC上取BE=CF，过E作EHAB交AC于H,过F作FGAB交AC于G 求证：EH+FG=AB证明：在AB上取BD=FG,连结DE 先证DBEGFC 再推3=C 再证四边形ADEH为平行四边形则 FG+EH=AD+DB=AB “SAS 全等”+“平行线的判定”+“平行四边形的判定”思考： 若在AC上截取AD=EH，连DF，

12、如何证明？若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？ a. 在CA上截取CD=GF,连DFb. 延长HE至D,使ED=GF,连ADc. 延长EH至D,使ED=AC,连CD例 4 已知：在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且BAE=2DAM 求证：AE=BC+CE 证明：取BC的中点G，连结AG 延长AB至F 使AF=AE,连结FG ,GE 先证3=5 则3=4=5 后证RTAFGRTAEG 则FG=GE 再证RTFBGRTECG 则BF=EC所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE“SAS 全等”+“三线合一定理”+“等量代换”思考：若用以下方法添加辅助线，该如何证明？ a. 在A

13、E上截取AF=AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE b. 延长DC至H,使CH=AB，连AH交BC于G例 5 已知：在正方形ABCD中，E 为BC上任一点，EAD的平分线交DC于F 求证：BE+DF=AE 证明：延长CD 至G,使DG=BE,连结 AG,则RTABERTADG, 得3=4再证5=1+4 AG=FG 所以有AE=AG=AF =DF+DG=DF+BE “平行线性质2”+“等底对等腰”+“HLRT全等” “等腰等边”模型 角平分线+平行线等腰 构成：AOB ,OD为AOB的角平分线 目的：构造等腰，找等角，等边 结果： OEC为等腰OC=OE 3=C, 1=3例 1 已知：ABC

14、中，AB=4,AC=7,M是BC中点，AD平分BAC,过M点作MFAD, 交AC于F 求：FC 的长度? 解：延长FM至N，使MF=MN,延长MF、BA交于E点 先证:BMNCMF BN=CF , N=MFC 再证：E=BAD=CAD=CFM=AFE=NAE=AF,BN=BE 则有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC 所以有：FC= (AB+AC)=5.5 “SAS 全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰”例 2 已知：锐角ABC中，ABC=2C, ABC的平分线与AD垂直，垂足为D 求证：AC=2BD 证明：过A作BC平行线，延长BE

15、交平行线于F 先证：ABF为等腰BF=2BD 再证：AE+EC=EF+BE AE=EF 3=4 BE=EC 2=C 即 AC=BF=2BD“等底等腰” +“等腰三线合一”+“平行线性质2”例 3 已知：在ABC中，A=100,AB=AC,BE是B 的平分线求证：AE+BE=BC证明：过E作EDBC交AB于D,延长CA至A使EF=BC 连结FD先证：DE=DB=EC再证：DEFECBFD=BE后证：FD=FA4=5=90所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC“平行线性质”+“等底等腰”+“SAS全等”例 4 已知：ABC中，AB=AC,AD为ABC的角平分线，P为BC上一点，过P

16、 作AD的平行线交BA的延长线于E，交AC于F 求证：2AD=PE+PF 证明：延长AD，FP,过C作AB平行线，交于G、H 点 先证：AD=DG,PH=FP 1=2=3=4=5 后证：AG=EH四边形AEHG为平行四边形 则有：2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP“等底等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质”倍长中线模型 构成（条件）：ABC中，AD为中线目的：（1）构造全等三角形 找等量关系（边）（2）构造平行线 找等角关系结果：（1）BDEADC BE=AC （2）AE=2AD 1=2，3=4ACBE例1： 已知：AD为ABC 中线，E为AC上一点，且AE=FE 求证：A

17、C=BF证明：（倍长中线）BDGCDA G=EAF，BG=AC 再G=3BF=BG“SAS 全等”+“等底 等腰”+“等量代换”例2 ：已知：CE、CB分别是ABC、ACD的中线，且AB=AC，求证：CD=2CE证明：倍长CE，连结BMMEBCEA（SAS）ME=EC+MEB=AEC+BE=AEMBCDBC（SAS）MB=BD+MBC=DBC+ BC=BC DC=MC=2EC“等腰对等底”+“外角=两内角和”+“SAS 全等” 例3：已知RtBAC中，A=90，D为BC边中点，E、F分别为边AB、AC上一动点，且EDFD。求证：EF=BE+CF。证明：倍长FD至G， 连结BG、EG先证CFDB

18、GDCF=BG，C=GBD（ACBG）RtEBG中，EG2=BG2+BE2=FC2+BE2EGF为等腰 ，则EF2=BE2+CF2“SAS全等”+“勾股定理”+“等腰三线合一”例4：已知：ABC中，AD为中线，AB边长为x ，AC边长为y，求中线AD 的取值范围。解：倍长AD 连结BE ABE中， |x-y|2ADx+y “SAS 全等”+“等量代换”+“三边关系”例5：已知M是ABC的边BC上的中点，过BC上一点D 引直线平行于AM交AB于E，交CA的延长线于F 求证：ED+DF=2AM证明：倍长AM ，连结BH 延长ED交BH于K先证四边形FAHK为平行四边形AH=FK再证ED= DKED

19、/AM=DK/HM，AM=MH ED+FD=FK=AH=2AM“SAS 全等”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+“等量代换”练习 已知：ABC 中，AD是角平分线，M是BC中点，MFDA，MF交AB、CA的延长线于E、F。求证：BE=CF证明：倍长FM 连结BG先证BMGCMFBG=CF，G=F FCBG再证1=F=GBE=BG=CF“SAS 全等”+“两直线平行，同位角相等”+“等底对等腰”+“等量代换”面积法 （1） 构成：ADBC，ABC，BCD 。 目的：找等积 . 结果：SABC =SBCD.（2）构成：EFBC，ABC，AEF 。 目的：找比例线段。结果：SAEF ：SAB

20、C=AF2：AC2=AE2：AB2=EF2：BC2（3）构成：l1l2l3，线段AC、BD，AD、BC相交于点O。 目的：找比例线段。结果： AE ：EC=AO：OD=BO：CO=BF：FD例1：在ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DEBC ，在AB上取点F， 使SADE=SBFC。求证：AD2=AB*BF。证明：“SADE ：SABC=AD2：AB2”+“ SADE ：SABC= SBFC ：SABC=FB：AB” AD2：AB2=FB：AB AD2 =FB*AB“相似面积比”+“同高面积比”+“比例的基本性质”例2：已知：ABC中，ACB=900，CE平分ACB 交AB于E，EFAC

21、 于F。 求证：。证明：过E作EDBC 于 DSABC = SBEC +SAECBC* AC=BC* ED+AC *EF则BC *AC=（BC+AC）*EF 所以有 “角平分线的性质”+ “面积公式”+“比例性质（逆用）”+“等面积代换”例 3：已知：ABC中，AB=AC ，D为BC上任一点，DEAB于E ，DFAC于F，BGAC于G。求证：BG=ED+DF证明 ：连结AD。 SABC =SABD+ SACD AC*BG=AB*ED+ AC*DF，则BG=ED+DF “面积公式”+“等面积代换”小结：等腰腰上的高为底边任一点到两腰距离之和。例4：已知P是 ABC 中A 的平分线上任意一点，过C

22、 引CEPB，交AB的延长线于E，过 B引BFPC，交AC 的延长线于F。求证：BE=CF。证明：连结PE、PF 。先证SPBE= SBPC=SPCF 再证P到BE边与CF边的距离相等。所以有BE=CF“同底等高面积相等”+“角平分线性质”+“面积公式”例5：已知：ABC中，DEBC 交CB延长线于F，AGDC交BC延长线于G。求证：BF=CG证明：连结EF、DG。 先证SFBE=SGCD“SAEB =SFBE”+“SADC =SGCD”+“SAEBC= SADC” 则有FB*EN=CG*DM，即BF=CG。“等高同底 面积相等”+“面积公式”+“两平行线距离” 例6、已知：ABC中，AD是中线，F是AD上的点，且DF=2AF，BF的延长线与AC交于E，求BF：FE。 证明：作FPAC交BC于P。先证，则有 即。思考：将“DF=2AF”改为“AF=2DF”，其它条件不变，求BF：FE。（BF：FE=2）11基础教育a