初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计

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1、初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计 见山是山，见山不是山，见山是山一、问题模型一概述1.问题模式：结果f（情景，对象，方式，条件，要求，任务）。CDABl12mm例1 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36，求长方形卡片的周长”请你帮小艳解答这道题（精确到1mm）（参考数据：sin360.60，cos360.80，tan360.75）【2009年吉林省中考试题】DCBAEP说明：生活情景（背景）：平行线，或纸片放在一组等距的平行线上；对象：平行线，矩形；操作方式：摆放，测量；条件

2、：平行线是等距的，距离为12mm,=36,(辅助条件)sin360.60等；要求：精确到1mm；任务：求周长；结果：长度值；f：如图所示摆放，使各顶点处于特定的位置。例2 如图，在菱形ABCD中，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则_度【2009年山东省临沂市中考试题】说明：数学情景：基形为菱形。对象：（基本对象）菱形，（构建对象）垂直平分线，线段；方式：推理；条件：菱形，垂直平分，对角线，；无特殊要求；任务：求角度值；f：BD为菱形对角线，AD的垂直平分线与对角线相交。2.六因素说明1“情景”主要有两种：生活情景，如海面、灯光等；数学情景，如网格、运动等.2“对象”主要

3、有三种：实物对象，如树等；模型对象，如三角形、方程等；任务对象，如决策对象，阅读对象等. 3“方式”主要有四种：操作方式，如使用测角器的测量方式，图形分割、旋转等；说理方式，如合情推理等；应用方式，如决策、方案设计、最值等；学习方式，如阅读理解与运用等.4“条件”主要有四种：数值条件，如角度、长度等；关系条件，如图形之间的关系，代数式间的关系等；结构性条件，这里又有三种，（a）情景图所确定的结构，如测量中的”两角一边”型图形或它的变式图形，组合图形；b图形结构，如位置关系等；c代数结构，如式的结构等；辅助性条件，这里又有两种：a限制性条件，如点的运动方式的限制性条件，最值所满足的条件；b说明性

4、条件，如概率情景中球的外形、质感相同等. 5“要求”主要有三种：操作性要求，如折叠后使某点落在某位置等；任务性要求，如“判断”，“猜想”，“探究”等；结果性要求，主要是指对结果表现形式的要求，如“写出一个结论”，“不要求写画法”，“结果保留”等.6“任务”主要有四种：1操作性任务，如画图、求解等；2推理性任务，如归纳、证明等；3应用性任务，如决策等；4学习性任务，如阅读理解基础上的求解、探究等运用性任务.7“结果”主要有六种：数值性结果，如概率；方案性结果，结果为一个或若干个方案；图形性结果，结果为一个图形；关系性结果，结果为几何对象或代数对象之间的某种关系；结论性结果，如某人发挥水平较为稳定

5、等；问题实例性结果，如所提问题，所举实例等.3试题模型：试题g（问题，题型）.例3 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、QQCBAOxP图y（1）四边形OABC的形状是 ，当时，的值是 ；（2）如图，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由（Q）CBAOxP图yQCBAOxP图yCBAOyx（备用图） 【2009

6、年浙江省宁波市中考试题】说明：问题：直角坐标系下，特殊矩形摆放在特殊位置，绕某点原点旋转，根据旋转的不同时刻产生不同的问题；根据问题的特殊性、难易性、所考查的目标等因素考虑，选择不同的题型进行表征，便形成了鲜活的试题。二变式.操作型问题操作结果f（操作性情景，对象，操作方式，条件，要求，任务）。1测量型问题测量性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件，要求）。1数值性结果数值性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件），其中的条件主要有两种：由测量方式所确定的、有情景图所描述的结构性条件和由测量所得到的数值条件如仰角等.例4 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后

7、，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区ACDEFB风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处在同一平面内，若测得斜坡的长为100米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为（1）求的度数；（2）求索道的长（结果保留根号）【2009年辽宁省铁岭市中考试题】模型：索道长f（斜坡，水平面，B、D两处的测量方式，测量值）.问题：置身如此，你可怎样获得凉亭高度？2方案性结果方案性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件，方案设计要求）.3推断性结果推断性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件）。2几何操作型问题操作结果f（操作性情景，几何对象，操作方式，条件，要求，任务）. （1）按

8、要求画出图形画出图形f（画图情景，基本图形，操作方式，条件，画图要求）2先作几何操作后完成有关任务结果f（几何操作情景，基本图形，操作方式，条件，操作要求）.例5 观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图）小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由ACDB图ACDB图FE（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小EDDC

9、FBA图EDCABFGADECBFG图图【2009年江苏省中考试题】模型：说理性结果或求解性结果f（三角形纸片或长方形纸片，折叠，图示结构，要求）.启示：在玩中思考，在思考中玩，数学好玩。3求解型问题求解结果f（求解性情景，对象，条件，要求）。（1）生活情景求解结果f（实际情景，对象，条件，要求）.例6 一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 【2009年四川省绵阳市中考试题】模型：搭配正确的概率f（茶杯，杯盖，茶杯与杯盖的个数与花色特点，搭配要求）.启示：生活中不是没有美妙的数学，

10、而是没有发现的眼光。2纯数学情景求解结果f（纯数学情景，对象，条件）.推理型问题结果f（情景，对象，条件，推理方式）。 1合情推理型问题 推理结果 = f（合情推理性情景，对象，关系，推理方式）。（1）动态的方式归纳结果 = f（动态的情景，对象，关系，归纳推理）例7 下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以为起点结六条线后，再从线上某点开始按逆时针方向依次在上结网，若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、，那么第200个结点在（ ）8932176121110451314CBAFED OA线上 B线上C线上 D线上【2009年湖南省永州市中考试题】模型：结果f（归纳性情景，对象，

11、对象所满足的关系，归纳）.启示：两个翅膀平衡作用，才能展翅高飞。（2）静态的方式 结果 = f（静态的情景，对象，关系，合情推理）。 2说理型问题结论f（对象，条件，说理方式）。说理方式有非严格的说理，与严格的证明性说理，以及解释性说理，等等1结合运算的说理结论f（对象，条件，结合运算的说理方式）.例8 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角为78李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.050.20m时，安装起来比较方便他现在竖直站立在梯子的第三

12、级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：，）【2009年河南省中考试题】模型：结果f（情景，对象，图示条件，结合运算的说理）.启示：将你的发现表达为问题，由问题具体化为试题。2证明性的说理结果f（对象，条件，证明性的说理方式）.3综合性的说理结果f（对象，条件，合理推理，逻辑推理）.例9 问题探究（1）请在图的正方形内，画出使的一个点，并说明理由（2）请在图的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由问题解决（3）如图，现在一块矩形钢板工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且请你在图中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）DCBADCBADCBA 【2

13、009年陕西省中考试题】DCBAEGOPDCBAOPEF欣赏：DCBAP 模型：所画图形f（基本图形，条件，任务要求）.应用型问题结果f（应用性情景，对象，条件，要求）. 1决策型问题决策结果f非决策对象，决策对象，条件，要求1方案设计型问题方案f（对象，条件，设计要求）.2判断型问题判断结果f（实际情景，对象，图表文字等信息，判断依据或要求）.例10 某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相S（米）t（分）BOO3 60015 A遇，相遇后小中，明立即坐父亲的自行

14、车赶回体育馆.下图中线段、分别表示父、子俩送票、取票过程离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点的坐标和所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？【2009年江西省中考试题】模型：结果 f（骑车步行，时间，路程，图示信息，文字信息）.回味：自然合理，图文并茂，数形结合。3方案决策型问题决策结果f（实际情景，对象，条件，决策要求）.2实际中的最值型问题结果f（实际生活情景，对象，条件，最值性要求）.例11 如图（1）的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形

15、，正方形的边长为折叠进去的宽度（1）如图（2），思维游戏这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm的矩形纸包好了这本书，展开后如图（1）所示求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图（2）中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示问折叠进去的宽度最大是多少？12【2009年浙江省绍兴市中考试题】模型：结果f（包书情景，矩形纸，图示条件，陈述性条件，包书要求）. 启示：数学从生活中来，回到生活中去。.学习型问题结果f阅读材料，对象，条件，运用。1对概念与规律的理解结果f（阅读材料中的概念或规律，理解运用的对

16、象，条件，要求，理解后的运用）. 例12 2009年浙江省台州市中考数学试题中关于新定义概念的考查情况定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图(1)，则点就是四边形的准内点 图(3)图(2)图(4)FEDCBAPGHJI图(1)BJIHGDCAP（1）如图(2)， 与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（2）分别画出图(3)平行四边形和图(4)梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若是任意凸四边形的准内点，则或

17、( ) 模型：结果f（新定义概念，四边形，条件，任务与要求）.启示：理解是学习的基础。2对过程与方法的理解结果f（对过程与方法的阅读，对象，条件，运用）.例13 阅读下列材料：图(1)图(2)小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点O旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形

18、（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）图(3)ADGCBEQHFMNP图(4)【2009年北京市中考试题】模型：结果f（阅读材料，矩形纸片，平行四边形，条件，操作要求）. 启示：学习能力是数学素养、人的基本素质的基本构成部分，应当是教学与评价关注的基本对象之一。二、试题设计问题模式：结果f（情景，对象，方式，条件，要求，任务）。一 设计方法1.改变因素A.改变情景等因

19、素改变，得先有个基本而简单的问题，如测旗杆高度。例14 小明站在处放风筝，风筝飞到处时的线长为20米，这时测得，若牵引线底端离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（计算结果精确到0.1米，）基本问题模型：“高度f（风筝，地面，测量工具，测量值）”。更一般模型：“高度F（物体，测量方式，测量值）”。改编思路1：改变地面因素。新题1：（浙江绍兴）兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长

20、为4.4米，则树高为（ ）A11.5米B11.75米C11.8米D12.25米 改编思路2：改变地面因素与测量方式。新题2：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）A24m B22m C20 m D18 m思考：题型的选择是否恰当？ 改编思路3：改变测量对象与测量方式等。 新题3（山东烟台）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，

21、已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30和60（如图），试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据：，） 改编思路4：改变测量方式等。新题4 安徽如图某幢大楼顶部有广告牌张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为（取，计算结果保留一位小数）（）求这幢大楼的高；（）求这块广告牌的高度B.改变方式等因素例15 原题：一张矩形纸片ABCD，沿对角线BD折叠，使边BC与边AD交于点F，改变思路1：同是长方形纸片，改变折叠方式，发现新的结论。ABCDFE新题1：如

22、图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处（1）求证：；（2）设，试猜想之间有何等量关系，并给予证明说明：备选设问方式：你能得出哪些结论，请写出三个。当F是BC的中点时，何时DBAE。如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在A处.设AE=a,AB=b,BF=c,求证：.改变思路2：进一步改变条件因素。新题2：如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，形成五边形ABCNM，若这个五边形中有四条边相等，则图中ADC=_ _.改变思路3：改变对象因素，将长方形换成题型。新题3：如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点

23、C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE（1）求证：四边形CDCE是菱形；（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明改编思路4：将梯形特殊化，同时改变折叠方式与设问方式。新题4:如图，梯形纸片ABCD中,ADBC,B=C=60,点E是DC上的一点，沿直线AE折叠，使点D落在D处，则1+2等于( )A、180 B、150 C、135D、120 改编思路5：改换成正方形纸片与折纸方式等。新题5：如图，边长为1的正方形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ，求MP的长。C.改变关系f例16 原题：如图，是一个数

24、值转换器，原理如图所示（1）当输入的值为144时，求输出的值；（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，则写出所有满足要求的值；如果不存在，则说明理由输入取算术平方根是有理数是无理数输出原题求解：求解（2）的一种可能思路是：，由此得出x0，1。改编理由：发现原有试题的问题，调整改进。改编思路：使所考查内容落在课标范围内。 新题：阅读下列计算程序:（1） 当x0=1200时,输出的y值是多少?（2） 若经过二次输出才能输出y的值,求x0的取值范围.说明：不能因为存在问题，便抛弃全部。不能仅仅简单地否定它，而应当设法改进它，建设它。2.在f上作文章f怎样选取元素，并将这些元素有机地组合起来

25、。例17 基本图形：如图。构造思路1：连接AO，从中能得到什么？图图图题目1：如图，ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上任意一点（不与A,B点重合），设OAB=,C=.1当=35时，求的度数；2猜想与之间的关系，并给予证明.构造思路2：作弦BC的垂直平分线交AC于F，连接BF交AO于H，在这个图形中，能得到哪些结论？ 结论：CFE=OAB;FHOAHB;FAO+FBA=OAB。例18 基本图形：两个全等或相似的等腰直角三角形。构造思路1：按如图所示摆放。题目1：ABC和CDE都是等腰直角三角形，CD、CE与AB分别交于点F、G，那么图中有相似三角形吗？请找出来并给予证明。构造思路2：将两个

26、相似的三角形按如图形式摆放。题目2：（2008,山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图（1）所示放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结(1)(2)DCEAB（1）请找出图(2)中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：例2（2008,天津） 已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，NCABEFMN图（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了CABEFMN图请你完成证明

27、过程。（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 发现起源：合理提问：同线的三条线段有没有恒定的关系？CABEFMNGCABEFDMN求解图形： 说明：从审视例3中有所收获。一般地特殊图形的特殊摆放，通常包含了某种规律。3.发现情景例19 （2006，江西） 小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a 8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用

28、含a的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其它因素）素材来源：从亲身经历中发现有价值的素材。例20 为解决“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1米）说明：减少文字的方法：借助情景图去表达问题。二关于问题与题型的思考1 题型运用的恰当性主要取决于五个要素：考查目标，如果考查目标重在考查对某一两个基本知识点

29、，或某一两项常规、简单技能的掌握情况，通常使用填空题或选择题便可以了，并且使用选择题考查的问题通常都可用填空题代替，但为了降低问题难度，或重在考查学生的直觉判断、概念理解等能力，使用选择题也是一种好的形式；如果希望考查学生的数学思维能力及数学表达能力等，增强考试的效度与信度，使用解答题便是必要的.问题情境的复杂程度，如果情境本身比较复杂，由其引出的问题，求解时思维含量较大、过程较长，便不宜使用填空题与选择题，而应使用解答题了.解答过程，如果解答过程能够较好地反映出学生思维过程的水平与差异性，使用解答题要求学生写出过程就较为适当，反之，可选用填空题或选择题.表达的便利性，如果求解过程本身不便于表

30、达，则往往使用填空题或选择题.表述方式的和谐性，即题型使用有时要参照整题、甚至整卷来考虑题型的使用。2题型选择当慎重对于同一问题模型，选用不同题型时，对考查所发挥的作用是大不相同的，因而对题型的使用当慎重考虑。例21 分式方程的解是（ ）A B C D 说明：例22 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其运费（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）9003003050y(元)x(kg)OA20kgB25kg C28kgD30kg说明： 应当说，本题的问题设计是较好的，采用选择题也是可以的.另一方面，根据中考的考试特点分析，可作这样的推断：命题者设计本

31、题的目的主要在于考查学生对图像信息的获得，及在此基础上的用待定系数法求出一次函数解析式，然后通过解析式求出它与x轴的交点坐标，并给出实际意义的解释.按照这样的理解，要完整解决此题，需要经过五步.由此观察，若重在考查中等学生的思维过程及对有关知识的掌握状况，使用解答题也是个不错的选择.但当使用选择题时，可以推测，在完全做对的学生中，大部分学生是按照这一思路完成的，也有的学生是猜测得到的，还有学生是通过其他途径，如采用比例的方法：（900300）5030300x得到的当然能这样得到结果的学生，其思维是相当不错的，也可能是根据线段的长短比例作出判断的当图形比较准确时，可直观判断选A,因为直线与x轴的交点在“050”对应线段的中点的左边，但五个步骤中的某一步骤出了差错，将可能不能得分，且难以对其作出准确评价，这便与命题者的初衷似有相悖.可见，题型的使用是很有讲究的，它是影响试题能否有效地实现考查的目标的一个重要因素.