第六章学案5不等式的应用

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1、进进 入入 学案学案5 5 不等式的应用不等式的应用 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.不等式常用于确定函数的定义域、值域、判断或证明不等式常用于确定函数的定义域、值域、判断或证明函数的单调性、方程有无实根、曲线之间相交情况、字函数的单调性、方程有无实根、曲线之间相交情况、字母的取值范围等母的取值范围等.2.能够运用不等式的性质、均值不等式及不等式的求解能够运用不等式的性质、均值不等式及不等式的求解方法去分析解决实际应用题方法去分析解决实际应用题.名师伴你行考点一考点一 均值不等式型应用题均值不等式型应用题 【例例1】某单位用木料制作如某单位用木料制作如图图6-5-1所示的框架所示的框

2、架,框架的下框架的下部是边长分别为部是边长分别为x,y（单位：（单位：m）的矩形，上部是等腰直角）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面三角形，要求框架围成的总面积为积为8 m2，问，问x,y分别为多少分别为多少(精确到精确到0.001 m)时用料最省时用料最省?名师伴你行返回目录返回目录【分析分析】先用面积公式找出先用面积公式找出x与与y之间的关系，再用之间的关系，再用x表表示周长示周长L，即找出，即找出L与与x的函数关系式，最后用重要不等的函数关系式，最后用重要不等式求出取最值时的式求出取最值时的x,y的值的值.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析】由题意得由题意得xy+x =8

3、,于是于是,框架用料长度为框架用料长度为L=2x+2y+()2=()x+当且仅当当且仅当 x=,即即x=时等时等号成立号成立.此时此时,x2.343,y=2 2.828.故当故当x为为2.343 m,y为为2.828 m时时,用料最省用料最省.y=(0 x0).（2）由）由V=a2h=(h0),得得V=.而而h+2 =2,所以所以V ，当且仅当当且仅当h=,即即h=1时取等号时取等号.故当故当h=1时，时，V有最大值，有最大值，V的最大值为的最大值为 m3.名师伴你行返回目录返回目录 考点二考点二 解不等式形式应用题解不等式形式应用题 【例例2】某段城铁线路上依次有某段城铁线路上依次有A,B,

4、C三站三站,AB=5 km,BC=3 km.在列车运行时刻表上在列车运行时刻表上,规定列车规定列车8时整从时整从A站发车站发车,8 时时07分到达分到达B站并停车站并停车1分钟分钟,8时时12分到达分到达C站站.在实际运行时在实际运行时,假设列车从假设列车从A站正点发车站正点发车,在在B站停留站停留1分钟分钟,并在行驶时以同并在行驶时以同 一速度一速度 v km/h匀速行驶匀速行驶,列车从列车从A站到达某站的时间与时站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.(1)分别写出列车在分别写出列车在B,C两站的运行误差两站

5、的运行误差;(2)若要求列车在若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超过两站的运行误差之和不超过2分钟分钟,求求v的取值范围的取值范围.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析】(1)列车在列车在B,C两站的运行误差两站的运行误差(单位单位:分钟分钟)分分 别是别是 和和 .(2)由于列车在由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过两站的运行误差之和不超过2分钟分钟,所以所以 2(*)当当0v 时时,(*)式变形为式变形为 2,解得解得39v ;【分析分析】先根据运算误差定义写出在先根据运算误差定义写出在B，C两站的运行误两站的运行误差表达式，再求和得到不等式，解不等式可得差表达式，再求和得到不等式

6、，解不等式可得v的取值的取值范围范围.名师伴你行返回目录返回目录 当当 v 时时,(*)式变形为式变形为7-+-112,解得解得 时时,(*)式变形为式变形为7-+11-2解得解得 18,xN*200 x-20 x2,1x18,xN*-160 x,x18 20 x(10-x).当当y1-y20时时,得得1x10;当当y1-y2=0时时,得得x=10;当当y1-y210,xZ.综上可知，若少于综上可知，若少于10台，在乙商场购买花费较少；若买台，在乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买台，去甲、乙商场花费一样；若买10台以上，在甲商场购台以上，在甲商场购买花费较少买花费较少.

7、则则y1-y2=名师伴你行返回目录返回目录 考点三考点三 不等式在数列函数中的应用不等式在数列函数中的应用 【分析分析】应用数列的有关知识求出应用数列的有关知识求出an的表达式后，将的表达式后，将 1表示为表示为m，n的关系，利用分析法或放缩法的关系，利用分析法或放缩法等加以证明等加以证明.【例例3】设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a1=1，a2=6，a3=11,且（且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B,n=1,2,3,其其中中A，B为常数为常数.（1）求）求A与与B的值；的值；（2）证明数列）证明数列an为等差数列；为等差数列；（3）证明不等式）证明不等式

8、 1对任何正对任何正整数整数m，n都成立都成立.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析】（1）由已知，得）由已知，得S1=a1=1，S2=a1+a2=7，S3=a1+a2+a3=18，由（，由（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，-3S2-7S=A+B A+B=-28 2S3-12S2=2A+B，2A+B=-48，A=-20 B=-8.知知即即解得解得名师伴你行返回目录返回目录（2）证明：由）证明：由(1)得（得（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=-20n-8 所以（所以（5n-3）Sn+2-（5n+7）Sn+1=-20n-28 -得得（5n-3）Sn+2-（10n-1）Sn+1

9、+（5n+2）Sn=-20 所以所以（5n+2）Sn+3-（10n+9）Sn+2+（5n+7）Sn+1=-20，-得得（5n+2）Sn+3-（15n+6）Sn+2+（15n+6）Sn+1-（5n+2）Sn=0.所以所以an+1=Sn+1-Sn，所以（所以（5n+2）an+3-（10n+4）an+2+（5n+2）an+1=0.因为因为5n+20,所以所以an+3-2an+2+an+1=0，所以所以an+3-an+2=an+2-an+1，n1.又又a3-a2=a2-a1=5，所以数列，所以数列an为等差数列为等差数列.名师伴你行返回目录返回目录（3）证明：由（）证明：由（2）可知，）可知，an=1

10、+5（n-1）=5n-4，要证要证 1,只要证只要证5amn1+aman+2 .因为因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证故只要证5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2 ,即只要证即只要证20m+20n-372 .因为因为2 am+an=5m+5n-85m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以命题得证所以命题得证.名师伴你行返回目录返回目录【评析评析】本题是不等式与数列相结合的综合题，主要考本题是不等式与数列相结合的综合题，主要考查数列的相关性质和递推数列的解决方法以及不等式的查数列的相关性

11、质和递推数列的解决方法以及不等式的证明问题证明问题.由于数列问题与正整数由于数列问题与正整数n有着密切的联系，因有着密切的联系，因此数列中有关不等式的证明常会用到放缩法、数学归纳此数列中有关不等式的证明常会用到放缩法、数学归纳法等数学方法法等数学方法.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练已知已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.（1）若）若k=2,求求f(x)=0的解；的解；（2）若关于）若关于x的方程的方程f(x)=0在在(0,2)上有两个解上有两个解x1,x2,求求k的取值范围，并证明的取值范围，并证明 4.（1）当）当k=2时，时，f(x)=|x2-1|+x2+

12、2x，要使，要使f(x)=0有实根，有实根，则则x2+2x必须小于必须小于0，即，即-2x0.2x2+2x-1,-2x-1 1+2x,-1x0.令令f(x)=0，解得，解得x=或或x=-.故故f(x)=名师伴你行返回目录返回目录（2）当）当0 x2时，时，f(x)=0有两解，有两解，1+kx,0 x1 2x2+kx-1,1x2,因因f(x)在在(0,2)上有两解有两种情况：可以在上有两解有两种情况：可以在(0,1)上有一解，上有一解，在在1,2)上有一解；或者在上有一解；或者在1,2)上有两解上有两解.显然当显然当x=1时，不满足题意时，不满足题意.当一解在当一解在(0,1)，另一解在，另一解

13、在 0-1 (1+k)(7+2k)0，解得，解得 k0 f(1)0 f(2)0 1-2,综上，综上，k-1,x1=-,x2=,故故 解得解得k.名师伴你行返回目录返回目录 即证：即证：4,即证：即证：,又又 k-1,原不等式成立，即有原不等式成立，即有 4.名师伴你行返回目录返回目录 1.应用不等式解决数学问题时应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时应用不等式解决应用问题时,先应弄清题意先应弄清题意,根据题意根据题意列出不等式或函数式列出不等式或函数式,再利用不等式的知识求解再利用不等式的知识求解.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行