2017年浙江省高考数学试卷(真题详细解析)

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1、2017年浙江省高考数学试卷、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）(4分)已知集合 P=x| - 1x 1, Q=x| 0xo+34.若x、y满足约束条件x+y-30 ,则z=x+2y的取值范围是（第5页（共23页）A.5.0, 6 B. 0, 4 C. 6, +8)D. 4, +oo)(4分)若函数f (x) =x2+ax+b在区间0, 1上的最大值是 M,最小值是 mA.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与 a无关，且与 b无关 D.与 a无关，但与 b有关6. （4分）已知等差数列an的公差为d,前n项和为8,则“A0”是+8623” 的（）A.充分不必要条件B.必

2、要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7. (4分)函数y=f (x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 y=f (x)的 图象可能是()P1P2 ,则()A.E ( 8) E(2),D ( &) D (3B.E ( 8) D (七)C.E ( &) E(2),D ( &) E( 2),D ( &) D ( 39. (4分)如图，已知正四面体 D-ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R分别为AR BG CA上的点，AP=PB盟工艮=2,分别记二面角D- PR- Q, D- QC RAPQ- R, DQR P的平面角为a、0、%则()口BA. y a 0 B. a

3、B C. ayD.y a10. (4 分)如图，已知平面四边形 ABCR ABBC, AB=BC=AD=2 CD=3, AC与BD 交于点 O,记 Ii=OA?OB, I2=OB?OC, I3=OC?OD ,则()D. I2lll3A. Ill2l3B. Ill3l2C. I3lll2二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11. （4分）我国古代数学家刘徽创立的 割圆术”可以估算圆周率 阳理论上能把 冗的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了割圆术”，将冗的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6, S6=.

4、12. （6 分）已知 a、bCR, （a+bi） 2=3+4i （i 是虚数单位），a2+b2=, ab=.13. （6 分）已知多项式（x+1） 3 （x+2） 2=x5+aiX4+a2x3+a3x2+a4x+a5,贝U a4=: a5=.14. （6分）已知 ABC, AB=AC=4 BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连 结 CD,贝UBDC的面积是, cos/ BDC=.15. （6分）已知向量、恬满足|曷=1,国=2,则|值+|+|百-E|的最小值 是,最大值是.16. （4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2 人组成4人服务队，要求服务队中至少有

5、 1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）17. （4分）已知aCR,函数f （x） =|xi-a|+a在区间1, 4上的最大值是5, 则a的取值范围是.三、解答题（共5小题，满分74分）18. （14 分）已知函数 f （x） =sin2x- coS2x- 2/3sinx cosx （x R）.（I ）求f （胃）的化（H ）求f （x）的最小正周期及单调递增区间.19. （15分）如图，已知四棱锥 P- ABCR PAD是以AD为斜边的等腰直角三 角形，BC/ AD, CD AD, PC=AD=2DC=2CBE 为 PD的中点.（I ）证明：CE/平面PAB;（II）求直线CE与平面P

6、BC所成角的正弦值.(1)求f (x)的导函数;*=(x-山厂1) e x (2)求f (x)在区间上2+8)上的取值范围.21. (15分)如图，已知抛物线x2=y，点A (-),B的点 P (x, y)(一xA)过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. 2(I )求直线AP斜率的取值范围;(H)求|PA?| PQ的最大值.A022. (15分)已知数列xn满足：X1=1, Xn=Xn+1+ln (1+Xn+1)(nCN(m),证明：当 n 时，0 Xn+1 Xn j(n)2xn +1 Xn0& Xn&第7页（共23页）2017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4

7、分，满分40分）1. （4 分）已知集合 P=x| - 1x 1, Q=x| 0x2,那么 PUQ=（A. （1,2）B.（0,1）C.（ 1,0）D.（1,2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.【解答】解：集合 P=x1x 1 , Q=x0x2,那么 PU Q=x| - 1x 2= （ - 1 , 2）.故选：A.【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力.2. （4分）椭圆 上+=1的离心率是（）A.B.与 C.D.解：椭圆【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.=1,可得 a=3, b=2,贝U c=/9-4=/5,所以椭圆的离心率为: 故选：B.（单位:【点评】

8、本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.C.D.+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 画出 图形，结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的 高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为X x TtX 12X3+-XX&X诋X3&-+1, 2 53 22故选：A.【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题， 解题的关键是根据三视图得 出原几何体的结构特征，是基础题目.工）04. （4分）若x、y满足约束条件r+y-3 Ao ,则z

9、=x+2y的取值范围是（）评-2y0 ,表小的可行域如图:L l 2y 1或齐0,即a0时，函数f (x)在区间0, 1上单调，止匕时 M - m=| f (1) - f (0) | =| a+1| ,故M - m的值与a有关，与b无关f (1),2此时 M - m=f (0) - f (-回)24故M - m的值与a有关，与b无关当00 即1 a0 0 时,函数f (x)在区间0,谓上递减,在-21上递增,且 f (0) 23” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列白求和公式和 Si+S62S,可以得到d0,根据充分必要 条件

10、的定义即可判断.【解答】解：: Si+S62S5, . 4a1+6d+6a1+15d2 (5a+10d), 21d20d,. .d0,故“A0”是“4+S62S/充分必要条件，故选：C.【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7. (4分)函数y=f (x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 y=f (x)的 图象可能是()【分析】根据导数与函数单调性的关系， 当f(x) 0时，函数f (x)单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性， 然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f (x)的图象可能【解答】解：由当f(x) 0时，函数 f

11、 (x)单调递增，则由导函数y=f(x)的图象可知：f (x)先单调递减，再单调递增，然后单调递 减，最后单调递增，排除A, C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在 x轴上的右侧，排除B, 故选：D.【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系， 考查函数极值的 判断，考查数形结合思想，属于基础题.8. (4分)已知随机变量 满足P (91) =pi, P (90) =1 - pi, i=1, 2.若0VP1 P2 ,则()A. E ( &) E ( 2), D ( &) D ( 5) B. E ( &) D ( 3C. E ( a) E ( 2), D ( &) E( 2), D

12、( &) D (淳) 【分析】由已知得 0 pi P277 , - 1 - P2 1 - pi 1 ,求出 E ( &) =pi, E (珍)=P2,从而求出D ( 8), D ( 2),由此能求出结果.【解答】解：二,随机变量2满足P (1) =pi, P ( Q0) =1 - pi, i=1, 2,，0P1P2 ,y 1 - P2 1 - pi 1 ,E ( &) =1Xpi+0X (1-pi) =pi,E (自)=1Xp2+0X ( 1 p2)=p2,D ( 1 = (1 - p1)2p1+ (0- p1)2 (1 - 6)=P1-pj，D (七)=(1 - p2)2P2+ (0- p2

13、)2 (1 p2)=p2-p22 ,D ( a) - D ( 2) =p1-p12- (p1_p22) = (p2- p1)(p1+p2 - 1) 0,.E( &) E ( 3, D ( 8) D ( 2).故选：A.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是 中档题.9. (4分)如图，已知正四面体 D-ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R分别为AR BG CA上的点，AP=PB整翟=2,分别记二面角D- PR- Q, D- yu ivft.BA. y a 0 B. aB C. ayD

14、.yogOF.即可得出. OG【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面 ABC的中心为0. 不妨设 0P=3 M 0 (0, 0, 0), P (0, 3, 0), C (0, 6, 0), D (0, 0, 6m B (3a/3, 3, 0). Q(3- & 0), R(-23, 0, 0),忌=(-2V5，3，0),而=(0, 3, 6/2), ro= (V3, 6, 0),而=(一/，-3*。),而=(飞，T, 6正)设平面PDR的法向量为 (x, y, z),则If二0,可得一班誉，, 、nFD = 013y+6V29可得=(粕，2近，T),取平面ABC的法向量短(0, 0

15、, 1).贝U cos= J. =之，取 a =arccosL m，n |m|n| V15715同理可得： 0 =arccos . 丫 arccoSJL. V&81V95V15 /95 V&81 - a y OG OF.tan tan f tan g a, B, 丫为锐角.- a y 0.故选：B.第11页(共23页)【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.10. (4 分)如图，已知平面四边形 ABCD ABBC, AB=BC=AD=2 CD=3, AC与BD交于点 O,记 Ii=OA?OB, I2=OB?OC|, I3

16、=OC?OD,则()第17页（共23页）D. I2lll3A. Ill2l3B. Ill3l2C. I3ll 90,由图象知OA OC, OBoa?oSoc?od, 5S?560,即Ii I2,故选：C.【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键.、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. （4分）我国古代数学家刘徽创立的 割圆术”可以估算圆周率 阳理论上能把 冗的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了 割圆术”，将冗的值精确到小数点 后七位，其结果领先世界一千多年， 割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面

17、积S6, S6=色度.一 Z 一【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形 ABCDE叶， AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF勺面积为【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题.12. （6分）已知 a、b C R, （a+bi） 2=3+4i （i 是虚数单位），贝 a2+b2= 5 , ab=【分析】a、bR, （a+bi） 2=3+4i （i是虚数单位），可得3+4i=a2-b2+2abi,可得3=a2-b2, 2ab=4,解出即可得出.【解答】解：a、bCR,

18、（a+bi） 2=3+4i （i是虚数单位），3+4i=a2 - b2+2abi, 3=s2-b2, 2ab=4,解得ab=2/*2,产-2.lb=l则 a2+b2=5,故答案为：5, 2.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题.13. （6分）已知多项式（x+1） 3 （x+2） 2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,贝U a4= 16 , a5= 4 .【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和，a5就是常数的乘积.【解答】解：多项式（x+1） 3 （x+2） 2=x5+

19、aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,（x+1） 3中，x的系数是：3,常数是1; （x+2） 2中x的系数是4,常数是4,a4=3X 4+1 X 4=16;a5=1 x 4=4.故答案为：16; 4.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题.14. （6分）已知 ABC, AB=AC=4 BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连结 CD,则4BDC的面积是, cos/ BDC=.一 2一 4 一【分析】如图，取BC得中点E,根据勾股定理求出AE,再求出&abc,再本!据SaBDC4Sa ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取B

20、C得中点E,v AB=AC=4 BC=Z .BE，BC=1, AE BC,AEVaB2-BE2=5?.&abc=L-BC?AE=- x 2 x 71S=f5, v bd=2v bc=bd=2 / bdc玄 bcr . / ABE=2/ BDC在 RtAABE中，cos/ ABE疑=1 , AB 4 cos/ ABE=2coS/ BDC- 1二, 4cos/BDC二二， 4【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15. （6分）已知向量W、E满足|m=1,西=2,则|2同+| W-E|的最小俏， 4 : 最大值是选一【分析】通过记/ AOB= （0 a tt）,利用余弦定理可

21、可知| a+b| =75+4c0占1、| a- b|=存诟嬴T,进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论.【解答】解：记/ AOB=,则0& a 1）,其图象为一段圆弧 MN,如图，4 z=x+y,贝U y=- x+z,则直线 y=-x+z过 M、N 时 z最小为 Zmin=1+3=3+1=4,当直线y=- x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的也倍, 也就是圆弧MN所在圆的半径的 近倍，所以 zmax=Ex 5=2.综上所述，| a+b|+| e - h|的最小值是4,最大值是2/5.故答案为：4、根泥.【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数

22、形结合能力，考查运算求解 能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.16. （4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2 人组成4人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 660种不同的选 法.（用数字作答）【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40X12=480种，第二类，先选2女2男，有C62Q2=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15X12=180种，根据分类计数原理共有480+180=66

23、0种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17. （4分）已知aCR,函数f （x） =|x3-a|+a在区间1, 4上的最大值是5, 则a的取值范围是（-,.b-l【分析】通过转化可知|x+3-a|+a&5且a05,进而解绝对值不等式可知2a- 5x+5,进而计算可得结论.【解答】解：由题可知| x+三a|+a& 5,即|x3 a|05a,所以aW5,又因为| x+=2-a| 0 5 - a, x所1 以 a 5 & x+ a 0 5 a,所以 2a- 5x+5,又因为 1&x04, 4x+5, x所以2a-5w4,解得a0丁，故答案为：（-8, 一.【点

24、评】本题考查函数的最值，考查绝对信函数，考查转化与化归思想，注意解 题方法的积累，属于中档题.三、解答题（共5小题，满分74分）18. （14 分）已知函数 f （x） =sin2x cos2x 273sinx cosx （x R）.(I)求f (_)的值.3(H )求f (x)的最小正周期及单调递增区间.【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，(I)代入可得：f (卫L)的值.(n)根据正弦型函数的图象和性质，可得f (x)的最小正周期及单调递增区问【解答】 解：,.函数 f (x) =sin2x cos2x- 2/sinx cosx=|V3sin2x- cos2x=2sin(2

25、x+*)=2sin (2X哈牛=2喏=2,(I ) f (4)J(n) co =2 故 T=：t,即f(x)的最小正周期为阳由 2x+-6x C - +k tt,与+2k九,7Ty+2k一二十k 九 kC Z,kCZ 得:第21页（共23页）k号,k故f (x)的单调递增区间为-卫+kB -JL+k句或写成k&3& Z.【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值, 三角函数的周期性,三角函 数的单调区问，难度中档.19. (15分)如图，已知四棱锥 P- ABCR PAD是以AD为斜边的等腰直角三 角形，BC/ AD, CD AD, PC=AD=2DC=2CBE 为 PD的中点.(I )证明

26、：CE/平面PAB;(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【分析】(I )取AD的中点F,连结EF, CF,推导出EF/ PA, CF/ AB,从而平面EFC/平面ABP,由此能证明EC/平面PAB（n）连结BF,过F作FM1 PB于M ,连结PF,推导出四边形BCDF为矩形，从 而BF1AD,进而 AD，平面PBF，由AD/ BC,彳# BC PB,再求出BC MF,由 此能求出sin 0【解答】证明：（I ）取AD的中点F,连结EF, CF,V E为 PD的中点，. EF/ PA,在四边形 ABCD中,BC/ AD, AD=2DC=2CB F为中点，CF/ AB,.平面 EFC/平

27、面 ABP,v EC?平面 EFCEC/ 平面 PAB解：（H ）连结BF,过F作FMXPBT M,连结PF,PA=PDPFAD,推导出四边形BCDF为矩形，.二BFAD, .AD,平面 PBF5 又 AD/ BC, BC平面 PBF, . BS PB,设 DC=CB=1 由 PC=AD=2DC=2CB得 AD=PC=2PB=/pC2-BC = 4-1=/3,BF=PF=1 a MF=t7，又 BS平面 PBF a BC MF,平面PBC即点F到平面PBC的距离为争，MF斗，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为士, riL-a4.4E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中

28、点，即中位线，E到平面PBC的距离为一，4在APCD中，式咻CD=lf即值， 由余弦定理得CE=/2,设直线CE与平面PBC所成角为9,则sin 喂分【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.20. (15分)已知函数 f (x) = (x-后)e x (1)求f (x)的导函数;(2)求f (x)在区间g, +OO)上的取值范围.【分析】(1)求出f (x)的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求;(2)求出f (x)的导数，

29、求得极值点，讨论当 x 1时，当1L时，f (x)的单调性，判断f (x) * 计算 f /), f (1), f (-),即可得到所求取值范围.【解答】解：(1)函数 f (x) = (x-V2z-l) e x(xy),(2)由f (x)的导数f(x)可得f(x) =0时，x=1或5 du当x1 时，f(x) 0,当 10,?2) e x- (x-72?T) e xf (x)递减;f (x)递增;当xf (x) 0,则 f (x) 0.况号 f (1) =0, f=L即有f (x)的最大值为L21e 一叠，最小值为f (1) =0.则f (x)在区间:,+OO)上的取值范围是0,【点评】本题

30、考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题.21. (15分)如图，已知抛物线今一小(弓，8抛物线上第23页(共23页)的点P (x, v)(-x=),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(I )求直线AP斜率的取值范围;(H)求|PA?| PQ的最大值.【分析】(I )通过点P在抛物线上可设P (x, x),利用斜率公式结合-x|可得结论；(II)通过(I)知P (x, x2)、-xj-,设直线AP的斜率为k,联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出百、或，计算可知|PA?|PQ| 二(1 +k) 3 (1 - k),通过令 f

31、 (x) = (1+x) 3 (1 - x), - 1 x 1,求导结合单调性可得结论.【解答】解：(I)由题可知P (x, x2),-x-,2 1x T i所以 kAP=-=x-：y (-1, 1),故直线AP斜率的取值范围是：(-1,1)；(n)由(I)知 p (x, x2),所以番(-1-X2)4设直线AP的斜率为k,则AP: y=,BQ: y=- x+k ：联立直线AP、BQ方程可知Q (3+4k-k 匚2k29 k .Ek+l4k2+4),故而,(2寸li-k2-k4-k+k 2 +kl+k),又因为 FA= ( 1 k, - k2- k),故_ | PA?| PQ =江?西=U+k

32、)+1(1+k)(*D = (1+k) 3 (k- 1),L+k21+k2所以 | PA?| PQ = (1+k) 3 (1 -k),令 f (x) = (1+x) 3 ( 1 x), - 1 x 1 ,贝(J r (x) = (1+x) 2 (2-4x) =-2 (1+x) 2 (2x 1),由于当1x0,当/xv 1 时 f，(x) 0,故f (x) max=f C) 答，即|PA?| PQ的最大值为21616【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注 意解题方法的积累，属于中档题.22. (15分)已知数列xn满足：x1=1, xn=xn+1+ln (1+xn

33、+1)(nCN*),证明：当 n 时，(I ) 0xn+1 2Xn+1 Xn 得xn+l-上2 （-上）0,继续放缩即可证明2-【解答】解：（I）用数学归纳法证明：Xn0, 当n=1时，xi=10,成立，假设当n二k时成立，则网0, 那么 n=k+1 时，若 xk+i 0,则 0 xk=x+i+ln (1+xk+i) 0,因此 Xn0, (n N*)Xn=Xh+l+ln (1+Xn+1)Xn+1,因此 0Xn+10. f，(x) =5x +y+ln (1+x) 0, l+lf (x)在(0, +)上单调递增,- f (x) f (0) =0,因此 Xn+， 21+#(Xn+l+2) In (1+Xn+1) 0,故 2Xn+1 - Xn(in ) Xn=Xh+l+ln (1+Xn+1) Xn+l+Xn+1=2Xn+1,Xn)综上所述& Xn W为2E11严112 “2,【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的 单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运 算能力，放缩能力，运算能力，属于难题第25页（共23页）3. （4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积cm3）是（）