高等数学下册三重积分课件

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1、2021/6/16 1 第 三 节一 、 三 重 积 分 的 概 念 二 、 三 重 积 分 的 计 算 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 重 积 分 第 九 章 2021/6/16 2 一 、 三 重 积 分 的 概 念 类 似 二 重 积 分 解 决 问 题 的 思 想 , 采 用kkkk v),( ),( kkk kv引 例 : 设 在 空 间 有 限 闭 区 域 内 分 布 着 某 种 不 均 匀 的物 质 , ,),( Czyx 求 分 布 在 内 的 物 质 的可 得 nk 10limM“大 化 小 , 常 代 变 , 近 似 和 , 求 极 限 ”解 决 方 法

2、 :质 量 M .密 度 函 数 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 3 定 义 . 设 ,),(,),( zyxzyxf kkknk k vf ),(lim 10 存 在 , ),( zyxf vzyxf d),(称 为 体 积 元 素 , vd .ddd zyx若 对 作 任 意 分 割 : 任 意 取 点则 称 此 极 限 为 函 数 在 上 的 三 重 积 分 .在 直 角 坐 标 系 下 常 写 作三 重 积 分 的 性 质 与 二 重 积 分 相 似 .性 质 : 例 如 ),2,1( nkvk ,),( kkkk v 下 列“ 乘中 值 定 理

3、 . ),( zyxf设在 有 界 闭 域 上 连 续 ,则 存 在 ,),( 使 得 vzyxf d),( Vf ),( V 为 的体 积 , 积 和 式 ” 极 限 记 作 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 4 二 、 三 重 积 分 的 计 算1. 利 用 直 角 坐 标 计 算 三 重 积 分方 法 1 . 投 影 法 (“先 一 后 二 ” )方 法 2 . 截 面 法 (“先 二 后 一 ” ) 方 法 3 . 三 次 积 分 法 ,0),( zyxf先 假 设 连 续 函 数 并 将 它 看 作 某 物 体 通 过 计 算 该 物 体 的 质 量

4、 引 出 下 列 各 计 算最 后 , 推 广 到 一 般 可 积 函 数 的 积 分 计 算 . 的 密 度 函 数 , 方 法 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 5 zx yD D yxdd 方 法 1. 投 影 法 (“先 一 后 二 ” ) Dyx yxzzyxz ),( ),(),(: 21 yxzzyxfyxz yxz ddd),(),( ),(21 该 物 体 的 质 量 为 vzyxf d),( ),( ),(21 d),(yxz yxz zzyxf D yxz yxz zzyxfyx ),( ),(21 d),(dd yxzyxf dd)

5、,(细 长 柱 体 微 元 的 质 量 为 ),(2 yxzz ),(1 yxzz yxdd微 元 线 密 度 记 作 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 6 ab方 法 2. 截 面 法 (“先 二 后 一 ” ) bza Dyx z),(:为 底 , d z 为 高 的 柱 形 薄 片 质 量 为zD以x yz该 物 体 的 质 量 为 vzyxf d),( ba ZD yxzyxf dd),( ZDba yxzyxfz dd),(d zd z zD zD yxzyxf dd),( zzyxf d),(面 密 度 zd记 作 机 动 目 录 上 页 下 页

6、返 回 结 束 2021/6/16 7投 影 法 方 法 3. 三 次 积 分 法设 区 域 :利 用 投 影 法 结 果 , bxa xyyxyDyx )()(:),( 21 ),(),( 21 yxzzyxz 把 二 重 积 分 化 成 二 次 积 分 即 得 : vzyxf d),( ),( ),(21 d),(dd yxz yxzD zzyxfyx vzyxf d),( ),( ),(21 d),(yxz yxz zzyxf )()(21 dxy xy y ba xd 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 8 当 被 积 函 数 在 积 分 域 上 变 号

7、 时 , 因 为),( zyxf 2 ),(),( zyxfzyxf ),(1 zyxf ),(2 zyxf均 为 非 负 函 数根 据 重 积 分 性 质 仍 可 用 前 面 介 绍 的 方 法 计 算 .2 ),(),( zyxfzyxf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 9 小 结 : 三 重 积 分 的 计 算 方 法方 法 1. “先 一 后 二 ”方 法 2. “先 二 后 一 ”方 法 3. “三 次 积 分 ” ),( ),(21 d),(dd yxz yxzD zzyxfyx vzyxf d),( ZDba yxzyxfz dd),(d ),

8、( ),()()( 2121 d),(dd yxz yxzxy xyba zzyxfyx 具 体 计 算 时 应 根 据 vzyxf d),( vzyxf d),(三 种 方 法 (包 含 12种 形 式 )各 有 特 点 ,被 积 函 数 及 积 分 域 的 特 点 灵 活 选 择 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 10 其 中 为 三 个 坐 标例 1. 计 算 三 重 积 分 ,ddd zyxx12 zyx 所 围 成 的 闭 区 域 . 1x yz 1 21解 : : zyxx ddd )1(010 21 d)21(d x yyxxx yx z21

9、0 d 10 32 d)2(41 xxxx yxz 210 )1(0 21 xy 10 x )1(021 dx y 10 dxx 481面 及 平 面 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 11 x yz例 2. 计 算 三 重 积 分 ,ddd2 zyxz.1: 222222 czbyax其中解 : : zyxz ddd2 cc zczbaz d)1(2 222czc 222222 1: czbyaxDz zD yxddcc zz d2 3154 cba a bc用 “ 先 二 后 一 ” zDz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/1

10、6 12ox y z2. 利 用 柱 坐 标 计 算 三 重 积 分 ,R),( 3zyxM设,代替用极坐标将yx ), z（则就 称 为 点 M 的 柱 坐 标 . z 200siny zz cosx 直 角 坐 标 与 柱 面 坐 标 的 关 系 :常数坐 标 面 分 别 为 圆 柱 面常数 半 平 面常数z 平 面 z ),( zyxM )0,( yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 13 如 图 所 示 , 在 柱 面 坐 标 系 中 体 积 元 素 为 z zdddzv dddd 因 此 zyxzyxf ddd),( ),( zF 其 中 ),si

11、n,cos(),( zfzF 适 用 范 围 :1) 积 分 域 表 面 用 柱 面 坐 标 表 示 时 方 程 简 单 ;2) 被 积 函 数 用 柱 面 坐 标 表 示 时 变 量 互 相 分 离 .zddd x yzo dd 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 14 其 中 为 由例 3. 计 算 三 重 积 分 zyxyxz ddd22 xyx 222 0),0(,0 yaazz 所 围解 : 在 柱 面 坐 标 系 下 : cos20 2d dcos34 20 32 a cos20 20 az 0及 平 面 2 ax yzo zv dddd 20 d

12、a zz0 d zz ddd2 原式398a柱 面 cos2成 半 圆 柱 体 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 15ox y z例 4. 计 算 三 重 积 分解 : 在 柱 面 坐 标 系 下 h: h z42d h dh20 22 )4(12 4)41ln()41(4 hhh hz h20 20 h20 2 d1 20 d ,1 ddd 22 yx zyxzyx 422 )0( hhz 所 围 成 .与 平 面 其 中 由 抛 物 面42r zv dddd 原 式 = 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 16 3. 利

13、 用 球 坐 标 计 算 三 重 积 分 ,R),( 3zyxM设),( z其柱坐标为就 称 为 点 M 的 球 坐 标 .直 角 坐 标 与 球 面 坐 标 的 关 系,ZOM Mox yzz r),( r则 0 200 rcossinrx sinsinry cosrz 坐 标 面 分 别 为常数r 球 面常数 半 平 面常数 锥 面 ,rOM 令),( rM sinr cosrz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 17 x yzo如 图 所 示 , 在 球 面 坐 标 系 中 体 积 元 素 为 dd r rd dddsind 2 rrv 因 此 有 zy

14、xzyxf ddd),( ),( rF其 中 )cos,sinsin,cossin(),( rrrfrF 适 用 范 围 :1) 积 分 域 表 面 用 球 面 坐 标 表 示 时 方 程 简 单 ;2) 被 积 函 数 用 球 面 坐 标 表 示 时 变 量 互 相 分 离 . dddsin2 rr d 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 18 例 5. 计 算 三 重 积 分 ,)( 222 zdydxdzyx22 yxz 为锥面2222 Rzyx 解 : 在 球 面 坐 标 系 下: zyxzyx ddd)( 222 所 围 立 体 .40 Rr 0 20

15、 其 中 与 球 面 dddsind 2 rrv R rr0 4d)22(51 5 R 40 dsin 20 d x yz o4 Rr 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 19 例 6.求 曲 面 )0()( 32222 azazyx 所 围 立 体 体 积 .解 : 由 曲 面 方 程 可 知 , 立 体 位 于 xoy面 上 部 ,cos0: 3 ar 利 用 对 称 性 , 所 求 立 体 体 积 为 vV d rra d3 cos0 2 dcossin32 203 a 331 a 3 cosar ,20 20 20 dsin 20 d4 yoz面 对 称

16、 , 并 与 xoy面 相 切 , 故 在 球 坐 标 系 下 所 围 立 体 为且 关 于 xoz dddsind 2 rrv yzxa r 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 20 内 容 小 结 zyx ddd zddd dddsin2 rr 积 分 区 域 多 由 坐 标 面被 积 函 数 形 式 简 洁 , 或坐 标 系 体 积 元 素 适 用 情 况直 角 坐 标 系柱 面 坐 标 系球 面 坐 标 系* 说 明 :三 重 积 分 也 有 类 似 二 重 积 分 的 换 元 积 分 公 式 :),( ),( wvu zyxJ 对 应 雅 可 比 行

17、列 式 为 * ddd),(ddd),( wvuJwvuFzyxzyxf 变 量 可 分 离 .围 成 ; 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 21 2, zxz1. 将 .)(),( Czyxf 用 三 次 积 分 表 示 ,2,0 xx ,42,1 yxy vzyxfI d),( 其 中 由所提 示 : 20 x xy 2121 2 zxI 2 d),(x zzyxf x y2121 d20 dx思 考 与 练 习六 个 平 面围 成 , : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 22 2. 设 ,1: 222 zyx 计 算

18、vzyx zyxz d1 )1ln( 222 222提 示 : 利 用 对 称 性原 式 = 122 ddyx yx0 奇 函 数 22 2211 222 222 d1 )1ln(yx yx zzyx zyxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 23 zox y23. 设 由 锥 面 22 yxz 和 球 面 4222 zyx所 围 成 , 计 算 .d)( 2 vzyxI 提 示 : 4利 用 对 称 性 vzyx d)( 222 vzxzyyxzyxI d)222( 222 用 球 坐 标 rr d420 dsin40 20 d 221564 机 动 目

19、录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 24 作 业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4) 第 四 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 25 备 用 题 1. 计 算 ,ddd1 2 zyxxyI 所 围 成 . 其 中 由1,1,1 2222 yzxzxy分 析 ： 若 用 “ 先 二 后 一 ” , 则 有 zxxyyI yD dd1d 201 zxxyy yD dd1d 210 计 算 较 繁 ! 采 用 “ 三 次 积 分 ” 较 好 . 1 zx y1 o 1 机

20、动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 26 : 4528 11 22 yzx 22 11 xzx 11 x 1 zx y1 o 1xxI d1 211 zxx d2211 yyzx d11 22 1,1,1 222 yzxzxy由所 围 , 故 可 思 考 : 若 被 积 函 数 为 f ( y ) 时 , 如 何 计 算 简 便 ? 表 为 解 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021/6/16 27 2. 计 算 ,ddd)sin5( 2222 zyxyxxyxI 其 中.4,1),(21 22围成由 zzyxz解 : zyxxI ddd2利 用 对 称 性 zyxyx ddd)(21 22 yxyxz zD dd)(d21 2241 z rrz 20 32041 ddd21 21 4 zx o y1 zD zyxyxyx dddsin5 222 0 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若有不当之处，请指正，谢谢！