一阶微分方程及其建模方法

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1、微分方程基础及其数学模型一阶微分方程和微元分析法二阶微分方程基础常见微分方程模型解解一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念解解代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.2、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之.分类分类

2、1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：3、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解

3、中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解解所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通

4、解可用初等函数或积分表示出来)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程二、一阶微分方程的求解例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律整理可得：整理可得：的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.(2).解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程(1).(1).定义定义2、齐次方程例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 2 2 求解微分方程求解

5、微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.3、一阶线性方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为(1).线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(2).线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的

6、通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1 微元分析法举例及其特点湖水污染和净化化学反应动力学模型三、微元分析建模方法 如图所示，一容器内，原有100毫升盐水，其中含盐50g，现以流速3毫升/分钟的速度向容器注入盐水，每毫升含盐量为2g。假定流入的盐水和容器内的盐水因搅拌而能瞬时混合均匀，并以同样的速度流出。建立微分方程，描述容器中含盐量的变化过程，由此计算半小时后容器内剩多少公斤盐？微元分析法举例解：设t时刻对应的含盐量为y(t)，y(0)=50，（单位：g）在任意一段时间内，都有平衡式：容器内的盐的改变量=流进的盐量流出

7、的盐量。在tt+t时间段考虑容器内含盐量变化情况：对应的盐的改变量=y=y(t+t)-y(t)；流进盐量流出盐量=3 t 2 3 t y(t)/100；所以 y =6-3 y(t)/100 t，y/t=6-3 y(t)/100 ，令t0，得微分方程 y =63y/100，且y(0)=50 利用分离变量法，可求出通解为 y=200 c e3t/100，由初始条件y(0)=50，代入得c=150，所以容器含盐量的变化规律为：y=200 150 e-3t/100，当t=30分钟，y(30)=139克。？上述过程中，为什么要令t0？微元分析法的建模特点 在建立关于函数y=y(t)的微分方程时，常常让自

8、变量在t,t+t的微小区间内活动（区间长度t也可记作dt，称为微元），而方程两端通常用来描述函数y从t t+t 的改变量：左=y =y(t+t)y(t)-函数增量 右=f(t,y(t)t-利用问题所涉及的相关知识，将函数值在t,t+t 内的改变量 用t的一次形式近似表示出来。则 y/t=f(t,y(t)，令t 0，得微分方程 d y/d t=f(t,y(t).由于我们描述的函数常常以时间为自变量，因此，用微元分析法建立的微分方程的左端项d y/d t 的实际含义通常可理解为“速率”（即函数相对于时间的变化率），如：移动速率；温度的冷却速率；化学反应速率；繁殖速率等等。在这个意义上，微元分析法建

9、立的微分方程又称“速率”方程。如上例中，可直接建立盐量改变的速率方程：左=盐量的变化速率=dy/dt；右=盐量的流入速率-流出速率 则有：y=6-3y/100。一热水瓶内装有100摄氏度的热水，放在约20摄氏度的房间内，在24小时后，测得瓶内温度为50摄氏度。假定冷却的速率与温差成正比，试描述热水瓶温度的变化过程，并求出3小时后温度为多少？热水的冷却过程解：设t时刻热水瓶内对应的温度为y(t)，y(0)=100，（单位：摄氏度）由冷却定律，t 时刻的冷却速率和 当时热水瓶内温度与室内温度差成正比，设比例常数为k，则 dy/dt=k(y 20)易求得通解 y(t)=c e kt+20.由条件y(

10、0)=100，得c=80，和y(24）=50，得k=-0.0409，所以y(t)=20+80 e-0.0409t.当t=3小时，y(3)=90.y(t)=20+80 e-0.0409t小时摄氏度 湖水污染与净化 某工厂常年向一河流排污，该河流径直流过附近的一个很大湖泊，湖泊的容积q约为1015升，且湖泊的水位几乎终年保持不变。在给出合理的假设条件下，回答下列问题：（1）现环保部门在检测湖水质量时，发现湖水污染物的浓度p=0.03mol/升，并呈逐年上升趋势。而该工厂声称其每年向河流中排放污染物为m=1.01012mol/年，且开工至今以来从未改变，已知河流的流v为1.91014升/年。假设该声

11、称属实，并且该河流为湖泊唯一水源，试推测该河流中还有其他未知污染源吗？（2）若该工厂是湖泊的唯一污染源，按环保要求，湖水的污染物浓度不得超过0.001mol/升，则关闭该工厂，通过自然净化，至少需要多少年湖水才可能达到环保要求？模型的建立假设：(i)流经湖泊的河流只有一条，湖水的水位终年不变，且不考虑蒸发、渗漏等因素，即流入水速和流出水速大致相等。(iii)污染物易溶于水，且流入湖后，与湖水混合均匀所需的时间较短，本模型忽略不计。记号：q-湖泊容积；v-河水流速；p-环保部门测定的污染物浓度；m-工厂排污的速率；M-向湖泊排污的速率,包括工厂排污和其它排污(若有的话).设t时刻对应的污染物为y

12、(t)，记环保部门测定污染物浓度的时刻t=0，y(0)=p q(污染物含量单位：mol）则建立微分方程为d y/d t=Mv(y/q)且y(0)=p q.模型求解并分析求解微分方程可简化为d y/d t=M k y，且y(0)=y0.其中k=v/q；y0=p q.利用变量分离法，可求得通解 y(t)=M/k c ekt，由初始条件y(0)=y0，代入 c=M/k-p q,所以湖水的污染物含量为y(t)=M/k（M/k-p q）ekt.问题1的回答 假定没有其它污染源，且工厂的声明属实，M=m.代入m,v,q,p的具体数值，得y(t)=5.31012+2.51013 e0.19t 其函数图象如右

13、，很显然，湖中污染物的含量将呈逐年下降的趋势，这与环保部门监测结果矛盾。所以，没有其它污染源和工厂的声明属实的假定，二者至少有一不真。若工厂的声明属实，则有其它污染源。问题2的回答若已知该工厂是湖泊的唯一污染源，则其声称有假。为了达到湖水的污染物浓度不得超过0.01mol/升，则关闭该工厂对湖水进行自然净化。下面我们描述在自然净化的情况下，湖水污染物含量y(t).即上述模型中，M=0的情形，方程变为:d y/d t=k y，且y(0)=pq.其解为：y(t)=p q ekt，即y(t)=31013 e0.19t.要达到环保部门要求，31013 e0.19t/1015 0.001解不等式：t18

14、年.可见污染容易，净化较难。(左图为浓度变化曲线)年份浓度p(t)=0.03 e0.19t.化学反应动力学模型 在化学反应过程中，通常存在各化学成份的质的变化和量的变化。一般化学学科着重研究各化学成份性质的变化规律；而化学动力学则侧重于研究各化学成份数量的变化过程。一个非常有效的手段就是建立该化学反应的微分方程，其中涉及到化学反应的速率问题，不难理解：参加化学反应的各物质浓度越大，反应速度将越快。常见的如正比速度化学反应模型（即假定化学反应速度与各反应物的浓度成正比）1.一级反应 由一分子反应物A生成一分子产物 p 的反应：Ap.设t时刻A的浓度为y(t)，由正比速度反应的假定，其方程为 d

15、y/d t=k x ，x(0)=x0(初始浓度）。其解为：x(t)=x0 ekt。其中k称作反应速度常数，它决定各反应速度的快慢，是化学动力学研究的重要参数。2.二级反应 由两分子反应物A、B生成一分子产物 p 的反应：A+B p.设t时刻 A和B 的浓度分别为x(t)、y(t)，由正比速度反应的假定，可建立关于函数x(t)、y(t)的微分方程组：d x/d t=k x y ，x(0)=x0 dy/dt=k x y ，y(0)=y0 其解的 性态应不难讨论（略）.特别地，A与B相同时，其反应式：2A p.设t时刻 A的浓度分别为y(t)，满足：dy/dt=k y2，y(0)=y0，其解为：y(

16、t)=y0/(1+k y0 t).多级反应，以此类推。3.零级反应若化学反应速度与反应物的浓度无关，即以恒速进行。当反应物的浓度很大时，通常会出现零级反应，其反应物的浓度y(t)的微分方程为：d y/dt=k，y(0)=y0.其解为：y(t)=y0kt。经过一段时间，随着浓度减小，零级反应会变成一级或多级反应。注：化学反应速度也可用反应物浓度变化来刻划。问 题 讨 论 在一容器内进行酸碱中和反应（或其它化学反应）NaOH+HCl=NaCl+H2O 利用上面介绍的原理和建模方法，在合理的假设条件下，请你设计一套可行的试验方案，来描述各化学成份数量随时间的变化过程，并给出该试验条件下，其化学反应速度系数 k计算方法。若有试验条件，试验证你的结论。