零件的变形及强度计算

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1、变形分析的基本知识变形分析的基本知识 任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形变形。 例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。在外力的作用下会产生变形的物体可统称为在外力的作用下会产生变形的物体可统称为变形固体变形固体。变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形：变形固体在外力的作用下会

2、产生两种不同的变形：当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹弹性变形性变形；外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，称为称为塑性变形塑性变形。即本单元研究的对象为构件是均即本单元研究的对象为构件是均匀连续的、各向同性的理想弹性匀连续的、各向同性的理想弹性体，限于小变形的范围内。体，限于小变形的范围内。其它复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合。零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿命，甚至发生破坏。命，甚至发生破坏。为了

3、保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作，为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作，必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力承载能力。 构件的承载能力分为：构件的承载能力分为： 强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性强度要求是对构强度要求是对构件的最基本要求。件的最基本要求。本单元主要研究构件在载荷本单元主要研究构件在载荷（外力）作用下的变形、受力（外力）作用下的变形、受力与破坏的规律，在保证构件既与破坏的规律，在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择合适的材前提下，为构件选择合适的材料、确

4、定合理的截面形状和尺料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用寸提供必要的基础知识和实用的计算方法。的计算方法。构件上的载荷和约束力统称为构件上的载荷和约束力统称为外力外力。零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位置的变化，材料内部会产生一种附加置的变化，材料内部会产生一种附加内力内力，力图使各，力图使各质点恢复其原来位置。质点恢复其原来位置。附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究零件承受载荷的能

5、力时，需要讨论附加内力。后面零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。截面法是用以确定零件内力的常用方法。截面法是用以确定零件内力的常用方法。通过取截面，使零件内力显示出来以便确定其数值的方法。通过取截面，使零件内力显示出来以便确定其数值的方法。如图如图a所示的杆在外力所示的杆在外力Fp的作用下处于平衡状态，力的作用下处于平衡状态，力Fp的作用线与杆的轴线重合，求截面的作用线与杆的轴线重合，求截面mm上的内力。上的内力。取左段为研究对象取左段为研究对象NF00XNPNPFFFFF用假象平面在用假象平面在mm处将杆

6、处将杆截开，分成左右两段，截开，分成左右两段，根据根据作用力与反作用力定理作用力与反作用力定理, , 和和 大小相等、方向相反。大小相等、方向相反。NFNF与杆轴线重合的内力又称为轴力。与杆轴线重合的内力又称为轴力。轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力为正，压杆的轴力为负。为正，压杆的轴力为负。2轴力轴力为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。 作法

7、是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的作法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的轴为横坐标轴，轴为横坐标轴，其值表示各横截面位置，取垂直于其值表示各横截面位置，取垂直于轴的轴的F FN N为纵坐标轴，其值表示对应为纵坐标轴，其值表示对应截面的轴力值，正值画在截面的轴力值，正值画在轴上方，负值画在轴上方，负值画在轴下方。轴下方。例例1 试计算如图a所示等直杆的轴力，并画出轴力图。解：解：（1）求约束反力）求约束反力取全杆为研究对象，作受力图，如图取全杆为研究对象，作受力图，如图b所示。所示。根据平衡方程：根据平衡方程：0 xF 则则1230PPPR得得123(1884)6RPPPkNkN（2

8、）分段计算轴力）分段计算轴力按外力作用位置，将杆分成三段，并在每段内任意取一个按外力作用位置，将杆分成三段，并在每段内任意取一个截面，用截面法计算截面上的轴力，如图截面，用截面法计算截面上的轴力，如图c所示所示AB段段0 xF 1106NNFRFRkN得得BC段段0 xF 21210(6 18)12NNFPRFRPkNkN 得得计算结果为正值，表明图示计算结果为正值，表明图示N1的方向正确，的方向正确，AB段受拉伸。段受拉伸。计算结果为负值，表明图示计算结果为负值，表明图示N2的方向相反，的方向相反，BC段受压缩。段受压缩。CD段段0 xF 333304NNFPFPkN 得得计算结果为负值，表

9、明图示计算结果为负值，表明图示N3的方向相反，的方向相反，AB段受压缩。段受压缩。轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。（3）绘制轴力图）绘制轴力图正轴力画在正轴力画在x轴上方，负轴力轴上方，负轴力画在画在x轴下方，如图轴下方，如图d所示所示u 杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取决于单位面积上所分布的内力大小。决于单位面积上所分布的内力大小。u 单位面积上的

10、内力称为单位面积上的内力称为应力应力，它所反映的是内力在截面，它所反映的是内力在截面上的分布集度。上的分布集度。u 其单位为帕斯卡（其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（），工程上常用兆帕（MPa）。）。1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。三、拉伸和压缩时的应力三、拉伸和压缩时的应力通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab、cd，如图如图a所示。并在杆的两端加一对轴向拉力所示。并在杆的两端加一对轴向拉力FP，使其产生拉，使其产生拉伸变形。伸变形。如将杆

11、件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面上各点的应力也是相等的。若以上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（表示内力（N），），A表示表示横截面积（横截面积（mm2），则应力），则应力(MPa)的大小为的大小为这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。 的方向与的方向与FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正应力，都用应力，都用 表示。

12、和轴力的符号规定一样，规定拉应力为表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为正；压应力为负。正；压应力为负。杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为l，横向尺寸为横向尺寸为b。变形后，长为。变形后，长为l1，横向尺寸为，横向尺寸为b1，如图所示。，如图所示。四、拉伸和压缩时的变形四、拉伸和压缩时的变形1变形与应变变形与应变杆件的轴向变形量为杆件的轴向变形量为横向变形量为横向变形量为l l称为轴向绝对变形，称为轴向绝对变形，bb

13、称为横向绝对变形。称为横向绝对变形。拉伸时，拉伸时，l l为正，为正，bb为负；压缩时，为负；压缩时，l l为负，为负，bb为正。为正。绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即，分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的符号总是相反的，它们是无量纲量。的符号总是相反的，它们是无量纲量。上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述为：当应力不超过某一极限时

14、，应力与应变成正比。为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。2虎克定律虎克定律实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一限度时，轴线变形限度时，轴线变形l与轴向载荷与轴向载荷FN及杆长及杆长l成正比，与杆成正比，与杆的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即引进比例常数引进比例常数E，则有，则有比例常数比例常数E E称为弹性模量，其值随材料不同而异。称为弹性模量，其值随材料不同而异。EAEA乘积越大，零件变形越小，乘积越大，零件变形越小，EAEA称为抗拉（压）刚度。称为抗拉（压）刚度。则有

15、则有 = E 在应力作用下，零件的变形和在应力作用下，零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关。破坏还与零件材料的力学性能有关。力学性能是指材料在外力作用下表力学性能是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。现出来的变形和破坏方面的特性。金属材料在拉伸和压缩时的力学性金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定。能通常由拉伸试验测定。 把一定尺寸和形状的金属把一定尺寸和形状的金属试样（图试样（图a a）装在拉伸试验机上，）装在拉伸试验机上，然后对试样逐渐施加拉伸载荷，直然后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至把试样拉断为止（图至把试样拉断为止（图b b）。）。五、零件拉伸与压缩时的强

16、度计算五、零件拉伸与压缩时的强度计算（一）极限应力（一）极限应力根据拉伸过程中试样承受的应力根据拉伸过程中试样承受的应力和产生的应变和产生的应变 之间的关之间的关系，可以绘出该金属的系，可以绘出该金属的 曲线。曲线。通过对低碳钢的通过对低碳钢的 曲线分析曲线分析可知，试样在拉伸过程中经历可知，试样在拉伸过程中经历了弹性变形（了弹性变形（oaboab段）、塑性变段）、塑性变形（形（bcdebcde段）和断裂（段）和断裂（e e点）三点）三个阶段。个阶段。弹性变形阶段，试样的变形与应力弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。应力始终呈线性关系。应力p p称为比例称为比例极限。图中直线极限。图

17、中直线oaoa的斜率就是材料的斜率就是材料的弹性模量的弹性模量E E。塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶段又分屈服阶段（段又分屈服阶段（bc-bc-塑性变形迅速增加）、强化阶段（塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd-cd-材材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-de-试样局部出现颈缩）。应试样局部出现颈缩）。应力力ss称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力显著的塑性变形。应力bb称为抗拉强度，当零件实际应力达称为抗拉强度

18、，当零件实际应力达到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。上述比例极限上述比例极限 、屈服点、屈服点 和和抗拉强度抗拉强度 分别是材料处于弹分别是材料处于弹性比例变形时和塑性变形、断性比例变形时和塑性变形、断裂前能承受的最大应力，称为裂前能承受的最大应力，称为极限应力。极限应力。psb零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用表示。为了确保零件的表示。为了确保零件的安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极

19、限应力除以一个大于安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数的系数（安全系数）所得商作为材料的许用应力（安全系数）所得商作为材料的许用应力。（二）许用应力（二）许用应力对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为 式中，式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。是塑性材料的屈服安全系数。 对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（

20、如铸铁）。考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有式中，式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；是脆性材料的断裂安全系数；l 和和 y分别是拉伸许用应力和分别是拉伸许用应力和压缩许用应力；压缩许用应力；bl和和by分别是材料的抗拉强度和抗压强度。分别是材料的抗拉强度和抗压强度。根据强度条件式，可以解决三类问题：根据强度条件式，可以解决三类问题： 强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。 设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的

21、许用应力。 确定许可载荷：确定许可载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。已知零件的尺寸及材料的许用应力。（三）强度条件（三）强度条件为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力max不不超过材料的许用应力超过材料的许用应力。即。即上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的依据。式中，依据。式中，FN是危险截面上的轴力；是危险截面上的轴力；A是危险截面面积。是危险截面面积。例例2 某车间自制一台简易吊车（图某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点）。已知在铰接点B处吊起处吊起重物

22、最大为重物最大为FP=20kN，杆，杆AB与与BC均用圆钢制作，且均用圆钢制作，且dBC=20mm，材料的许用应力，材料的许用应力=58Mpa。试校核。试校核BC杆的强度，杆的强度，并确定并确定AB杆的直径杆的直径dAB（不计杆自重）。（不计杆自重）。解解 由受力分析可知，由受力分析可知，AB杆和杆和BC杆分别为轴杆分别为轴向受拉和轴向受压的向受拉和轴向受压的二力杆，受力图如图二力杆，受力图如图b所示。所示。（1 1）确定）确定ABAB、BCBC两杆两杆的轴力的轴力用截面法在图用截面法在图a a上按上按m-n截面取研究对象，其受截面取研究对象，其受力图如图力图如图c c所示，可得所示，可得21

23、,NBCNABFFFF列平衡方程求解：列平衡方程求解：13121210sin60020 10()23.09sin600.8660cos600cos6023.090.511.55yNPPNxNNNNFFFFFNkNFFFFFkNkN （2 2）校核）校核BCBC杆强度杆强度32223 264 11.55 10(20 10 )436.76 1036.76 NNBCBCBCFFPadAPaMPa故故BCBC杆满足强度要求。杆满足强度要求。（3 3）确定）确定ABAB杆直径杆直径NFA其中其中2/ 4ABABAd所以所以331644 23.09 1022.5 1022.5 58 10NABFdmmmm

24、 取取23ABdmm一、剪切和挤压的概念一、剪切和挤压的概念实例一实例一 实例二实例二如图如图b b所示，在外力所示，在外力F FP P的作用下，截面发生相对错动的变形称为的作用下，截面发生相对错动的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面剪切变形。产生相对错动的截面mmmm称为剪切面，剪切变形是称为剪切面，剪切变形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件两侧零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件两侧面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。螺栓除受剪切作用外，螺栓除受剪切作用外，还在螺栓圆柱形表面和还在螺栓圆柱形表面和钢板圆孔

25、表面相互压紧钢板圆孔表面相互压紧（图（图d d），这种局部受），这种局部受压的现象称为挤压。作压的现象称为挤压。作用在挤压面上的压力叫用在挤压面上的压力叫挤压力，承受挤压作用挤压力，承受挤压作用的表面叫挤压面，在接的表面叫挤压面，在接触处产生的变形称为挤触处产生的变形称为挤压变形。如果挤压变形压变形。如果挤压变形过大，会使联接松动，过大，会使联接松动，影响机器正常工作，甚影响机器正常工作，甚至造成挤压破坏。至造成挤压破坏。2jyhlAjyAdt 解解 铆接件的强度计算中，铆接件的强度计算中，通常需要考虑三种可能的破坏形通常需要考虑三种可能的破坏形式：铆钉被剪断；铆钉或钢板的式：铆钉被剪断；铆钉

26、或钢板的铆钉孔壁被挤压坏；被铆钉孔削铆钉孔壁被挤压坏；被铆钉孔削弱后的钢板被拉断。弱后的钢板被拉断。 下面一一校核。下面一一校核。（1）校核铆钉的剪切强度）校核铆钉的剪切强度外力外力P由五个铆钉共同承担，通常假定平均分担。因此每由五个铆钉共同承担，通常假定平均分担。因此每个铆钉受力个铆钉受力P/5，而每个铆钉有两个受剪面，故，而每个铆钉有两个受剪面，故 232/52/ 4240 1041192 3.14 165QFPAdMPaMPa（2）校核铆钉的挤压强度）校核铆钉的挤压强度因主板厚度小于两盖板厚度之和，而主板铆钉孔壁所受的因主板厚度小于两盖板厚度之和，而主板铆钉孔壁所受的挤压力等于两盖板铆钉

27、孔壁所受的挤压力之和，故应校核挤压力等于两盖板铆钉孔壁所受的挤压力之和，故应校核铆钉与主板之间的挤压强度，即铆钉与主板之间的挤压强度，即31/5240 101505 20 16pjyjyjyjyFPMPaMPaAt d（2）校核钢板的拉伸强度）校核钢板的拉伸强度主板厚度小于两盖板厚度之和，故只需校核主板的拉伸强主板厚度小于两盖板厚度之和，故只需校核主板的拉伸强度即可。主板受力如图度即可。主板受力如图b所示。所示。校核校核-和和-截面的强度：截面的强度：对于对于-截面：截面： 3133 240 1078.35(3 )5 (1403 16) 20PMPaMPabd t 对于对于-截面：截面： 31240 10111(2 )(1402 16)20PMPaMPabd t 由以上校核可知，整个铆接件的强度是足够的。由以上校核可知，整个铆接件的强度是足够的。PPIWRdD纯弯曲时梁横截面上弯曲正应力的分布规律