高中导数ppt课件

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1、 变化率及导数1 导数的计算2 导数在研究函数中的应用3 生活中优化问题举例4 定积分的概念5 第一章导数及其应用 变化率及导数1 导数的计算2 导数在研究函数中1Tankertanker Design1.1变化率及导数问题1 气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢？如何描述呢?1.1变化率及导数问题1 气球膨胀率？想一想如何描述呢Tankertanker Design若将半径r 表示为体积V的函数,那么：当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：我们知道，气球的体积V(单位:L)

2、与半径r(单位:dm)之间的关系是：气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为：若将半径 r 表示为体积V的函数,那么：当空气容Tankertanker Design 可以看出：可以看出：随着气球体积逐渐变大随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L,气球半径增加了：气球半径增加了：气球的平均气球的平均膨膨胀率为：胀率为：可以看出：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小当Tankertanker Design当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考？思考？问题2 高台跳水在高台跳水运动中在高台跳水运动中,

3、运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h h(单位单位:m:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t t(单位单位:s:s)存在函数关系：存在函数关系：如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么:在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 6 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?计

4、算运动员在 这段时间里的平71.1.1平均变化率定义：式子 称为函数称为函数 从 到到 的平均变的平均变化率化率.令则平均变化率可表示为：注：注：并不是表示并不是表示 与与 的乘积的乘积 也是一样也是一样1.1.1平均变化率定义：式子 Tankertanker Design 理解1，式子中 、的值可正、可负，但 的值不能为 ,的值可以为2，若函数 为常函数时，3,变式为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?理解1，式子中 、的值可正、可负Tankertanker Design探索？观察 的图像平均变化率表示什么？OABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线直线AB

5、的斜的斜率率若 无限接近 ，此时平均变化率又表示什么又表示什么？探索？观察 的图像Tankertanker Design1、已知函数 的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点 ,则 =（）A 3 B C D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。做两个题吧！做两个题吧！做两个题吧！Tankertanker Design求平均变化率一般步骤求函数的增量计算平均变化率 求平均变化率一般步骤求函数的增量1.1.2导数的概念 在高台跳水运动中,平均速 度不能反映他在这段时间里 运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态。我们把 物体某一时刻的速度称为 瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?1.1.2导

6、数的概念 平均变化率的几何意义平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度平均变化率的几何意义平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的14Tankertanker Design平均变化率的几何意义当t=0.001时,平均变化率的几何意义当t=0.001时,观察 从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度就无限趋近于就无限趋近于 t t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t t=2 时的瞬时速度是时的瞬时速

7、度是 13.1.13.1.观察 从物理的角度看,为了表述方便我们用表示当t=2,注：确定值-13.1，我们称是为了表述方便我们用探究1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？2、探究1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？导数的定义一般地，函数y=f(x)在 时瞬时变化率是：我们称它为函数 即：注解：导数的定义一般地，函数y=f(x)在 时19Tankertanker Design关于导数的几点说明：关于导数的几点说明：Tankertanker Design由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求值求值一差、

8、二化、三极限一差、二化、三极限 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)的导数Tankertanker Design例题 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要需要对原油进行冷却和加热对原油进行冷却和加热.如果第如果第 h h时时,原油的温度原油的温度（单（单位：位：）为为 (0(0 x x8).8).计算第计算第2h2h和和第第6h,6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解：解：在第在第2h2h和第和第6h6h时时,原油温度的原油温度的瞬时变化率就是瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,例

9、题 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,Tankertanker Design所以，同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.GETTING HIGHER 所以，同理可得 在第2h和第6h时,原油温练习练习:计算第计算第3h3h和第和第5h5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率,并说并说明它们的意义明它们的意义.如果质点A按规律 则在t=3s时的瞬

10、时速度为A.6 B.18 C.54 D.81练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们24Tankertanker Design Tankertanker Design1.1.3导数的几何意义 1.1.3导数的几何意义 观察Tankertanker Design分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？想一想，算一算！分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？Tankertanker Design导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率。练习：求：结论我得好好想想 导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率Tankertanker Design1.2导数的

11、计算1.2.1几个常用函数的导数 其中c为常数1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数 所以，30Tankertanker Design 它在时刻 时的速度为某物体作变速直线运动，函数，则 可以解释为若 表示路程关于时间 的 它在时刻 时的速度为Tankertanker Design Tankertanker Design 这个函数又如何描述呢？这个函 34Tankertanker Design1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则 我要想法记住这些！1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则 我要想 导数的运算法则1、2、3、导数的运算法则1、Tankertanker Desig

12、n例题 例题 Tankertanker Design导数运算法则推广函数和与差的函数和与差的导数运算法数运算法则可推广到任意有限个可可推广到任意有限个可导函数函数的和的和(或差或差)导数运算法则推广函数和与差的导数运算法则可推广到任意Tankertanker Design例题 分析这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则进行求导 例题 分析这些函数是由基本初等函Tankertanker Design例题 例题 Tankertanker Design1.2.3复合函数求导 1、引例、引例(1)求求 的导数的导数 解解1 解解2 因为因为 所以所以

13、解解1是错误的。是错误的。因为因为 是基本初等函数，而是基本初等函数，而 是复合函数。是复合函数。思考：思考：(2)求求y=lnsinx的导数的导数?1.2.3复合函数求导 1、引例(1)求 2、复合函数定义设 而 为 关于 的函数且函数 的值域包含在 的定义域内，那么 通过 的联系也是自变量 的函数，我们称 为 的复合函数，记为 ,其中 称为中间变量 2、复合函数定义设 而 为 42Tankertanker Design3、复合函数求导法则 3、复合函数求导法则 Tankertanker Design例题 例1、求 的导数。例2、求 的导数。解：例题 例1、求 1.3导数在研究函数中的应用1

14、.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数 右图（1）表示跳水运动员高度h随时间t变化的函数的图像，（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数图像思考？运动员从起点跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?1.3.1函数的单调性与导数 右图通过观察图像可以发现：运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加,即即h(t)h(t)是增函数是增函数.相应相应地地,从最高点到入水从最高点到入水,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少,即即h(t)h(t)是减

15、函数是减函数.相应地相应地,通过观察图像可以发现：运动员从起跳到最高点,离观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关 可以发现上面四幅图有一个共同特征：实际上上述特征适合所有函数，它是所有函数特征。（函数必须存在导函数）在某个区间在某个区间(a a,b b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增;如果如果 ,那么函那么函数数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.如果在某个区间内 ，那么函数有什么特征？可以发现上面四幅

16、图有一个共同特征：例题题1 已知导函数 的下列信息:解：当1 x 4,或 x 1时,可知 在此区间内单调递减;当 x=4,或 x=1时,当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.例题题1 已知导函数 例题题1 已知导函数 的下列信息:解：函数图像如右：当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.xyO14 例题题1 已知导函数 例题 题2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解：（1）因为 所以（2）因为 所以因此因此,函数函数 在在

17、上单调递增上单调递增.当当 ,即即 时时,函数函数 单调递增单调递增;当当 ，即，即 时，函数单调递增时，函数单调递增 例题 题2 判断下列函数的单调性,并 例题题题2 2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:解：（解：（3 3）因为）因为 所以所以（4 4）因为）因为 所以所以 因此因此,函数函数 在在 上单调递减上单调递减.例题题2 判断下列函数的单调性,并求 例题题2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间：解：当 ,即 时,函数 单调递增;当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.例题题2 判断下列函数的单调性,并求 题题3 3 如图如图,水以常

18、速水以常速(即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面注入下面四种底面积相同的容器中积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度请分别找出与各容器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象.题3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相一般地一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那那么函数在这个范围内变化得快么函数在这个范围内变化得快。这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(”(向上或向下向上或向下);反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些.如图如图

19、,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”,”,在在 或或 内的内的图象图象平缓平缓.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 求可导函数求可导函数 单调区间的步骤：单调区间的步骤：(1)求(2)解不等式 (或 )(3)确认并指出递增区间（或递减区间）证明可导函数证明可导函数 在在(a,b)内的单调性的内的单调性的方法：方法：(1)求求(2)确认确认 在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论 求可导函数 单调区间的步骤 1.3.2函数的极值与导数问题情境观察观察右下图为函数右下图为函数 的图象的图象,问题问题1：函数在函数在 的函数值与它的函数值与它附近所

20、有各点的函数值的关系？附近所有各点的函数值的关系？我们说我们说 是函数的一个是函数的一个极大值；极大值；问题问题2：函数在函数在 的函数值与它附近所的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？有各点的函数值的关系？我们说我们说 是函数的一个是函数的一个极小值极小值。x x0 0yBA2 2 1.3.2函数的极值与导数问题情境观察右下图 1 1、定义函数极值（定义函数极值（extreme valueextreme value）一般地，设函数一般地，设函数 在在 及其附近有定义及其附近有定义 如果如果 的值比的值比 附近所有各点的函数值附近所有各点的函数值都大都大，则称，则称 是函数的一个是函数的一个

21、极大值极大值如果如果 的值比的值比 附近所有各点的函数值附近所有各点的函数值都小，则称都小，则称 是函数的一个是函数的一个极小值极小值x x0 0yB2A注：注：-极值极值 点点 -极值点极值点 1、定义函数极值（extreme value 2 2、探索思考、探索思考：函数函数 在哪些在哪些点取得极大值？点取得极大值？哪些点取哪些点取得极小值？得极小值？在这些点的在这些点的导数值是多少？导数值是多少？在这些点附近，在这些点附近，的导数的符号有什么的导数的符号有什么规律？规律？函数的极大值一定大于函数的极大值一定大于极小值吗极小值吗?2、探索思考：函数 在哪些 例题求 的极值解解:,由由 解得解

22、得 .当当 变化时变化时,、的变化情况如下表：的变化情况如下表：f(x)f(x)x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3 当当 时时,极小值极小值=28/3；当；当 时时,极大值极大值=-4/3.例题求 求函数极值步骤：1、求导数2、解方程3、列表：4、结论：1):如果在如果在 附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么 是极大值是极大值;2):如果在如果在 附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么f(x0)是极小值是极小值.求函数极值步骤：1、求导数1):如果在 探索思考探索思考:导数值为导数值为0 0的点一

23、定的点一定是函数是函数的极值点吗的极值点吗?函数的导数为函数的导数为零的点零的点,不不一定一定是该函数的是该函数的极值点极值点.探索思考:导数值为0的点一定 1.3.3函数的最大（小）值与导数上一小节问题：上一小节问题：函数的极函数的极大值一定大于极小值吗大值一定大于极小值吗?如又下图：如又下图：极大值：极大值：极小值：极小值：但：但：由此可见：极大值未必就由此可见：极大值未必就比极小值大。比极小值大。1.3.3函数的最大（小）值与导数上一小节问 1.3.3函数的最大（小）值与导数我们知道，极值反映的是局部性质，而不是函数在整个定义域的性质，函数极值是反映了在某一段的性质，在这一段上是最大（小

24、）值，但在实际问题中，我们更关心的是整个定义域上的最大（小）值。那么如何来求在定义域上的最大（小）值呢？1.3.3函数的最大（小）值与导数我们知道，极 最值求法定义：函数 在某一闭区间的最大值、最小值统称为最值。最值求法定义：函数 在某一闭区 最值求法由以上两图可知，一个函数的最值有可能在极值点处取得，也有可能在端点处取得。一般地，求函数 在 内的最值步骤如下：1、求函数 内的极值2、求端点值3、比较极值与端点值，最大的就是最大值，最小的就是最小值 最值求法由以上两图可知，一个函数的最值有 例题求函数 在 上的最值。解：1、令 2、3、例题求函数 1.4生活中优化问题举例导数例1例3总结例2

25、1.4生活中优化问题举例 导数例1例369 例1海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，先让你设计一张如图所示的竖向张贴海报，需要版心面积为128 ，上下两边各空2 ，左右各空 1 ，如何设计海报尺寸才能使四周空白面积最小？解：设版心高为：，则版心宽为:此时四周空白面积为：求导：，令 例1海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴 例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响（1 1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些？比大包装的要贵些？（2 2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？）是不是饮料瓶越大，

26、饮料公司的利润越大？背景知识：背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是瓶子的制造成本是 分，其中分，其中 是瓶是瓶子的半径，单位是厘米子的半径，单位是厘米.已知每出售已知每出售 的饮料，制造商的饮料，制造商获利获利 0.2 0.2 分分,且制造商制作的瓶子的最大半径为且制造商制作的瓶子的最大半径为 .问题问题()瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？()瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响（1）你是否注意过，市例2饮料瓶大小

27、对饮料公司利润影响解：由于瓶子的半径为解：由于瓶子的半径为r r，所以每瓶饮料的利润是，所以每瓶饮料的利润是例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响解：由于瓶子的半径为r，所以例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响当半径当半径 时，时，它表示它表示 单调递单调递增，增，即半径越大，利润越高即半径越大，利润越高；当半径当半径 时，时，它表示它表示 单调递减，单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大

28、例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响当半径 时例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响注注:如果不用导数工具如果不用导数工具,直接从函数的图象上直接从函数的图象上观察观察,你有什么发现你有什么发现?（见下图）（见下图）例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响 例3磁盘的最大存储量问题（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆环状的磁盘尽可能多的信息？为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了说明数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数 例3磁盘的最大存储量问题（1）你知道计算机是如何存储、例3磁盘的最大存储量问

29、题现有一张半径为R的磁盘，它的 存储区是介于r与R之间的环形区域（如图）（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时？，磁盘具有最大存储量，（最外面的磁道不存储任何信息）例3磁盘的最大存储量问题现有一张半径为R的磁盘，它的 存 例3磁盘的最大存储量问题 例3磁盘的最大存储量问题 总结有上述例子不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程中实际上是一个典型的数学建模过程。总结有上述例子不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用1.51.5定积分的概念定积分的概念1.5定积分的概念791.5.1曲边梯形的面积问

30、题的提出求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积abxyo1.5.1曲边梯形的面积问题的提出abxyo80用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyoabxyo（四个小矩形四个小矩形）（九个小矩形）九个小矩形）显然，小矩形越多，总矩形面积就越接近曲边梯形面积。用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyoabxyo（四个小矩81观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，播放82曲边梯形如图所示曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，83曲边梯形面积的近似

31、值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为841.5.2汽车行驶的路程问题的提出求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度 是时是时间间隔间间隔 上上 t 的一个连续函数，且的一个连续函数，且 求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分

32、过程求得路程的精确值1.5.2汽车行驶的路程问题的提出设某物体作直线运动，已知速85（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程861.5.3定积分的概念定义定义1.5.3定积分的概念定义87 记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和被积表达式被积表达式积分变量积分变量被积被积函函数数 记为积分上限积分下限积分和被积表达式积分变量被积函数88利用定积分的定义计算例解：利用定积分的定义计算例89利用定积分的定义计算例解：利用定积分的定义计算例90由定积分的定义，可得到定积分有如下性质：1、2、3、由定积分的定义，可得到定积分有如下性质：1、91定积分的几何意义 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值定积分的几何意义 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值92 93