插值与拟合给药方案估计水塔的水流量

《插值与拟合给药方案估计水塔的水流量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《插值与拟合给药方案估计水塔的水流量（60页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 1、 插 值 问 题 ： 不 知 道 某 一 函 数 f(x)在 待 定 范 围 a,b上 的 具 体 表 达式 ， 而 只 能 通 过 实 验 测 量 得 到 该 函 数 在 一 系 列 点 ax1, x2 , ., xn b上 的 值 y0, y1, y2, ., yn， 需 要 找 一 个 简 单 的函 数 P(x)来 近 似 地 代 替 f(x)， 要 求 满 足 ： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)， 此 问 题 称 为 插 值 问 题 。 P(x)称 为 f(x)的 插值 函 数 ， x1, x2 , ., xn 称 为 插 值 节 点 ， f(xi)称 为 插 值 条

2、件 。 1、 多 项 式 插 值 2、 样 条 插 值 设 y=f(x)在 n+1个 互 异 点 上 的 x0 , x1, x2 , ., xn 上的 值 y0, y1, y2, ., yn， 要 求 一 个 次 数 不 超 过 n次 的 代数 多 项 式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使 之 在 节 点 上 满 足 Pn(xi)=f(xi) 0 0( ) ( )nn in jj i j ii j x xp x yx x 牛 顿 插 值Hermite插 值 （ 1） 二 次 样 条（ 2） 三 次 样 条（ 3） B样 条 。 设 a,b 的 一 个 划 分 ： a=x0 x1,

3、 x2 , ., xn= b，函 数 f ( x )各 节 点 的 值 分 别 为 ： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如 果 二 次 样 条 函 数 ：满 足 ： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 设 a,b 的 一 个 划 分 ： a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函 数 f ( x )各 节 点 的 值 分 别 为 ： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如 果 三 次 样 条 函 数 ：3满 足 ： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 数 据 的 拟 合2.拟 合 的 基 本 原 理1.拟 合 问 题 引 例3.用 MA

4、TLAB求 解 拟 合 问 题4.应 用 举 例5.插 值 与 拟 合 的 比 较 拟 合 问 题 引 例 一 电 阻 问 题温 度 t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电 阻 R() 765 826 873 942 1032已 知 热 敏 电 阻 电 阻 值 与 温 度 的 数 据 ：求 600C时 的 电 阻 R。 20 40 60 80 100 700 800 900 1000 1100 设 R=at+ba,b为 待 定 系 数解 答 拟 合 问 题 引 例 二 给 药 问 题 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.2

5、1 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已 知 一 室 模 型 快 速 静 脉 注 射 下 的 血 药 浓 度 数 据 (t=0注 射 300mg)求 血 药 浓 度 随 时 间 的 变 化 规 律 c(t).作 半 对 数 坐 标 系(semilogy)下 的 图 形 为 待 定 系 数kc ectc kt, )( 0 0 2 4 6 8 100 101 102 MATLAB(aa1)解 答 曲 线 拟 合 问 题 的 提 法已 知 一 组 （ 二 维 ） 数 据 ， 即 平 面 上 n个 点 （ xi,yi) i=1,n, 寻 求 一 个

6、函 数 （ 曲 线 ） y=f(x), 使 f(x) 在 某 种 准 则 下 与 所有 数 据 点 最 为 接 近 ， 即 曲 线 拟 合 得 最 好 。 + + + + + + + + xy y=f(x)(xi,yi)i i 为 点 （ xi,yi) 与 曲 线 y=f(x) 的 距 离 曲 线 拟 合 问 题 最 常 用 的 解 法 线 性 最 小 二 乘 法 的 基 本 思 路第 一 步 :先 选 定 一 组 函 数 r1(x), r2(x), rm(x), m0)模 型 假 设1. 机 体 看 作 一 个 房 室 ， 室 内 血 药 浓 度 均 匀 一 室 模 型模 型 建 立3 c(

7、0) d/由 假 设 得 ： dc2 -kcdt 由 假 设 得 ： ( ) ktdc t ev 在 此 ， d=300mg， t及 c（ t） 在 某 些 点 处 的 值 见 前 表 ，需 经 拟 合 求 出 参 数 k、 v 用 线 性 最 小 二 乘 拟 合 c(t)( ) ktdc t ev 1 2ln , , ln( / )y c a k a d v ln ln( / )c d v kt 21 21, / ay at ak a v d e MATLAB(lihe1)计 算 结 果 ： 0.2347(1/ ), 15.02( )k h v l d=300;t=0.25 0.5 1 1.

8、5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程 序 ： 用 非 线 性 最 小二 乘 拟 合 c(t) 给 药 方 案 设 计 cc2c10 t 设 每 次 注 射 剂 量 D, 间 隔 时 间 血 药 浓 度 c(t) 应 c1 c(t) c2 初 次 剂 量 D0 应 加 大 ,0 DD给 药 方 案 记 为 ： kecc 21 12ln1 cck2、 )( , 1220 ccDcD 1、计 算 结 果 ： 9.3,3.

9、225,5.3750 DD )(4),(225),(3750 hmgDmgD 给 药 方 案 ： c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02 故 可 制 定 给 药 方 案 ： )(4),(225),(3750 hmgDmgD 即 : 首 次 注 射 375 mg， 其 余 每 次 注 射 225 mg， 注 射 的 间 隔 时 间 为 4 小 时 。 用 非 线 性 最 小 二 乘 拟 合 c(t)-用 lsqcurvefit(lsqnonlin)2、 主 程 序 lihe2.m如 下cleartdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdata=19.21 1

10、8.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01; x0=10,0.5;x=lsqcurvefit(curvefun3,x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata) x MATLAB(lihe2)1、 用 M-文 件curvefun3.m定 义 函 数function f=curvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k ( ) ktdc t ev MATLAB(FZXEC3) 拟 合 与 插 值 的 比 较问 题 ： 给 定 一 批 离 散 的

11、数 据 点 ， 需 确 定 满 足 特 定 要 求 的 曲 线 或 曲 面 , 从 而 获 取 整 体 的 规 律 。 即 通 过 窥 几 斑 来 达 到 知 全 豹 。 解 决 方 案 ： 若 不 要 求 曲 线 （ 面 ） 通 过 所 有 数 据 点 ， 而 是 要 求 它 反 映 对 象 整 体 的 变 化 趋 势 ，这 就 是 数 据 拟 合 ， 又 称 曲 线 拟 合 或 曲 面 拟 合 。 若 要 求 所 求 曲 线 （ 面 ） 通 过 所 给 所 有 数 据 点 ， 就 是 插 值 问 题 ； 从 几 何 意 义 上 看 ， 拟 合 是 给 定 了 空 间 中 的 一 些 点 ，

12、 找 到一 个 已 知 形 式 的 连 续 曲 面 来 最 大 限 度 地 逼 近 这 些 点 ； 而 插 值是 找 到 一 个 (或 几 个 分 片 光 滑 的 )连 续 曲 面 来 穿 过 这 些 点 。 拟 合 与 插 值 的 区 别 函 数 插 值 与 曲 线 拟 合 都 是 要 根 据 一 组 数 据 构 造 一 个 函数 作 为 近 似 ， 由 于 近 似 的 要 求 不 同 ， 二 者 的 数 学 方 法 上 是 完全 不 同 的 。 实 例 ： 下 面 数 据 是 某 次 实 验 所 得 ， 希 望 得 到 X和 f之 间 的关 系 ？ x 1 2 4 7 9 12 13 15

13、 17 f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1MATLAB(cn) 最 临 近 插 值 、 线 性 插 值 、 样 条 插 值 与 曲 线 拟 合 结 果 ： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180 5 10 15 20 25 已 知 数 据 点 spline 三 次 多 项 式 插 值 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180 5 10 15 20 25 已 知 数 据 点 linest三 次 多 项 式 插 值 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180 5 10 15 20 25 已 知 数 据 点 neare

14、st三 次 多 项 式 插 值 美 国 某 州 的 各 公 用 水 管 理 机 构 要 求 各 社 区 提 供 各 个 时 刻的 用 水 率 以 及 每 天 所 用 的 总 用 水 量 但 许 多 社 区 并 没 有测 量 流 入 或 流 出 当 地 水 塔 的 水 量 的 设 备 ， 他 们 只 能 代 之以 每 小 时 测 量 水 塔 中 的 水 位 更 为 重 要 的 是 ， 无 论 什 么时 候 ， 只 要 水 塔 中 的 水 位 下 降 到 某 一 最 低 水 位 L时 ， 水泵 就 启 动 向 水 塔 重 新 充 水 直 到 某 一 最 高 水 位 ， 但 也 无法 得 到 水 泵

15、 的 供 水 量 的 测 量 数 据 因 此 ， 在 水 泵 正 在 工作 时 ， 人 们 不 容 易 建 立 水 塔 中 水 位 与 水 泵 工 作 时 的 用 水量 之 间 的 关 系 水 泵 每 天 向 水 塔 充 水 一 次 或 两 次 ， 每 次大 约 二 小 时 试 估 计 在 任 何 时 候 ， 甚 至 包 括 水 泵 正 在 工作 的 时 间 内 ， 水 从 水 塔 流 出 的 流 量 ， 并 估 计 一 天 的 总 用水 量 表 给 出 了 某 个 小 镇 某 一 天 的 真 实 数 据 估 计 水 塔 的 水 流 量 表 某 小 镇 某 天 的 水 塔 水 位 表 给 出

16、了 从 第 一 次 测 量 开 始 的 以 秒 为 单 位 的 时 刻 ，以 及 该 时 刻 的 高 度 单 位 为 百 分 之 一 英 尺 的 水 塔 中 水 位 的测 量 值 ， 例 如 3316秒 后 ， 水 塔 中 的 水 位 达 到 31.10英尺 水 塔 是 一 个 垂 直 圆 形 柱 体 ， 高 为 40英 尺 ， 直 径 为 57英 尺 二 、 问 题 分 析l 我 们 很 容 易 想 到 应 通 过 对 所 给 的 数 据 进 行 数 值 拟 合 来 建模 在 讨 论 具 体 的 建 模 方 法 以 前 ， 我 们 应 先 给 出 一 些 合 理的 假 设 l (1)影 响

17、水 从 水 塔 中 流 出 的 流 量 的 唯 一 因 素 是 公 众 对 水 的 传统 要 求 因 为 表 只 给 出 了 某 一 天 （ 近 26小 时 ） 水 塔 的 水位 数 据 ， 并 没 有 对 这 些 数 据 的 产 生 有 影 响 的 因 素 作 出 具 体的 说 明 ， 我 们 只 能 假 定 所 给 数 据 反 映 了 有 代 表 性 的 一 天 ，而 不 包 括 任 何 特 殊 情 况 ， 如 自 然 灾 害 、 火 灾 、 水 塔 溢 水 、水 塔 漏 水 等 对 水 的 特 殊 要 求 l (2)水 塔 中 的 水 位 不 影 响 水 流 量 的 大 小 ， 气 候

18、条 件 、 温 度 变化 等 也 不 影 响 水 流 量 l (3)水 泵 工 作 起 止 时 间 有 它 的 水 位 决 定 ， 每 次 充 水 时 间 大 约为 两 个 小 时 二 、 问 题 分 析 (4)水 泵 充 水 速 度 恒 定 ， 且 水 泵 充 水 的 水 流 量 远 大 于 水 塔 的水 流 量 ， 以 保 证 人 们 对 水 的 需 求 水 泵 工 作 时 不 需 要 维 修 ，也 不 中 途 停 止 工 作 (5)水 塔 的 水 流 量 与 水 泵 状 态 独 立 ， 并 不 因 水 泵 工 作 而 增 加或 减 少 水 流 量 的 大 小 (6)水 塔 的 水 流 量

19、 曲 线 可 以 用 一 条 光 滑 的 曲 线 了 逼 近 这 时 ，在 每 一 个 数 据 点 ， 水 流 量 的 两 阶 导 数 是 连 续 的 因 为 水 的消 耗 量 是 基 于 社 区 公 众 一 天 的 活 动 ， 如 洗 澡 、 做 饭 、 洗 衣服 等 ， 每 一 个 使 用 者 的 要 求 与 整 个 社 区 的 要 求 相 比 是 微 不足 道 的 ， 而 整 个 社 区 的 需 求 是 不 可 能 同 时 增 加 或 减 少 的 ，由 于 水 的 消 耗 的 自 然 性 ， 可 以 假 设 水 流 量 曲 线 是 一 条 连 续光 滑 的 曲 线 (7)表 的 数 据

20、是 准 确 的 二 、 问 题 分 析 对 所 给 的 问 题 ， 其 建 模 方 法 是 经 典 的 ， 基 本 上 是 分 成 三 步 ：首 先 由 所 给 数 据 得 到 在 各 数 据 点 处 的 水 流 量 ， 然 后 找 出 一个 水 从 水 塔 流 出 的 水 流 量 的 光 滑 拟 合 逼 近 ， 最 后 处 理 水 泵工 作 时 的 充 水 水 量 以 及 一 天 该 小 镇 公 众 的 总 用 水 量 ， 同 时也 重 建 了 水 泵 工 作 时 所 缺 的 数 据 所 给 数 据 的 初 步 处 理 . 我 们 把 表 所 给 的 数 据 作 为 时 间 的 函 数 画

21、成 图 二 、 问 题 分 析 图 1 时 间 与 水 位 的 关 系 图 二 、 问 题 分 析 从 图 可 以 看 出 ， 最 大 的 困 难 是 要 解 决 如 何 描 述 水 塔 充 水期 间 的 水 流 量 的 行 为 ， 为 此 ， 我 们 先 分 析 一 下 水 泵 充 水 期间 的 观 察 数 据 ， 要 解 决 两 个 问 题 ： 一 是 两 次 充 水 准 确 的 起始 时 间 和 停 止 时 间 ， 如 果 无 法 得 到 准 确 时 间 的 话 ， 以 哪 一时 刻 作 为 起 止 时 间 比 较 合 理 ； 二 是 充 水 期 间 的 水 流 量 如 何描 述 从 所

22、 给 的 数 据 自 然 无 法 知 道 水 泵 开 始 和 停 止 的 准 确 时 间 ， 但 是已 知 第 一 次 充 水 前 的 最 后 一 个 数 据 为 32284秒 时 水 位 为 26.97英 尺 ， 充 水 中 第 二 个 数 据 为 39332秒 时 而 39332-32284=7048秒 ， 即 约 为 1.96小 时 ， 由 水 泵 每 次 充 水 要 大 约 小 时 可 知 ， 水 泵 是 在 32284秒 时 开 始 充 水 的 停 止 时 间 在39332秒 与 39435秒 之 间 ， 但 这 两 个 时 刻 的 差 距 为 103秒 ， 约0.028小 时 ，

23、很 短 的 时 间 ， 所 以 我 们 可 以 假 定 水 泵 停 止 工 作时 间 为 39332秒 充 水 开 始 时 水 塔 水 位 为 26.97英 尺 ， 可 以 认 为 L大 约 为 27.00英 尺 二 、 问 题 分 析 、 水 流 量 曲 线 的 拟 合 表 给 出 的 是 水 位 与 时 间 的 关 系 ， 而 题 目 要 求 我 们 求出 的 是 水 流 量 与 时 间 的 关 系 ， 因 此 ， 我 们 先 将 表 的 数 据转 化 为 水 塔 中 水 的 体 积 与 时 间 的 关 系 ， 然 后 再 转 化 为 水 流量 与 时 间 的 关 系 表 、 图 代 表

24、水 的 体 积 与 时 间 的 关 系（ 程 序 见 实 验 解 答 中 程 序 二 ） 二 、 问 题 分 析 表 2 时 间 与 体 积 的 关 系 二 、 问 题 分 析 图 2 时 间 与 体 积 的 关 系 图 二 、 问 题 分 析 我 们 用 从 水 的 体 积 与 时 间 的 关 系 得 到 水 流 量 与 时间 的 关 系 （ 由 于 在 充 水 时 ， 没 有 水 的 体 积 与 时 间 的 关 系 ， 所 以也 没 有 水 流 量 与 时 间 的 关 系 ） 我 们 采 用 差 分 法 来 解 决 这 个 问题 由 于 水 泵 充 水 两 次 ， 数 据 被 分 割 成

25、三 组 ， 因 而 我 们 也 分 三 组 来处 理 数 据 对 每 一 组 数 据 ， 我 们 采 用 中 心 差 分 公 式 dtdVtf )( ( ) dVf t dt )(12 88 1 2112 ii iiiii tt VVVVf 二 、 问 题 分 析 来 计 算 每 一 组 中 间 数 据 点 的 水 流 量 而 对 每 组 前 两 个 和 最后 两 个 数 据 点 ， 采 用 如 下 的 公 式 来 计 算 )(2 43 1 21 ii iiii tt VVVf )(2 43 1 21 ii iiii tt VVVf 11 11 22 iii iiii ttt VVVf对 于

26、最 后 的 倒 数 第 二 个 数 据 ， 我 们 用 下 面 的 公 式 计 算 ： 二 、 问 题 分 析(4)水 泵 充 水 速 度 恒 定 ， 且 水 泵 充 水 的 水 流 量 远 大 于 水 塔 的 水 流量 ， 以 保 证 人 们 对 水 的 需 求 水 泵 工 作 时 不 需 要 维 修 ， 也不 中 途 停 止 工 作 (5)水 塔 的 水 流 量 与 水 泵 状 态 独 立 ， 并 不 因 水 泵 工 作 而 增 加 或 减少 水 流 量 的 大 小 (6)水 塔 的 水 流 量 曲 线 可 以 用 一 条 光 滑 的 曲 线 了 逼 近 这 时 ， 在每 一 个 数 据

27、点 ， 水 流 量 的 两 阶 导 数 是 连 续 的 因 为 水 的 消耗 量 是 基 于 社 区 公 众 一 天 的 活 动 ， 如 洗 澡 、 做 饭 、 洗 衣 服等 ， 每 一 个 使 用 者 的 要 求 与 整 个 社 区 的 要 求 相 比 是 微 不 足道 的 ， 而 整 个 社 区 的 需 求 是 不 可 能 同 时 增 加 或 减 少 的 ， 由于 水 的 消 耗 的 自 然 性 ， 可 以 假 设 水 流 量 曲 线 是 一 条 连 续 光滑 的 曲 线 (7)表 的 数 据 是 准 确 的 二 、 问 题 分 析 计 算 结 果 见 表 和 图 二 、 问 题 分 析 图 3 时 间 与 流 量 的 关 系 （ 1） 第 一 次 平 均 水 流 量 ：（ 2） 第 二 次 平 均 水 流 量 ：（ 3） 平 均 水 流 量 ： 以 不 同 的 时 间 为 起 点 得 到 的 一 天 总 用 水 量 相 差 多 少