微分方程ppt(罗兆富等编)第七章-特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件

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1、1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七章第七章 特征线法、达朗贝尔公式特征线法、达朗贝尔公式 第一节第一节 特征线法特征线法 第二节第二节 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 反射法反射法 和分离变量法和分离变量法第三节第三节 分离变量法简介分离变量法简介 第七章第七章 特征线法、达朗贝尔公式特征线法、达朗贝尔公式 第一节第一节 特征线法特征线法 第第2机动 目录 上页 下页 返回 结束 的一阶齐次线性偏微分方程的通解的一阶齐次线性偏微分方程的通解,其中其中ai(i=1,2,n)是是自变量自变量x1,x2,xn的的n(n2)元连续函数元连续函数,且不全为零且不全为零.第一节第一节 特征线法特征线法

2、一、一阶一、一阶(拟拟)线性偏微分方程的通解线性偏微分方程的通解 1.一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如考虑形如 (7.1.01)方程方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而的通解可通过求解一个常微分方程组而得到得到,通常称这种求解方法为通常称这种求解方法为特征线法特征线法.的一阶齐次线性偏微分方程的通解的一阶齐次线性偏微分方程的通解,其中其中ai(i=1,2,3机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节 特征线法特征线法 一、一阶一、一阶(拟拟)线性偏微分方程的通解线性偏微分方程的通解 1.一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如考虑形如

3、 (7.1.01)设设u=u(x1,x2,xn)是方程是方程(7.1.01)的一个解的一个解,则由全微则由全微分法则分法则,有有(7.1.02)(7.1.03)第一节第一节 特征线法特征线法 一、一阶一、一阶(拟拟)线性偏微分方程的通解线性偏微分方程的通解 4机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.04)(7.1.03)我们称我们称(7.1.03)为为(7.1.01)的的特征方程组特征方程组,由特征方程组由特征方程组(7.1.03)确定的空间曲线称为确定的空间曲线称为特征曲线特征曲线.由于特征方程组由于特征方程组(7.1.03)是一个包含是一个包含n-1个方程的常微分方程组个方程的常微分方

4、程组,所以它所以它有有n-1个个首次积分首次积分 我们的目标是通过求我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分的首次积分(7.1.04)来求来求一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解的通解.偏微分方程偏微分方程(7.1.01)的解与它的特征方程的解与它的特征方程(7.1.03)的首的首次积分之间的关系有如下的定理次积分之间的关系有如下的定理.(7.1.04)(7.1.03)我们称我们称(7.1.05机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.04)假设已经得到特征方程组假设已经得到特征方程组(7.1.03)的的n-1个个首次积分首次积分(7.1.04),定理定理7

5、.1 则一阶齐次线性偏微分方程则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的的通解为通解为(7.1.01)(7.1.05)其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n-1元函数元函数.证明证明:设设(7.1.06)是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的一个首次积分.因为函数因为函数a1,a2,an 不同时为零不同时为零,所以不妨设所以不妨设 这样特征方程组这样特征方程组(7.1.03)等价于下面标等价于下面标准形式的常微分方程组准形式的常微分方程组(7.1.04)6机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.07)因此因此(7.1.06)也是也是(7.1.07)的一个首次积分的一个首

6、次积分.再由第三章第再由第三章第一节定理一节定理3.1知知,有恒等式有恒等式 两端乘以两端乘以an,得得 (7.1.08)这就证明了函数这就证明了函数 是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一的一个首次积分的充要条件为恒等式个首次积分的充要条件为恒等式(7.1.08)成立成立.(7.1.07)因此因此(7.1.06)也是也是(7.1.07)的一的一7机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.08)(7.1.01)比较比较 是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的一个首次积分的充要条件是的充要条件是:是一阶齐次线性偏微分是一阶齐次线性偏微分方程方程(7.1.01)的解的解.

7、因此因此,若若 是一阶齐次线性偏微分方是一阶齐次线性偏微分方程程(7.1.01)的任意一个解的任意一个解,则它是特征方程组则它是特征方程组(7.1.03)的一的一个首次积分个首次积分.再由第三章第一节定理再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组它可由特征方程组(7.1.03)的的n-1个首次积分个首次积分(7.1.04)来表达来表达其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n-1元函数元函数.(7.1.08)(7.1.01)比较比较 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:当当n=2时时,方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.09)其特征方程组为其特征方程组为 它有一个首次积分它有一

8、个首次积分 则方程则方程(7.1.09)的通解为的通解为 (7.1.10)其中其中 是任意连续可微是任意连续可微一一元函数元函数.注注:当当n=2时时,方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.09机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:当当n=3时时,方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.11)其特征方程组为其特征方程组为 它有两个首次它有两个首次 则方程则方程(7.1.11)的通解为的通解为 (7.1.12)其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数.积分积分 注注:当当n=3时时,方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.110机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、例例1.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,写出特征方程组写出特征方程组 首次积分首次积分!所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连续可微是任意连续可微一一元函数元函数.例例1.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 解解:根据前根据前11机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解交通流线性关系模型求解交通流线性关系模型 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,写出特征方程组写出特征方程组 首次积分首次积分!所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连续可微是任意连

10、续可微一一元函数元函数.再注意到初始条件再注意到初始条件p(x,0)=f(x),得得 从而得从而得到方程的解为到方程的解为 例例2.求解交通流线性关系模型求解交通流线性关系模型 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,12机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,写出特征方程组写出特征方程组 首次积分首次积分!所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数.例例3.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 解解:根

11、据前根据前13机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.一阶非齐次拟线性偏微分方程一阶非齐次拟线性偏微分方程 的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解,其中其中ai(i=1,2,n),b都是都是n+1个变元个变元x1,x2,xn,u的连续函的连续函数数,且不全为零且不全为零.考虑形如考虑形如 (7.1.13)设设V(x1,x2,xn,u)=0是方程是方程(7.1.13)的一个隐函数的一个隐函数形式的解形式的解,注意到注意到u是是x1,x2,xn的函数的函数,由隐函数求导由隐函数求导法法,得到得到(7.1.14)(7.1.15)2.一阶非齐次拟线性偏微分方程一阶非齐次拟线性

12、偏微分方程 的一阶齐次拟线性偏微分方的一阶齐次拟线性偏微分方14机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.13)(7.1.15)由由(7.1.15)可见可见,若将若将V视为关于视为关于x1,x2,xn,u的函的函数数,(7.1.15)就成为关于未知函数就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分的一阶齐次线性偏微分方程方程.这就证明了这就证明了,若若V(x1,x2,xn,u)=C是一阶非齐次是一阶非齐次拟线性偏微分方程拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的一个隐函数形式的解,则则n+1元函数元函数 V(x1,x2,xn,u)是一阶齐次线性偏微分方程是一阶齐次线性偏微分方程(7.1

13、.15)的解的解.(7.1.13)(7.1.15)由由(7.1.15机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.13)(7.1.15)反过来反过来,假设假设n+1元函数元函数V(x1,x2,xn,u)是是(7.1.15)的解的解,且且Vu0,所确定的隐函数所确定的隐函数u=u(x1,x2,xn)是方程是方程(7.1.13)的解的解.则由则由(7.1.15)和和(7.1.14)可以推出由方程可以推出由方程 (7.1.13)(7.1.15)反过来反过来,假设假设n16机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.13)(7.1.15)这样这样,求解方程求解方程(7.1.13)的问题就化成了求解的问题

14、就化成了求解(7.1.15)的的问题问题.(7.1.16)为了求解为了求解(7.1.15),先写出其特征方程组为先写出其特征方程组为 (7.1.13)(7.1.15)这样这样,求解方程求解方程(17机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.15)(7.1.16)为了求解为了求解(7.1.15),先写出其特征方程组为先写出其特征方程组为 (7.1.17)其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n元函数元函数.于是于是(7.1.15)的通解由特征方程组的通解由特征方程组(7.1.16)的的n个首次积分个首次积分(7.1.17)表达为表达为 我们也称我们也称(7.1.16)是一阶非齐次拟线性偏微分方

15、程是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的的特征方程组特征方程组.上述过程写成定理就是上述过程写成定理就是 (7.1.15)(7.1.16)为了求解为了求解(7.1.15),18机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.2 假设函数假设函数ai(x1,x2,xn,u)(i=1,2,n)和和b(x1,x2,xn,u)在某区域在某区域G内连续可微内连续可微,a1,a2,an在在G内不同时为零内不同时为零.则则V(x1,x2,xn,u)=0(Vu0)是一阶非是一阶非齐次拟线性偏微分方程齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的的一个隐函数形式的解的充要条件是充要条件是:n

16、+1元函数元函数V(x1,x2,xn,u)是一阶齐次线是一阶齐次线性偏微分方程性偏微分方程(7.1.15)的解的解.(7.1.13)(7.1.15)定理定理7.2 假设函假设函19机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.13)(7.1.15)注注:一阶线性非齐次偏微分方程一阶线性非齐次偏微分方程 (7.1.18)为一阶非齐次拟线性偏微分方程为一阶非齐次拟线性偏微分方程的特殊情况的特殊情况,其解法完全其解法完全与求解方程与求解方程(7.1.13)的解法相同的解法相同.(7.1.13)(7.1.15)注注:一阶线性非齐次偏微分方程一阶线性非齐次偏微分方程20机动 目录 上页 下页 返回 结束

17、例例4.求偏微分方程求偏微分方程 的通解的通解.解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,写出特征方程组写出特征方程组 (1)(2)所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数.若解出若解出u,得到得到方程的通解为方程的通解为 g是任意可微函数是任意可微函数.例例4.求偏微分方程求偏微分方程 的通解的通解.解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求偏微分方程求偏微分方程 的通解的通解.解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,写出特征方程组写出特征方程组 (1)(2)所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连

18、续可微二元函数是任意连续可微二元函数.若解出若解出u,得到得到方程的通解为方程的通解为 g是任意可微函数是任意可微函数.例例5.求偏微分方程求偏微分方程 的通解的通解.解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解.解解:写出特征方程组写出特征方程组 (1)例例6.求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解.解解:写出特征方程组写出特征方程组 (123机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解.解解:写出特征方程组写出特征方程组 (2)所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意连续

19、可微二元函数是任意连续可微二元函数.例例6.求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解.解解:写出特征方程组写出特征方程组 (224机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一阶二、一阶(拟拟)线性偏微分方程的初值问题线性偏微分方程的初值问题 当需要求出一阶当需要求出一阶(拟拟)线性偏微分线性偏微分 方程的初值问题的方程的初值问题的解时解时,可以先求出其通解可以先求出其通解,再由初始条件确定其任意函数再由初始条件确定其任意函数从而求出其特解从而求出其特解,如前面的例题如前面的例题2.但在许多情况下但在许多情况下,要由要由初始条件确定出通解中的任意函数很困难初始条件确定出通解中的任意函数很困难,甚至是不

20、可甚至是不可能的能的.因此因此,我们下面研究如何直接求解一阶我们下面研究如何直接求解一阶(拟拟)线性偏线性偏微分方程的初值问题微分方程的初值问题.二、一阶二、一阶(拟拟)线性偏微分方程的初值问题线性偏微分方程的初值问题 25机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.一阶线性偏微分方程的初值问题一阶线性偏微分方程的初值问题 为求形如为求形如 (7.1.19)的的一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程(其中其中a,b,f,g是自变量是自变量x,y的连续的连续函数函数)在初始条件在初始条件(7.1.20)下的解下的解.我们与前面一样直接写出其特征方程组我们与前面一样直接写出其特征方程组 (7.1.21)

21、由由(7.1.21)中的第一、二项相等中的第一、二项相等,得到一个常微分方程得到一个常微分方程 设其通解为设其通解为 (7.1.22)1.一阶线性偏微分方程的初值问题一阶线性偏微分方程的初值问题 为求形如为求形如 (7.126机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.23)(7.1.21)由由(7.1.21)中的第一、二项相等中的第一、二项相等,得到一个常微分方程得到一个常微分方程 设其通解为设其通解为 再由再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程的第一、三项相等得另一个方程(取第二取第二和三项相等和三项相等,解法完全相同解法完全相同)(7.1.22)(7.1.23)(7.1.21)

22、由由(7.1.21)中的第中的第27机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.23)再由再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程的第一、三项相等得另一个方程(取第二取第二和三项相等和三项相等,解法完全相同解法完全相同)(7.1.24)(7.1.25)方程方程(7.1.25)是一阶线性常微分方程是一阶线性常微分方程,设其通解为设其通解为 (7.1.26)(7.1.22)(7.1.23)再由再由(7.1.21)的第一、三的第一、三28机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.26)(7.1.22)(7.1.27)再由初始条件再由初始条件(7.1.20)确定出确定出(7.1.27)中的常

23、数中的常数C1,就得就得到一阶线性偏微分方程到一阶线性偏微分方程(7.1.19)在初始条件在初始条件(7.1.20)下的下的特解了特解了.(7.1.20)(7.1.26)(7.1.22)(7.1.27)29机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 例例7.用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程 解解:根据前根据前30机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程

24、解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 例例8.用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程 解解:根据前根据前31机动 目录 上页 下页 返回 结束 考虑形如考虑形如 的一阶的一阶拟拟线性偏微分方程的解线性偏微分方程的解,其中其中a,b,c是变量是变量x,y,u的连续可微函数的连续可微函数.(7.1.28)(7.1.29)设设u=u(x,y)是方程是方程(7.1.28)的一个解的一个解,类似于线性方程类似于线性方程的情形的情形(7.1.19),我们依然有我们依然有 (7.1.30)若令若令(7.1.30)中的等式最后等于中的等式最后等

25、于dt,我们得到常微分方程组我们得到常微分方程组 2.一阶拟线性偏微分方程的初值问题一阶拟线性偏微分方程的初值问题 考虑形如考虑形如 的一阶拟线性偏微分方程的解的一阶拟线性偏微分方程的解,其中其中a,b32机动 目录 上页 下页 返回 结束 考虑形如考虑形如 (7.1.28)(7.1.29)(7.1.30)若令若令(7.1.30)中的等式最后等于中的等式最后等于dt,我们得到常微分方程组我们得到常微分方程组(7.1.31)我们称我们称(7.1.31)是方程是方程(7.1.28)特征方程特征方程,称特征方程称特征方程(7.1.31)确定的曲线为确定的曲线为特征曲线特征曲线.通常将初始条件通常将初

26、始条件(7.1.21)改写成改写成 (7.1.32)或或(7.1.32)2.一阶拟线性偏微分方程的初值问题一阶拟线性偏微分方程的初值问题 考虑形如考虑形如 (7.1.28)(7.1.29)(7.1.33机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.1.32)或或(7.1.32)(7.1.33)则在初始条件则在初始条件(7.1.32)下解常微分方程组下解常微分方程组(7.1.31),得到方得到方程程(7.1.28)的解的参数表示的解的参数表示由由(7.1.33)的前两式解出的前两式解出 代入第三式，就得到方程代入第三式，就得到方程(7.1.28)的自变量为的自变量为x,y的解的解 为叙述一阶拟线性偏微

27、分方程解的存在唯一性定理为叙述一阶拟线性偏微分方程解的存在唯一性定理,我们将初始条件写成一般形式我们将初始条件写成一般形式 或或(7.1.32)或或(7.1.32)(7.1.33)则在则在34机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.3 若函数若函数f(s),g(s),h(s)连续可微连续可微,且且 若在点若在点(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0)处的行列式处的行列式 且且 a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u)在点在点(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0)的附近连续可微的附近连续可微,则初值问题则初值问题在参数在参数s=s0的一个

28、邻域内存在唯一解的一个邻域内存在唯一解.这样的解称为这样的解称为局部解局部解.(7.1.34)定理定理7.3 若函数若函数f(s),g(s),h(s)连续可微连续可微,35机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根据根据36机动 目录 上页 下页 返回 结束 初值问题的参数表示的解初值问题的参数表示的解 初值问题的参数表示的解初值问题的参数表示的解 37机动 目

29、录 上页 下页 返回 结束 例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:写出特征方程组写出特征方程组 注注:本题也可先求出通解本题也可先求出通解,再求出特解再求出特解.(1)(2)第一个首次积分第一个首次积分!第二个首次积分第二个首次积分!例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:写出写出38机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 注注:本题也可先求出通解本题也可先求出通解,再求出特解再求出特解.第一个首次积分第一个首次积分:第二个首次积分

30、第二个首次积分:所以方程的通解为所以方程的通解为 其中其中 是任意是任意 其中其中g是任意可微函数是任意可微函数.连续可微二元函数连续可微二元函数.若解出若解出u,得到方程的通解为得到方程的通解为 例例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 注注:本题也本题也39机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 参参数数表表示示的的解解由前两式解出由前两式解出s,t,代入第一式代入第一式,得解得解 例例10.用特征线法

31、求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根根40机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根据前面的讨论根据前面的讨论,我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 例例11.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 解解:根根41机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程微分方程ppt(罗兆富等编罗兆富等编)第七章第七章-特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件42机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是于是,得到问题的参数形

32、式的解得到问题的参数形式的解 由前两式消去由前两式消去s,t,得问题的解得问题的解 于是于是,得到问题的参数形式的解得到问题的参数形式的解 由前两式消去由前两式消去s,t,得得43机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.求解人口模型求解人口模型 解解:我们分我们分rt和和rt 时时,解特征方程组解特征方程组 例例12.求解人口模型求解人口模型 解解:我们分我们分rt和和rt和和rt两种情况进行讨论两种情况进行讨论.其中其中p(t,r)是在时刻是在时刻t年龄在年龄在r岁时的人口年龄分布密度函数岁时的人口年龄分布密度函数.当当rt和和r0),则函数则函数 (7.2.18)是问题是问题(II)

33、(即即(7.2.15)的解的解.显然显然,问题问题(7.2.17)的解可由达朗贝尔公式给出的解可由达朗贝尔公式给出 (7.2.19)将将(7.2.19)代入代入(7.2.18)就得到问题就得到问题(II)的解的解 (7.2.20)(7.2.17)定理定理7.3(齐次化原理齐次化原理)设设 是初值问题是初值问题60机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述综上所述,问题问题(7.2.13)的解为的解为 (7.2.21)(7.2.13)综上所述综上所述,问题问题(7.2.13)的解为的解为 (7.2.21)(61机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解初值问题求解初值问题 解解:在公式在

34、公式(7.2.21)中代入中代入 得到初值问题的解为得到初值问题的解为 (7.2.13)(7.2.21)例例2.求解初值问题求解初值问题 解解:在公式在公式(7.2.21)中代入中代入 62机动 目录 上页 下页 返回 结束 63机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、高维波动方程四、高维波动方程 三维波动方程描述声波、电磁波和光波等在空间的三维波动方程描述声波、电磁波和光波等在空间的传播传播,称这类波为称这类波为球面波球面波;二维波动方程描述平面上薄膜二维波动方程描述平面上薄膜的振动和浅水面上波的传播等现象的振动和浅水面上波的传播等现象,称它们为称它们为柱面波柱面波.下下面我们不加推导地写出

35、这些波动方程的初值问题的求解面我们不加推导地写出这些波动方程的初值问题的求解公式公式.三维波动方程的初值问题三维波动方程的初值问题 (7.2.22)的球对称解为的球对称解为 四、高维波动方程四、高维波动方程 三维波动方程描述声波、三维波动方程描述声波、64机动 目录 上页 下页 返回 结束 三维波动方程的初值问题三维波动方程的初值问题 (7.2.22)的球对称解为的球对称解为 其中积分是在以其中积分是在以(x,y,z)为球心、为球心、at为半径的球面为半径的球面 上的球面积分上的球面积分.称称(7.2.23)为三维波动方程的初值问题为三维波动方程的初值问题(7.2.22)解的解的基尔霍夫基尔霍

36、夫(Kirchhoff)公式公式.基尔霍夫公式基尔霍夫公式(7.2.23)在球面坐标系在球面坐标系 中的表达中的表达 式为式为 三维波动方程的初值问题三维波动方程的初值问题 (7.2.22)的球对称解为的球对称解为 65机动 目录 上页 下页 返回 结束 二维波动方程的初值问题二维波动方程的初值问题 的解为的解为 其中积分是在以其中积分是在以(x,y)为圆心为圆心、at为半径的圆域为半径的圆域at上的二上的二重积分重积分.(7.2.26)公式公式(7.2.26)在极坐标系在极坐标系 中的表达式为中的表达式为 (7.2.25)二维波动方程的初值问题二维波动方程的初值问题 的解为的解为 其中积分是

37、在以其中积分是在以(x,y66机动 目录 上页 下页 返回 结束 (7.2.27)其中其中 公式公式(7.2.27)称为二维波动方程的初值问题称为二维波动方程的初值问题(7.2.25)解解的的泊松泊松(Poisson)公式公式.(7.2.27)其中其中 公式公式(7.2.27)称称67机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！本节结束！68机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节 分离变量法简介分离变量法简介 分离变量法分离变量法又称为又称为傅里叶傅里叶(Fourier)方法方法,是解决有界是解决有界问题的一个有效方法问题的一个有效方法,是求解初边值问题最常用和最基是求解初边值问题

38、最常用和最基本的一种方法本的一种方法,它适用于波动方程、热传导方程、位势它适用于波动方程、热传导方程、位势方程方程,以及很多形式更为复杂的方程和方程组的求解以及很多形式更为复杂的方程和方程组的求解.这种方法的基本思想是这种方法的基本思想是,把方程中未知的多元函数分把方程中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积解成若干个一元函数的乘积,从而将求解偏微分方程的从而将求解偏微分方程的问题转化为求解若干个常微分方程的问题问题转化为求解若干个常微分方程的问题.第三节第三节 分离变量法简介分离变量法简介 分离变量法又称为傅分离变量法又称为傅69机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面下面,我们将依次介绍

39、分离变量法在求解下述三种方我们将依次介绍分离变量法在求解下述三种方程中的简单应用：程中的简单应用：1.有界弦的波动方程；有界弦的波动方程；2.有界杆的热传导方程；有界杆的热传导方程；3.有界区域上的位势方程有界区域上的位势方程.一、有界弦的波动方程一、有界弦的波动方程 (7.3.01)考虑混合问题考虑混合问题(初、边值问题初、边值问题)(7.3.02)(7.3.03)下面下面,我们将依次介绍分离变量法在求解下述三种方我们将依次介绍分离变量法在求解下述三种方70机动 目录 上页 下页 返回 结束 设方程设方程(7.3.01)具有可分离变量且满足齐次边界条件具有可分离变量且满足齐次边界条件条件条件

40、(7.3.02)的非零特解的非零特解(7.3.01)(7.3.02)(7.3.03)(7.3.04)其中其中X(x),T(t)分别是分别是x,t二阶连续可微函数二阶连续可微函数.(7.3.06)(7.3.07)(7.3.05)我们首先求出常微分方程边值问题我们首先求出常微分方程边值问题 的非零解的非零解.(7.3.09)(7.3.08)设方程设方程(7.3.01)具有可分离变量且满足齐次具有可分离变量且满足齐次71机动 目录 上页 下页 返回 结束(7.3.09)常微分方程边值问题常微分方程边值问题(7.3.09)称为称为固有值问题固有值问题或或特征特征值问题值问题;使得固有值问题有非零解的值

41、使得固有值问题有非零解的值,称为称为固有值固有值或或特特征值征值;与固有值相对应的非零解与固有值相对应的非零解,称为称为固有函数固有函数或或特征函特征函数数.方程方程(7.3.07)的通解随的通解随 而不同而不同.下面我们分三种情形讨论下面我们分三种情形讨论.(1)当当 0时时,方程方程(7.3.07)的通解为的通解为 由边界条件由边界条件(7.3.08),得得A=0,B=0,故当故当 0时时,方程方程(7.3.07)的通解为的通解为 由边界条件由边界条件(7.3.08),得得 (7.3.09)(7.3.07)(7.3.09)固有值固有值!固有函数固有函数!(7.3.06)(2)当当=0时时,

42、由边界条件由边界条件(7.3.08),得得A73机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程方程(7.3.06)的通解为的通解为 (7.3.12)其中其中Cn,Dn是任意常数是任意常数.于是我们得到方程于是我们得到方程(7.3.01)的满足齐次边界条件的满足齐次边界条件(7.3.02)的可分离变量的特解：的可分离变量的特解：根据叠加原理根据叠加原理,我们得到级数形式的解我们得到级数形式的解 (7.3.13)(7.3.06)方程方程(7.3.06)的通解为的通解为 (7.3.12)其中其中C74机动 目录 上页 下页 返回 结束 再由初始条件再由初始条件(7.3.03)来确定系数来确定系数Cn,Dn

43、.(7.3.14)(7.3.13)(7.3.03)这样这样 (7.3.15)用用 分别乘以分别乘以(7.3.14)和和(7.3.15)并从并从0到到l积分积分,得得 (7.3.16)将将(7.3.16)代入代入(7.3.13),得到混合问题的形式解得到混合问题的形式解.再由初始条件再由初始条件(7.3.03)来确定系数来确定系数Cn,Dn.(7.75机动 目录 上页 下页 返回 结束 形式解形式解(7.3.13)是否是波动方程是否是波动方程(7.3.01)的的(古典古典)解呢解呢?(7.3.13)(7.3.03)(7.3.01)(7.3.02)我们有如下结论我们有如下结论.定理定理7.6 设设

44、 是定义在是定义在0,l上的实函数上的实函数,且且 四阶连续可微、四阶连续可微、三阶连续可微三阶连续可微,满足相容性条件满足相容性条件 则初边值问题则初边值问题(7.3.01)(7.3.03)的的(古典古典)解存在解存在,且可表示为级数且可表示为级数(7.3.13),其中系数由其中系数由(7.3.16)式确定式确定.形式解形式解(7.3.13)是否是波动方程是否是波动方程(7.3.01)的的(古典古典76机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:分离变量分离变量u(x,t)=X(x)T(t),例例1.求解下列定解问题则则固有值固有值和和固有函数固有函数!解解:分离变量分离变量u(x,t)=X(

45、x)T(t),例例1.求解求解77机动 目录 上页 下页 返回 结束 固有值固有值!固有函数固有函数!固有值固有值!固有函数固有函数!78机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以 所以所以 79机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 Q.E.F.所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 Q.E.F.80机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:分离变量分离变量u(x,t)=X(x)T(t),例例2.求解下列定解问题则则固有值固有值和和固有函数固有函数!解解:分离变量分离变量u(x,t)=X(x)T(t),例例2.求解求解81机动 目录 上页 下页 返回 结

46、束 固有值固有值!固有函数固有函数!固有值固有值!固有函数固有函数!82机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以 所以所以 83机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 Q.E.F.所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 Q.E.F.84机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有界杆的热传导方程二、有界杆的热传导方程 分离变量法不仅可用来解有界弦振动的定解问题分离变量法不仅可用来解有界弦振动的定解问题,也也可用可用来解其它方程的某些定解问题来解其它方程的某些定解问题,且其基本步骤也相同且其基本步骤也相同.例例3.求长为求长为l的均匀细杆热传导问题的解的均匀

47、细杆热传导问题的解.解解:分离变量分离变量u(x,t)=X(x)T(t),则则固有值固有值和和固有函数固有函数!二、有界杆的热传导方程二、有界杆的热传导方程 分离变量法不仅可用来解分离变量法不仅可用来解85机动 目录 上页 下页 返回 结束 固有值固有值!固有函数固有函数!固有值固有值!固有函数固有函数!86机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 其中其中 Q.E.F.所以所以,定解问题的解为定解问题的解为 其中其中 Q.E.F.87机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:分离变量分离变量u(x,y)=X(x)Y(y),例例4.求解求解二维拉普拉斯方程的边

48、值问题二维拉普拉斯方程的边值问题 则则固有值固有值和和固有函数固有函数!三、有界区域上的拉普拉斯方程三、有界区域上的拉普拉斯方程 解解:分离变量分离变量u(x,y)=X(x)Y(y),例例4.求解求解88机动 目录 上页 下页 返回 结束 固有值固有值!固有函数固有函数!固有值固有值!固有函数固有函数!89机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所求解为所以所求解为 其中其中 是任意常数是任意常数.(*)由由(*)和边界条件和边界条件,有有 用用 乘以上式并从乘以上式并从0到到a积分积分,得得 Q.E.F.所以所求解为所以所求解为 其中其中 是任意常数是任意常数.(*)由由(*)90机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！本节结束！