北京市2013届高三数学一轮复习单元训练-导数及其应用

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1、北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第1卷(选择题共60分)、选择题(本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.曲线yA.4【答案】A一与直线x2ln 2B.2.若在曲线f (x, y)0(或y1及x 4所围成的封闭图形的面积为2 1n 2C. 4 ln 2f (x)上两个不同点处的切线重合,D. 2ln 2则称这条切线为曲线f(x ,y) =0(或 y=f(x)的“自公切线”.下列方程：x2丫丁尖丫=x2|x| ;丫=？ s

2、inx+4cosx ; |x|+1=4y2对应的曲线中存在“自公切线”的有()A.B.C.D.3.已知ba,下列值:bf(x)dx ab|f(x)|dx abf (x)dx|的大小关系为 aA.b| f(x)dx| ab| f(x)| dx abf(x)dx aD.b| f (x) | dx ab|f(x)dx| =abb| f (x) |dx= | af (x)dx|二 abb| f (x) |dx= | af(x)dx| ； aBB.C.bf(x)dx abf(x)dx abf(x)dx a【答案】4.设 aCR,函数 f(x)的一条切线的斜率是=ex + a - e x的导函数3一2，则

3、切点的横坐标为(x)，且 f (x)是奇函数.若曲线 y=f(x)ln2A B【答案】Dln225.函数f (x)满足f (0)0,其导函数f (x)的图象如下图，则f (x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A. 13【答案】BB. 43C. 2D. 836.设函数f(x)是定义在(0,)的非负可导的函数，且满足 xf/(x) f (x) 0,对任意的正数a, b ,若a b ,则必有()A. af (b) bf(a)B.bf(a) af(b) C. af(a) f (b) D.bf(b) f(a)2 11171 (x x2 x3)dx ( )A. ln2 7B.ln2 788【答案】D5

4、1C.In 2d.In 2488.已知f(a)1220(2ax a x)dx ,则f (a)的取大值是()B. 29D.9.将函数y=2cosx(0 x2 % )的图象和直线 y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭的平面图形的面积是()A. 4B. 8【答案】D10 .设函数 f (x) =ax2+b (aw0),若A. 1B. 2【答案】C11 .如下图，阴影部分面积为()C. 2兀D. 4兀0 f (x) dx= 3f (x),则 Xo=(C. 土 ,3D. 2.o (,6 AbA. a f(x) g(x)dxcbB. g(x) f(x)dx f (x) g(x)dxaccbC-f(x)

5、 g(x)dxg(x)f(x)dxac bD.g(x) f(x)dx a229.12.已知函数f(x) 2x(x2 3ax 9) (a R),若函数f(x)的图像上点P (1, m)处的切 32线方程为3x y b 0 ,则m的值为()A. 13【答案】CB. 12C.D. 12二、填空题(本大题共4个小题,第n卷(非选择题每小题5分，共共90分)20分，把正确答案填在题中横线上)13.已知函数fxsinx.方程f(x) 0在区间100,100上实数解的个x 1 x 2x 2数是【答案】20114.0sin2 xdx =24 215 .求曲线y x3 x2 2x与x轴所围成的图形的面积为 .3

6、7【答案】12 116 .由曲线y 与y=x, x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是 ；-1【答案】1 ln 42三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .已知函数f xax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为y 2 0.求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值 x1,x2都有f x1 f x2c ,求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.【答案】f x 3ax2 2bx 3.根据题意，得f 12,即a b 32,解得a 1f 10, 3a 2b 3 0

7、, b 0所以 f x x3 3x.令 f x 0,即 3x2 3 0 .得 x 1 .工口-2/(-2, 1)一1卢(T1”w(L少+vFpdpp2/增,1极大值Q极小值墙0斤因为 f 12, f 12,所以当 x 2,2 时，f x 2, f x 2.max )min则对于区间2,2上任意两个自变量的值 x,x2,都有f x1 f x2 | | f x max f x min|4 ,所以 c 4.所以c的最小值为4 .因为点M 2,m m 2不在曲线y f x上，所以可设切点为x0,y03则 yo xo 3xo.因为f x3x2 3,所以切线的斜率为3x2 3.则 3x2 3=x3 3x0

8、 mx0 2即 2x0 6x2 6 m 0.因为过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，所以方程2x3 6x2 6 m 0有三个不同的实数解.所以函数g x 2x3 6x2 6 m有三个不同的零点.2则 g x 6x 12x .令 g x 0 ,贝U x 0或 x 2 .HQ-00,0”42”2刀(2+oabF1(力Q+1dp*K口埴0极大值/诫*根小值1增一rg 006 m 0八 八则，即，解得6m 2.g 222 m 018 .已知某工厂生产 x件产品的成本为 C 25000 200x lx2 (元)，问：(1)要使平均成本40最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元

9、售出，要使利润最大，应生产多少件产品？1225000 200xx2【答案】(1)设平均成本为y元，则y 40 25000 200 ,xx40y25000 1，令y 0得x 1000 .当在x 1000附近左侧时y 0；x 402x300x 25000 一 , S 40300 , 20因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品.x2(2)利润函数为 S 500x25000 200x 一40令S 0,得x 6000,因此，要使利润最大，应生产6000件产品.19 .定义函数 F(x,y) (1 x)y, x, y 0,. 令函数f(x) F 1,log2 x3 3x的图象为曲线 C1求与直线4x

10、 15y 3 0垂直的曲线C1的切线方程； 32(2)令函数g(x) F 1,log2 x ax bx 1的图象为曲线 C2,若存在实数b使得曲线C2在Xo Xo1,4 处有斜率为 8的切线，求实数a的取值范围；当x, y N* ,且x y时，证明F x, y F y,x .【答案】(1)f(x)3log9 (x3 3x)F 1,log2(x 3x)(1 1) g2()x3 3x，由 log2(x3 3x) 0,得 x3 3x1 ,又 f (x) 3x23 ，由 f x 40,得x3339，3 9x 3x 1 , x .又 f ，切点为 一，一.2282 8 ,、一9 153存在与直线4x 1

11、5y 3 0垂直的切线，其方程为y 9 15 x -,84215x 4y 27 0(2) g(x)F 1,log2(x3 ax2 bx 1) x3 ax2 bx 1.由 log2(x3 ax2 bx 1) 0,得 x3 ax2 bx 0.由 g (x)3x22axb8,得 b 3x22ax 8.x3 ax2bxx3ax2x( 3x22ax 8) 2x3 ax28x 0 在 x (1,4)上有解.一 282x ax 8 0在 x 1,4 上有解得 a 2x 一在 x 1,4 上有解2x 8 ,x 1,4 而 2x g 2(x -)4; x -xx xxmax当且仅当x2时取等号，a 8.(3)证

12、明：F(x, y) F(y,x) (1 x)y (1 y)x yln(1 x) xln(1 y)ln(1 x) ln(1 y).x, y N*, x yxyx ln(1 x)1 x n(1 x)? h(x) ，则 h (x) 1x-2，xx当 x 2时， 1 In 1 x , h (x) 0, h(x)单调递减， 1 x，一,一，一 1一当 2 x y 时，h(x) h(y).又当 x 1且y 2时，h 1 In 2 -ln3 h 2 ,2当 x, y N * .且 x y 时，h(x) h(y),即 F (x, y) F (y, x).20 .计算下列定积分的值、32、 ,2(1) 1(4x

13、 x )dx；(2) 1 (x 1) dx；(3) 02 (x sin x)dx ； (4)2 cos2 xdx2【答案】(1)(4 )Reg xdx = Jh7T计算下列定积分(1)02(3x2 sinx)dx(2)33 9 x2dx3【答案】(1) 18(2)22.某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2WaW5 )的税收。设每件产品的售价为x元(35WxW41),(2)根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数 40元时，日销售量为10件。求该商店的日利润 L (x)元与每件产品的日售价 当每件产品的日售价为多少元时，

14、该商品的日利润)成反比例。已知每件产品的日售价为x元的函数关系式；L (x)最大，并求出L (x)的最大值。【答案】(1)设日销售量为士则。10, k 10e40,则日售量为e40件. e ee则日利润L(x) (x 30(2),40 31 aL(x) 10e xe40、10ea) x 10e ex40 x 30 a当，当当时，L(x) 02WaW4 时，33a+3135,当 35 x41 x=35时，L (x)取最大值为10(5 a)e54vaW5 时，35a+3136,令L(x) 0,得x a 31,易知当x=a+31时,综合上得L(x)maxL (x)取最大值为5 -10(5 a)e ,(29 a 一10e ,(4 a9 a10ea 4)5)