微分方程ppt(罗兆富等编)第九章-非线性偏微分方程的Adomian分解法课件

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1、1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章第九章 非线性偏微分方程非线性偏微分方程Adomian分分解法解法 的的第一节第一节 非线性项的非线性项的Adomian多项式分解多项式分解 第二节第二节 用用Adomian分解法解非线性偏微分方程分解法解非线性偏微分方程 第三节第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程数学物理中的几个著名偏微分方程 第四节第四节 非线性常微分方程的非线性常微分方程的Adomian分解法分解法 第九章 非线性偏微分方程Adomian分解法 的第一节 2机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.1.01)而得到其解而得到其解,其中级数的通项其中级数的通项un(x,y)由递推

2、方式确定由递推方式确定.第一节第一节 非线性项的非线性项的Adomian多项式分解多项式分解 在求解线性微分方程时在求解线性微分方程时,Adomian分解法将方程中的分解法将方程中的未知函数未知函数u分裂成一个无穷级数分裂成一个无穷级数 然而然而,将将(9.1.01)代入非线性微分方程时代入非线性微分方程时,由于非线性由于非线性项的存在项的存在,我们得不到我们得不到un递推公式递推公式.例如方程例如方程 中的项中的项sinu,6u2ux都是非线性项都是非线性项.(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un(x,y3机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.1.02)下面下面,我们将犹如我们将犹

3、如sinu,6u2ux 这样的非线性项抽象这样的非线性项抽象地记为地记为F(u),Adomian分解法的处理办法是将分解法的处理办法是将F(u)线性线性化化,具体作法是将具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数分裂成一个无穷级数其中每一个其中每一个An称为称为Adomian多项式多项式,(9.1.03)由下式确定由下式确定 其中其中ui来自于来自于(9.1.01).(9.1.02)下面,我们将犹如sinu,4机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.1.03)一般表达式一般表达式(9.1.03)可简化如下可简化如下:.(9.1.04)(9.1.03)一般表达式(9.1.03)可简化如下:5机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算计算F(u)=u2的的Adomian多项式多项式.解解:例1.计算F(u)=u2的Adomian多项式.解6机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算计算F(u)=ux3的的Adomian多项式多项式.解解:例2.计算F(u)=ux3的Adomian多项式.7机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算计算F(u)=uux的的Adomian多项式多项式.解解:由例由例1,G(u)=u2 的的 的的Adomian多项式已求出多项式已求出,只须对其乘以只须对其乘以 再关于再关于x求一求一阶导数就得到阶导数就得到F(u)=uux的的Adomian多项

5、式多项式:例3.计算F(u)=uux的Adomian多项式.8机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算计算F(u)=sinu的的Adomian多项式多项式.解解:例4.计算F(u)=sinu的Adomian多项式.9机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算计算F(u)=sinhu的的Adomian多项式多项式.解解:例5.计算F(u)=sinhu的Adomian多项式.10机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算计算F(u)=eu的的Adomian多项式多项式.解解:例6.计算F(u)=eu的Adomian多项式.解:11机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！1

6、2机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.1.01)而得到其解而得到其解,其中级数的通项其中级数的通项un由递推方式确定由递推方式确定,只是在只是在非线性项中用非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可多项式的展开式代替即可.具体而言之具体而言之,我们考虑算子形式的非线性微分方程我们考虑算子形式的非线性微分方程 (9.2.01)第二节第二节 用用Adomian分解法解非线性偏微分方程分解法解非线性偏微分方程 与线性偏微分方程的情形一样与线性偏微分方程的情形一样,非线性偏微分方程的非线性偏微分方程的Adomian分解法也是将方程中的未知函数分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个分裂成一个

7、无穷级数无穷级数(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un由递推方式确13机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中Lx是一个关于是一个关于x的最高阶微分算子的最高阶微分算子,Ly 是一个关于是一个关于y的最高阶微分算子的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子是关于其它变量的线性偏微分算子,F(u)是非线性项是非线性项,g是自由项是自由项.学者们已证明学者们已证明,无论是从算子方程无论是从算子方程Lxu还是从还是从Lyu开始开始都可得到解都可得到解 并且并且这样得到这样得到的解都是等价的并且都的解都是等价的并且都收敛于精确解收敛于精确解.然而然而,在在Lx 和和Ly 选用哪一个

8、来求解定解问题则依赖选用哪一个来求解定解问题则依赖于下列两个基点：于下列两个基点：(1)能使计算量达最小能使计算量达最小;(2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件具有使解级数具有加速收敛的附加条件.具体而言之具体而言之,我们考虑算子形式的非线性微分方程我们考虑算子形式的非线性微分方程 (9.2.01)其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子,Ly 是一个关于y的14机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们将逆算子我们将逆算子Lx-1作用于作用于(9.2.02)的两端并利用已给的两端并利用已给初边值条件初边值条件,得到得到假设假设Lxu 满足上述两个条件满足上述两个条件,则由则由(9.2.01),得

9、得 (9.2.02)(9.2.03)其中其中(9.2.01)(9.2.04)我们将逆算子Lx-1作用于(9.2.02)的两15机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.2.03)(9.2.04)Adomian分解法指出分解法指出,通项通项un的递推公式是的递推公式是 (9.2.05)也就是也就是 .(9.2.03)(9.2.04)Adomian分解法指出,16机动 目录 上页 下页 返回 结束 将这些求出的将这些求出的un代入代入(9.1.01)就得到方程就得到方程(9.2.01)的级的级数形式的解数形式的解.学者们的研究表明学者们的研究表明,如果方程如果方程(9.2.01)存在精确解存在精确解

10、,则则所得到的级数解将快速收敛到精确解所得到的级数解将快速收敛到精确解.但在具体问题中但在具体问题中,如果级数的和函数不容易求出如果级数的和函数不容易求出,则可取适当选取项数从则可取适当选取项数从而得到高精度的数值解而得到高精度的数值解.(9.1.01)(9.2.01)将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程17机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解非齐次对流问题求解非齐次对流问题 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lt是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 于方程的两端于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到

11、作用作用 例1.求解非齐次对流问题 其中u=u(x,t).18机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .由第一节的例由第一节的例3,记记.计算得到计算得到 .所以方程的精确解为所以方程的精确解为 则则从而得到递推公式 .19机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解非齐次偏微分方程求解非齐次偏微分方程 其中其中u=u(x,y).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 并且并且 例2.求解非齐次偏微分方程 其中u=u(x,y).20机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .从而得到递推公式 .21机动 目录 上页 下

12、页 返回 结束.从而得到从而得到 .22机动 目录 上页 下页 返回 结束.23机动 目录 上页 下页 返回 结束.24机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以方程的级数形式的解为所以方程的级数形式的解为 所以方程的级数形式的解为 25机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解非线性偏微分方程求解非线性偏微分方程 其中其中u=u(x,y).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lxx是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例3.求解非线性偏微分方程 其中u=u(x,y).26机动 目录 上页

13、 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .由第一节的例由第一节的例1,有有 .计算得到计算得到 .所以方程的精确解为所以方程的精确解为 从而得到递推公式 .27机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！28机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程数学物理中的几个著名偏微分方程 克莱因克莱因-戈登方程戈登方程(Klein-Gordon equation)是量子场是量子场论中的最基本方程论中的最基本方程,常用于描述色散波现象常用于描述色散波现象.克莱因克莱因-戈戈尔登方程是由瑞典物理学家奥斯卡尔登方程是由瑞典物理学家奥斯卡克莱因和德国人沃克

14、莱因和德国人沃尔特尔特戈登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的戈登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的.一、克莱因一、克莱因-戈登方程戈登方程 1.线性克莱因线性克莱因-戈登方程戈登方程 线性克莱因线性克莱因-戈登方程的标准形式是戈登方程的标准形式是 (9.3.01)其中其中a是常数是常数,h是自由项是自由项.当当a=0时时,(9.3.01)成为非齐次成为非齐次波动方程波动方程.第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程 克莱29机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性克莱因线性克莱因-戈登方程是量子力学中最重要的方程戈登方程是量子力学中最重要的方程,由相对论能量公式导出由相对论能量公式导出.

15、例例1.求解线性克莱因求解线性克莱因-戈登方程的初值问题戈登方程的初值问题 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Ltt是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 线性克莱因-戈登方程是量子力学中最重要的方程30机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 计算得到计算得到 .所以方程的精确解为所以方程的精确解为 从而得到递推公式 计算得到 .31机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.非线性克莱因非线性克莱因-戈登方程戈登方程 非线性克莱因非线性克莱

16、因-戈登方程的标准形式是戈登方程的标准形式是 (9.3.02)其中其中a是常数是常数,h是自由项是自由项,F是是u的非线性函数的非线性函数.2.非线性克莱因-戈登方程 非线性克莱因-戈登方程的标32机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解非线性偏微分方程求解非线性偏微分方程 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Ltt是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例2.求解非线性偏微分方程 其中u=u(x,t).33机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从

17、而得到递推公式 .由第一节的例由第一节的例1,有有 .计算得到计算得到 噪声噪声?所以方程的精确解为所以方程的精确解为 例例2.求解非线性偏微分方程求解非线性偏微分方程 其中其中u=u(x,t).从而得到递推公式 .34机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.正弦正弦-戈登方程戈登方程 正弦正弦-戈登方程戈登方程(sine-Gordon equation)的标准形式是的标准形式是(9.3.03)其中其中c,是常数是常数.正弦正弦-戈登方程源自微分几何戈登方程源自微分几何,后来发现后来发现它出现在许多物理现象中它出现在许多物理现象中.例如例如,电磁流的传播和液体运电磁流的传播和液体运动的稳定性等

18、动的稳定性等.3.正弦-戈登方程 正弦-戈登方程(sine-Gord35机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解正弦求解正弦-戈登方程的初值问题戈登方程的初值问题 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Ltt是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例3.求解正弦-戈登方程的初值问题 其中u=u(x,t36机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .由第一节的例由第一节的例4,有有 .计算得到计算得到 .从而得到递推公式 .37机动 目录

19、 上页 下页 返回 结束 所以方程的级数解为所以方程的级数解为 二、伯格斯方程二、伯格斯方程 伯格斯方程伯格斯方程(Burgers equation)的标准形式是的标准形式是 (9.3.04)其中是表示运动粘度的常数其中是表示运动粘度的常数.当粘度时当粘度时,方程称为无粘度方程称为无粘度伯格斯方程伯格斯方程.无粘度伯格斯方程描述空气动力学无粘度伯格斯方程描述空气动力学.所以方程的级数解为 二、伯格斯方程 伯格斯方程(Bu38机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解伯格斯方程求解伯格斯方程 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lt是可逆的是

20、可逆的,将其逆算子将其逆算子 于方程的两端于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 作用作用 例4.求解伯格斯方程 其中u=u(x,t).解:39机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .由第一节的例由第一节的例3,有有 .计算得到计算得到 .从而得到递推公式 .40机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以方程的级数解为所以方程的级数解为 三、电报方程三、电报方程 电报方程电报方程(telegraph equation)的标准形式是的标准形式是 其中其中u=u(x,t)是电阻是电阻,a,b和和c分别是与电缆的电感应、电分别是与电缆的电感应、电容和电

21、导率相关的常数容和电导率相关的常数.电报方程描述的是电缆中电信电报方程描述的是电缆中电信号的传播号的传播.(9.3.05)所以方程的级数解为 三、电报方程 电报方程(tel41机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若a=0,c=0,我们得到标准热传导方程我们得到标准热传导方程 三、电报方程三、电报方程 电报方程电报方程(telegraph equation)的标准形式是的标准形式是 (9.3.05)其中其中u=u(x,t)是电阻是电阻,a,b和和c分别是与电缆的电感应、电分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数容和电导率相关的常数.电报方程描述的是电缆中电信电报方程描述的是电缆中电信号的传

22、播号的传播.(9.3.06)当当b=0,c=0,我们得到标准波动导方程我们得到标准波动导方程 (9.3.07)(书上有误书上有误!)若a=0,c=0,我们得到标准热传导方程 三、电报方程42机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解电报方程求解电报方程 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lxx是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例5.求解电报方程 其中u=u(x,t).解:43机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .计算得到计

23、算得到 .从而得到递推公式 .44机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以方程的级数解为所以方程的级数解为 所以方程的级数解为 45机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、KDV方程方程 KDV方程方程(Korteweg-deVries equation)的标准形式是的标准形式是 (9.3.08)KdV方程方程是是1895年由荷兰数学家科特韦格年由荷兰数学家科特韦格(Korteweg)和和德弗里斯德弗里斯(de Vries)在研究浅水槽中小振幅长波运动时共在研究浅水槽中小振幅长波运动时共同发现的一种同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程单向运动浅水波偏微分方程(也有人称之为也有人称之为科特韦

24、格科特韦格-德弗里斯方程德弗里斯方程,但一般都习惯直接但一般都习惯直接叫叫KdV方程方程).其中其中a是常数是常数.四、KDV方程 KDV方程(Korteweg-deVri46机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解伯格斯方程求解伯格斯方程 其中其中u=u(x,t).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lt是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 于方程的两端于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 作用作用 例6.求解伯格斯方程 其中u=u(x,t).解:47机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .由第一节的例由第一

25、节的例3,有有 .计算得到计算得到 .从而得到递推公式 .48机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以方程的级数解为所以方程的级数解为 所以方程的级数解为 49机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！50机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们考虑算子形式的非线性常微分方程我们考虑算子形式的非线性常微分方程(9.4.01)我们在前面已经看到我们在前面已经看到,Adomian分解法在求解偏微分分解法在求解偏微分方程时显示出巨大的威力方程时显示出巨大的威力,不仅如此不仅如此,Adomian分解法对分解法对求解非线性常微分程同样也是十分有效的求解非线性常微分程同样也是十分有效的.第四节第四节

26、非线性常微分方程的非线性常微分方程的Adomian分解法分解法 其中其中Lx是一个关于自变量是一个关于自变量x的最高阶微分算子的最高阶微分算子,R是其它是其它线性微分算子线性微分算子,F(y)是非线性项是非线性项,g是自由项是自由项.由由(9.4.01),得得 (9.4.02)我们考虑算子形式的非线性常微分方程(9.4.01)51机动 目录 上页 下页 返回 结束(9.4.02)我们将逆算子我们将逆算子Lx-1作用于作用于(9.4.02)的两端并利用已给的两端并利用已给初边值条件初边值条件,得到得到(9.4.03)其中其中 (9.4.02)我们将逆算子Lx-1作用于(52机动 目录 上页 下页

27、 返回 结束 我们将逆算子我们将逆算子Lx-1作用于作用于(9.4.02)的两端并利用已给的两端并利用已给初边值条件初边值条件,得到得到(9.4.03)(9.4.04)Adomian分解法指出分解法指出,通项通项yn的递推公式是的递推公式是 也就是也就是 .我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的53机动 目录 上页 下页 返回 结束 也就是也就是 .将这些求出的将这些求出的yn(x)代入代入 就得到方程就得到方程(9.4.01)的级数形式的解的级数形式的解.与偏微分方程的情形一样与偏微分方程的情形一样,如果方程如果方程(9.4.01)存在精存在精确解确解,则所得到的级数解将快速收敛到精确

28、解则所得到的级数解将快速收敛到精确解.但在具体但在具体问题中问题中,如果级数的和函数不容易求出如果级数的和函数不容易求出,则可取适当选取则可取适当选取项数而得到高精度的数值解项数而得到高精度的数值解.也就是 .54机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解非线性常微分方程的初值问题求解非线性常微分方程的初值问题 其中其中y=y(x).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lxx是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例1.求解非线性常微分方程的初值问题 其中y=y(x)55机动 目录 上页

29、下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .类似于第一节的例类似于第一节的例1,有有 .计算得到计算得到 所以方程的精确解为所以方程的精确解为 从而得到递推公式 .56机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解非线性常微分方程的初值问题求解非线性常微分方程的初值问题 其中其中y=y(x).解解:将方程写成算子形式将方程写成算子形式 其中其中 且且Lxx是可逆的是可逆的,将其逆算子将其逆算子 作用于方程的两端作用于方程的两端,并注意到初始条件并注意到初始条件 得到得到 例2.求解非线性常微分方程的初值问题 其中y=y(x)5657机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得到递推公式从而得到递推公式 .类似于第一节的例类似于第一节的例1,有有 .从而得到递推公式 .5758机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算得到计算得到 计算得到 5859机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算得到计算得到 噪声噪声?例例2.求解非线性常微分方程的初值问题求解非线性常微分方程的初值问题 其中其中y=y(x).所以方程的解为所以方程的解为 计算得到 噪声?例2.求解非线性常微分方程的初值问题5960机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节结束！