第二章 平面问题及CAE

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1、1第二章 平面问题的有限元法2第一节第一节 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题一、平面应力问题一、平面应力问题满足以下条件的问题可是为平面应力问题：满足以下条件的问题可是为平面应力问题：弹性体在一个坐标方向的几弹性体在一个坐标方向的几 何尺寸远小于其他两个方向何尺寸远小于其他两个方向 的坐标尺寸。的坐标尺寸。作用于边缘的表面力平行于作用于边缘的表面力平行于 板面，且沿厚度均匀分布。板面，且沿厚度均匀分布。顶面和底面没有载荷作用。顶面和底面没有载荷作用。体积力平行于板面，且沿厚体积力平行于板面，且沿厚 度均匀分布。度均匀分布。3平面应力问题的应力矩阵为平面应力问题的应力矩阵为不独立不独立考虑的

2、应变分量为考虑的应变分量为 平面应力问题的几何方程平面应力问题的几何方程 4平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程写成矩阵形式写成矩阵形式平面应力问题平面应力问题的弹性矩阵的弹性矩阵 平面应力问题取中面分析平面应力问题取中面分析 5二、平面应变问题二、平面应变问题满足以下条件的问题可视为平面应变问题：满足以下条件的问题可视为平面应变问题：弹性体沿一个坐标轴方向的弹性体沿一个坐标轴方向的 尺寸很长，且所有垂直于尺寸很长，且所有垂直于z 轴的横截面都相同，位移约轴的横截面都相同，位移约 束条件或支撑条件沿该方向束条件或支撑条件沿该方向 也是相同的。也是相同的。柱体表面承受的表面力均垂柱体表面

3、承受的表面力均垂 直于直于z轴，且分布规律不随轴，且分布规律不随z 坐标变化。坐标变化。体积力垂直于体积力垂直于z轴，且分布规律不随轴，且分布规律不随z坐标变化。坐标变化。6平面应变问题的几何方程平面应变问题的几何方程 平面应变问题的物理方程写成矩阵形式平面应变问题的物理方程写成矩阵形式 平面应变问题平面应变问题的弹性矩阵的弹性矩阵 平面应变问题取横截面分析平面应变问题取横截面分析 7第二节第二节 平面问题的离散化平面问题的离散化 离散化离散化就是把一个给定的区域离散成有限个具有就是把一个给定的区域离散成有限个具有简单几何形状的单元的集合，即用有限元网格代替简单几何形状的单元的集合，即用有限元

4、网格代替给定的区域。给定的区域。在进行离散化时，需要选择单元的数目、类型、在进行离散化时，需要选择单元的数目、类型、形状，确定网格的疏密。形状，确定网格的疏密。平面问题离散化的区域是一个平面平面问题离散化的区域是一个平面,采用如下单元采用如下单元8单元之间只在节点处相连；单元之间只在节点处相连；所有的节点都是铰接点；所有的节点都是铰接点；单元之间的力只通过节点传递；单元之间的力只通过节点传递；外载荷都要移置到节点上；外载荷都要移置到节点上；在节点位移或某一分量可以不计之处，在该节点在节点位移或某一分量可以不计之处，在该节点 安置铰支座。安置铰支座。平面问题离散化时规定：平面问题离散化时规定：9

5、一、结构对称性和周期性的利用一、结构对称性和周期性的利用具有对称面的对称结构：具有对称面的对称结构：当结构中的一部分假想地相对于结构的某一平面当结构中的一部分假想地相对于结构的某一平面对折后，结构两部分的形状，物理性质和约束条件完对折后，结构两部分的形状，物理性质和约束条件完全重合。全重合。对称载荷：对称载荷：载荷在随结构对折后重合。载荷在随结构对折后重合。反对称载荷：反对称载荷：载荷在随结构对折后，须将对称面某一边的载载荷在随结构对折后，须将对称面某一边的载荷贯以负号才能相互重合。荷贯以负号才能相互重合。在静力分析中，可以利用结构的对称性，取结构在静力分析中，可以利用结构的对称性，取结构的一

6、部分进行分析。的一部分进行分析。10具有循环对称性的结构具有循环对称性的结构 若结构具有一对称轴，当结构的一部分假想地绕若结构具有一对称轴，当结构的一部分假想地绕着该轴作周期性旋转运动时，可以得到和结构的其余着该轴作周期性旋转运动时，可以得到和结构的其余部分在形状、物理性质、边界条件和受载状态完全一部分在形状、物理性质、边界条件和受载状态完全一致的特征。如齿轮和花键轴等在某种工况下属于这种致的特征。如齿轮和花键轴等在某种工况下属于这种结构。结构。这种结构可以划分成几个子结构，在分析时只取这种结构可以划分成几个子结构，在分析时只取其中的一个子结构建立有限元模型。其中的一个子结构建立有限元模型。1

7、1具有周期性的结构具有周期性的结构 自然界有很多周期性结构，特点是自然界有很多周期性结构，特点是只需要对其进只需要对其进行平移变换就能形成整个宏观结构行平移变换就能形成整个宏观结构。12具有周期性的结构具有周期性的结构 选取代表体积单胞时可以有多种形式选取代表体积单胞时可以有多种形式13具有周期性的结构具有周期性的结构 若再利用结构的对称性，可以得到最小的代表体若再利用结构的对称性，可以得到最小的代表体积元积元14具有周期性的结构具有周期性的结构 利用对称性可以得到最小的代表体积单元利用对称性可以得到最小的代表体积单元151、结构对称，载荷对称、结构对称，载荷对称在在ox面上位移面上位移u是对

8、是对称的，位移称的，位移v是反对是反对称的，载荷对称，则称的，载荷对称，则在在ox面上只有面上只有x方向方向位移，位移，y方向不动。方向不动。在在oy面上位移面上位移v是对是对称的，位移称的，位移u是反对是反对称的，载荷对称。则称的，载荷对称。则oy面上只有面上只有y方向位方向位移，移，x方向不动。方向不动。162、结构对称，载荷反对称、结构对称，载荷反对称在在ox面上位移面上位移u是对称的，是对称的，位移位移v是反对称的，载荷是反对称的，载荷反对称。则对称位移反对称。则对称位移u0 在在oy面上位移面上位移v是对称的，是对称的，位移位移u是反对称的，载荷是反对称的，载荷反对称。则对称位移反对

9、称。则对称位移v0173、结构对称，载荷为一般的情况、结构对称，载荷为一般的情况结构对称结构对称载荷对称载荷对称结构对称结构对称载荷反对称载荷反对称取四分之一分两步计算取四分之一分两步计算 注意：注意：利用结构的对称性取一部分建立有限元模型，利用结构的对称性取一部分建立有限元模型，往往会产生约束不足的现象。可能使模型产生刚体往往会产生约束不足的现象。可能使模型产生刚体位移，因此必须附加约束。位移，因此必须附加约束。18二、网格划分要兼顾精度和经济性二、网格划分要兼顾精度和经济性 在位移函数收敛的条件下，网格画的越密，在位移函数收敛的条件下，网格画的越密，计算结果越精确。但网格越密，计算时间和费

10、用计算结果越精确。但网格越密，计算时间和费用越增加。经验表明，当网格加密到一定程度时，越增加。经验表明，当网格加密到一定程度时，再加密网格，精度的提高不是很明显。合理的网再加密网格，精度的提高不是很明显。合理的网格布局应同结构的应力梯度相一致。格布局应同结构的应力梯度相一致。所有以前的网格（粗网格）应包含于当前加密网格所有以前的网格（粗网格）应包含于当前加密网格（细网格）之中。（细网格）之中。加密网格过程中，单元类型不变，即单元位移函数加密网格过程中，单元类型不变，即单元位移函数 不变。这样可以避免重新推导单元位移函数、单元不变。这样可以避免重新推导单元位移函数、单元 刚度矩阵、单元载荷向量等

11、。刚度矩阵、单元载荷向量等。比较网格加密前后的计算结果，若计算结果有较大比较网格加密前后的计算结果，若计算结果有较大 差异，表明网格细画有必要性。差异，表明网格细画有必要性。19三、不连续处的自然分割三、不连续处的自然分割 工程结构在几何形状、载荷分布和材料特性等工程结构在几何形状、载荷分布和材料特性等方面存在许多不连续处。一般情况下，应将有限元方面存在许多不连续处。一般情况下，应将有限元模型的节点单元的分界线和变截面设置在相应的不模型的节点单元的分界线和变截面设置在相应的不连续处。连续处。在几何、载荷和材料性能突在几何、载荷和材料性能突变处网格应加密，因为场函数在变处网格应加密，因为场函数在

12、这个位置易产生较大变化。这个位置易产生较大变化。为了减少工作量，可以采用为了减少工作量，可以采用局部加密网格的方法，在局部加局部加密网格的方法，在局部加密区域边界上，上一次计算出节密区域边界上，上一次计算出节点位移作为本次加密区域边界上点位移作为本次加密区域边界上的边界条件。的边界条件。20四、几何形状的近似和过渡圆角的处理四、几何形状的近似和过渡圆角的处理 离散化使结构边界变成单元边界的集合，如果用离散化使结构边界变成单元边界的集合，如果用直线单元边界代替结构的曲线边界，将产生结构几何直线单元边界代替结构的曲线边界，将产生结构几何形状的离散化误差。形状的离散化误差。几何形状离散化误差对过渡圆

13、角的影响尤为突几何形状离散化误差对过渡圆角的影响尤为突出。过渡圆角附近一般存在应力集中，而应力集中出。过渡圆角附近一般存在应力集中，而应力集中对过渡圆角几何形状误差异常敏感，而过渡圆角处对过渡圆角几何形状误差异常敏感，而过渡圆角处的应力集中一般是研究的重点。的应力集中一般是研究的重点。可以采用较小单元，可以采用较小单元，也可采用高阶单元也可采用高阶单元。21五、边界条件的确定五、边界条件的确定1.边界位置的确定边界位置的确定 建立连续弹性体局部区域的有建立连续弹性体局部区域的有限元模型时，往往取该局部区域为限元模型时，往往取该局部区域为隔离体，取其隔离边界条件为零位隔离体，取其隔离边界条件为零

14、位移约束，并通过试探校正确定零位移约束，并通过试探校正确定零位移边界的位置。移边界的位置。改变改变PQ和和PS的位置，观察其对齿根最大拉应的位置，观察其对齿根最大拉应力的影响，确定合理的位置力的影响，确定合理的位置222.边界条件的确定边界条件的确定 分析对象的边界位置是零部件的连接部位，边分析对象的边界位置是零部件的连接部位，边界位置是确定的。在建立有限元模型时，必须研究界位置是确定的。在建立有限元模型时，必须研究如何给定边界位置上的边界条件，以反映连接结构如何给定边界位置上的边界条件，以反映连接结构的影响。确定这种问题的边界条件是用简单支承连的影响。确定这种问题的边界条件是用简单支承连杆替

15、代相连接结构的作用，使替代后的结构的系统杆替代相连接结构的作用，使替代后的结构的系统刚阵等价于原结构的系统刚阵。刚阵等价于原结构的系统刚阵。23六、单元和节点编号六、单元和节点编号 利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求解利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求解方程组时，单元节点编号直接影响系统整体刚度矩方程组时，单元节点编号直接影响系统整体刚度矩阵的半带宽，也就是影响在计算机中存储信息的多阵的半带宽，也就是影响在计算机中存储信息的多少，计算时间和计算费用，因而要求合理的节点编少，计算时间和计算费用，因而要求合理的节点编号使半带宽极小化。号使半带宽极小化。半带宽的计算公式为半带宽的计算公式为

16、半带宽半带宽d（单元节点号的最大差值（单元节点号的最大差值1）节点自由度数节点自由度数 单元的编号只影响整体刚度矩阵的装配时间。由单元的编号只影响整体刚度矩阵的装配时间。由于这一时间在有限元计算中只占很小的比例，因而对于这一时间在有限元计算中只占很小的比例，因而对单元的编号并无特殊的要求。单元的编号并无特殊的要求。24合理合理25第三节第三节 三角形单元位移函数和形函数三角形单元位移函数和形函数3个节点的坐标分别为个节点的坐标分别为 三角形单元的节点位移向量为三角形单元的节点位移向量为 三角形的单元的节点力三角形的单元的节点力 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 261、单元位移函数、单元位移函数选取如

17、下位移函数选取如下位移函数将将3个节点的坐标代入写成矩阵表达形式个节点的坐标代入写成矩阵表达形式27三角形面积三角形面积（i1，2，3）为）为 求逆过程中的代数余子式求逆过程中的代数余子式 如如28其中其中（i=1，2，3）插值函数，是坐标的函数，反映单元的位移形态，插值函数，是坐标的函数，反映单元的位移形态，在有限元法中称为在有限元法中称为形函数形函数。单元的形函数矩阵单元的形函数矩阵 29二、形函数的性质二、形函数的性质1、形函数就是基本的插值函数，它满足、形函数就是基本的插值函数，它满足只在节点只在节点i处为处为1，其他节点处为零。，其他节点处为零。2、3、形函数和位移函数是阶次相同的多

18、项式。、形函数和位移函数是阶次相同的多项式。30三、位移函数和形函数的几何意义三、位移函数和形函数的几何意义1、形函数的几何意义、形函数的几何意义表示当节点表示当节点1在在x方向为方向为1，节点，节点2，3的的x方方向位移为零时，单元内各点沿向位移为零时，单元内各点沿x方向的位移方向的位移在三维空间在三维空间 中，形函数是一个空间平面。中，形函数是一个空间平面。通过如下三点通过如下三点单元内各点的位移单元内各点的位移u等于该点沿等于该点沿123平平面法线到平面面法线到平面 的距离。的距离。31 在三角形网格划分的整个二维区域，在三角形网格划分的整个二维区域，是一是一个角锥函数个角锥函数322、

19、位移函数的几何意义、位移函数的几何意义 在三维空间在三维空间 中，位移函数是一空间平中，位移函数是一空间平面面 当采用三角形网格和线性位移函数式时，真实当采用三角形网格和线性位移函数式时，真实位移场用一组三角形平面的组合折面来近似。所以，位移场用一组三角形平面的组合折面来近似。所以，网格越细，近似程度越高。网格越细，近似程度越高。33四、有限元解的收敛性及收敛准则四、有限元解的收敛性及收敛准则1、有限元解的收敛性、有限元解的收敛性 有限单元法是里兹法的一种特殊形式，不同是有有限单元法是里兹法的一种特殊形式，不同是有限单元法的试探函数定义于单元（子域）。里兹法要限单元法的试探函数定义于单元（子域

20、）。里兹法要求试探函数具有完全性和连续性。求试探函数具有完全性和连续性。在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。如果采用完全多项式作为单元的插值函数函集成的。如果采用完全多项式作为单元的插值函数（试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内（试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。但由于有限元的试探函数可以精确地和真正解一致。但由于有限元的试探函数只能取有限项，因此只能得到近似解。有必要研究在只能取有限项，因此只能得到近似解。有必要研究在什么条件下，当单元尺寸趋近零时，有限元解趋近真什么条件下，当单元尺寸趋近零时

21、，有限元解趋近真正解。正解。34以待求的标量场函数为例，微分方程为以待求的标量场函数为例，微分方程为相应的泛函是相应的泛函是 假定泛函中包含假定泛函中包含 和它的直至和它的直至m阶的各阶导数，阶的各阶导数，若若m阶导数非零，若取阶导数非零，若取p次完全多项式为试探函数，次完全多项式为试探函数，则必须满足则必须满足 以保证试探函数及其以保证试探函数及其m阶导数的表达式都包含阶导数的表达式都包含有常数项，当单元尺寸趋于零时在每一单元内的试有常数项，当单元尺寸趋于零时在每一单元内的试探函数及其直至探函数及其直至m阶导数都趋于精确解。阶导数都趋于精确解。35收敛准则收敛准则准则准则1 1：完备性要求。

22、如果出现在泛函中场函数的最完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是内场函数的试探函数至少是m阶完全多项式，或者说阶完全多项式，或者说试探函数必须包括本身和直至试探函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。阶导数为常数的项。单元的试探函数满足上述要求，称单元的试探函数满足上述要求，称单元是完备的单元是完备的。准则准则2 2：协调性要求。如果出现在泛函中的最高导数：协调性要求。如果出现在泛函中的最高导数是是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有阶，则试探函数在单元交界面上必须具有 连连续

23、性，即在相邻单元的交界面上应有连续函数直至续性，即在相邻单元的交界面上应有连续函数直至m1阶的连续导数。阶的连续导数。单元的插值函数满足上述要求，称单元的插值函数满足上述要求，称单元是协调的单元是协调的。362、选择位移函数的一般原则、选择位移函数的一般原则 位移函数位移函数采用有限项多项式选取的原则：采用有限项多项式选取的原则：待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数一致。的个数应与单元的自由度数一致。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量取完整性多项式的选取应由低阶到高阶，尽量取完整性阶数高的多项式以提高单元精度。阶数高的多项式

24、以提高单元精度。37 单元内位移函数必须连续单元内位移函数必须连续。多项式是单值连续函。多项式是单值连续函数，在单元内的连续性能够保障。数，在单元内的连续性能够保障。在单元内，位移函数必须包括常应变项在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单。每个单元的应变状态可以分解为不依赖于单元内各点位置的元的应变状态可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元内各点的应变趋于相等，常应变成为足够小时，单元内各点的应变趋于相等，常应变成为主要的应变。主要的应变。在单元内，位移函数必须包括刚体位移项在单元内，位移

25、函数必须包括刚体位移项。单元。单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移。内任一点的位移包括形变位移和刚体位移。满足完备性条件的单元满足完备性条件的单元完备单元完备单元 收敛的收敛的必要条件必要条件 完备性条件完备性条件38 位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同位移，而且沿单元边界也有相同位移，以保证不相同位移，而且沿单元边界也有相同位移，以保证不发生单元的相互脱离和侵入重叠。协调性保证了相邻发生单元的相互脱离和侵入重叠。协调性保证了相邻单元边界位移的连

26、续性。单元边界位移的连续性。满足协调性要求的单元称为满足协调性要求的单元称为协调单元协调单元 收敛的收敛的充分条件充分条件 协调性要求协调性要求 39第四节第四节 单元等效节点载荷向量单元等效节点载荷向量 单元所受的非节点载荷一般包括：单元所受的非节点载荷一般包括：集中载荷集中载荷、分布体力分布体力、边界面力边界面力。移置到节点上移置到节点上 依据依据虚功原理虚功原理原载荷与等效节点载荷在任原载荷与等效节点载荷在任意虚位移上的虚功相等。意虚位移上的虚功相等。一、集中载荷的等效节点载荷一、集中载荷的等效节点载荷作用集中载荷作用集中载荷40等效节点载荷向量为等效节点载荷向量为假设该单元产生虚位移假

27、设该单元产生虚位移单元内各节点的虚位移单元内各节点的虚位移由由M点虚位移点虚位移41根据虚功原理根据虚功原理载荷作用点载荷作用点2、分布体力的节点载荷、分布体力的节点载荷分布体力：重力、磁场力和离心力。分布体力：重力、磁场力和离心力。单位体积的体积向量单位体积的体积向量微元体积内可看成集中力微元体积内可看成集中力分布体力的等效节点载荷向量分布体力的等效节点载荷向量42对于均匀分布的体力，对于均匀分布的体力，在单元内为常量，又在单元内为常量，又3、分布面力的节点载荷、分布面力的节点载荷微元面积内可看成集中力微元面积内可看成集中力43第五节第五节 应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵应变矩阵、应力矩阵

28、和单元刚度矩阵一、应变矩阵一、应变矩阵单元位移函数为单元位移函数为平面问题的几何方程平面问题的几何方程44应变矩阵应变矩阵应变矩阵是由节点位移求单元内任一点应变的转化矩阵应变矩阵是由节点位移求单元内任一点应变的转化矩阵45二、应力矩阵二、应力矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵是由节点位移求单应力矩阵是由节点位移求单元内任一点应力的转化矩阵元内任一点应力的转化矩阵三角形单元为常应变单元三角形单元为常应变单元46平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题47三、三、单元刚度矩阵单元刚度矩阵变形体的虚功原理变形体的虚功原理：要使变形体在某一形变位置处：要使变形体在某一形变位置处于平衡，其充要条件是，

29、在这一变形位置，所有内于平衡，其充要条件是，在这一变形位置，所有内力和外力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。力和外力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。-变形体虚功方程变形体虚功方程设单元产生虚位移，单元节点虚位移为设单元产生虚位移，单元节点虚位移为单元内部的虚应变为单元内部的虚应变为外力虚功外力虚功内力虚功的负值内力虚功的负值48任意性任意性其中的元素为常量其中的元素为常量单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元节点位移求节点力的转换矩阵单元节点位移求节点力的转换矩阵49对于三角形单元，对于三角形单元，中的元素都为常量中的元素都为常量阶矩阵阶矩阵单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质对称性对称性奇异性奇异性

30、 各列元素之和为零，其物理意义为，无约束条各列元素之和为零，其物理意义为，无约束条件下单元可作刚体运动。件下单元可作刚体运动。各对应边平行的相似单元，如果具有相同的各对应边平行的相似单元，如果具有相同的材料性能和厚度，并且相应节点的局部编号相同，材料性能和厚度，并且相应节点的局部编号相同，则它们具有相同的单元刚度矩阵。则它们具有相同的单元刚度矩阵。50三角形单元的分析过程三角形单元的分析过程51第六节第六节 整体分析整体分析一、整体刚度矩阵的叠加一、整体刚度矩阵的叠加 整体刚度矩阵是由刚度集成法叠加的：先求每整体刚度矩阵是由刚度集成法叠加的：先求每一个单元的刚度矩阵，然后将每一子块送到整体刚一

31、个单元的刚度矩阵，然后将每一子块送到整体刚度矩阵的相应位置，在同一位置若有几个单元的相度矩阵的相应位置，在同一位置若有几个单元的相应子块送到，进行叠加得到整体刚阵的相应子块，应子块送到，进行叠加得到整体刚阵的相应子块，从而形成整体刚度矩阵。从而形成整体刚度矩阵。实际计算时，叠加过程由计算机完成。在处理实际计算时，叠加过程由计算机完成。在处理某一个单元时，根据单元局部编号和整体编号的关某一个单元时，根据单元局部编号和整体编号的关系将单元刚度矩阵的每一个元素放到整体刚度矩阵系将单元刚度矩阵的每一个元素放到整体刚度矩阵相应的位置。相应的位置。52二、整体刚度矩阵的特点二、整体刚度矩阵的特点对称性对称

32、性 整体刚度矩阵是对称矩阵，利用其对称性，可整体刚度矩阵是对称矩阵，利用其对称性，可只存储其上三角或下三角部分。只存储其上三角或下三角部分。稀疏性稀疏性 整体刚度矩阵是一个稀疏矩阵。稀疏性是指对整体刚度矩阵是一个稀疏矩阵。稀疏性是指对于节点较多的网格来说，大多数的元素都是零。于节点较多的网格来说，大多数的元素都是零。奇异性奇异性 整个结构在无约束的条件下刚体运动。整个结构在无约束的条件下刚体运动。53带状分布带状分布 整体刚阵的非零元素分布在以对角线为中心的整体刚阵的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域，称为带状矩阵。包括对角线在内的半个带状区域，称为带状矩阵。包括对角线在内的半个带状区域内

33、，每行包含最多的元素称为半带宽。带状区域内，每行包含最多的元素称为半带宽。半带宽半带宽d（单元节点号的最大差值（单元节点号的最大差值1）2平面问题半带宽的计算公式平面问题半带宽的计算公式三、整体节点载荷向量三、整体节点载荷向量 类似于单元刚阵组合成整体刚阵，节点载荷向类似于单元刚阵组合成整体刚阵，节点载荷向量集合成整体节点载荷向量。量集合成整体节点载荷向量。54四、约束条件的引入四、约束条件的引入 因为整体刚度矩阵为奇异矩阵，整体平衡方程因为整体刚度矩阵为奇异矩阵，整体平衡方程不能求解，必须引入约束。不能求解，必须引入约束。整体的平衡方程为整体的平衡方程为整体节点位移向量整体节点位移向量整体节

34、点载荷向量整体节点载荷向量 边界受约束节点的约束条件通常包括零位移和边界受约束节点的约束条件通常包括零位移和非零位移两种，零位移对应刚性支撑。非零位移有非零位移两种，零位移对应刚性支撑。非零位移有两种一种是弹性支撑，另一种是对于网格细化时，两种一种是弹性支撑，另一种是对于网格细化时，局部细化边界上用粗网格计算得到的节点位移作为局部细化边界上用粗网格计算得到的节点位移作为边界条件。边界条件。55 引入约束条件就是对整体刚度矩阵和整体载荷引入约束条件就是对整体刚度矩阵和整体载荷向量进行修正。向量进行修正。方程和矩阵的阶数不变。方程和矩阵的阶数不变。修正整体刚度矩阵的方法和整体载荷向量的规则：修正整

35、体刚度矩阵的方法和整体载荷向量的规则：将将已已知知位位移移分分量量对对应应的的刚刚度度矩矩阵阵行行和和列列元元素素修修正正，修修正正方方法法为为主主对对角角线线元元素素置置1，其其余余元元素素为为零零，其其他他行和列的元素不变。行和列的元素不变。修修正正整整体体载载荷荷向向量量的的规规则则：若若已已知知第第j个个位位移移分分量量为为 ，第第k个个位位移移分分量量为为 ，则则修修正正后后整整体体载载荷荷向向量量对应的元素为对应的元素为56五、求解五、求解求解如下方程组求解如下方程组求解高阶线性方程组的方法：直接法和迭代法。求解高阶线性方程组的方法：直接法和迭代法。对于中小型方程组（小于几千阶）常

36、选用直接法。对于中小型方程组（小于几千阶）常选用直接法。对于大型稀疏方程组，常选用迭代法。对于大型稀疏方程组，常选用迭代法。六、应力计算及结果处理六、应力计算及结果处理求解方程组求解方程组单元内各点的应变和应力单元内各点的应变和应力单元的节点位移向量单元的节点位移向量节点位移向量节点位移向量57 应变矩阵应变矩阵 是形函数对坐标求导是形函数对坐标求导 得到的矩阵，得到的矩阵，而求导使多项式的阶数降低，所以计算得到的应力和而求导使多项式的阶数降低，所以计算得到的应力和应变精度比位移低，存在误差。应变精度比位移低，存在误差。应力解的误差表现在应力解的误差表现在：单元内部不满足平衡方程；单元内部不满

37、足平衡方程；单元与单元的交界处应力不连续；单元与单元的交界处应力不连续；在边界上应力解与边界条件不符。在边界上应力解与边界条件不符。计算得到的应力进行处理计算得到的应力进行处理：绕节点平均法：采用围绕该节点的单元的应力平均值。绕节点平均法：采用围绕该节点的单元的应力平均值。两单元平均法：用相邻两单元的应力平均，用来表征两单元平均法：用相邻两单元的应力平均，用来表征 两单元公共边中点的应力。两单元公共边中点的应力。外推法计算边界点应力：用拉格朗日差值公式外推得外推法计算边界点应力：用拉格朗日差值公式外推得 到边界上点的应力。到边界上点的应力。58七、误差分析七、误差分析有限元误差包括：计算误差和

38、离散误差。有限元误差包括：计算误差和离散误差。计算误差：是指计算机在数值计算时产生的误差。计算误差：是指计算机在数值计算时产生的误差。离散误差：连续体被离散化模型所代替并进行近似离散误差：连续体被离散化模型所代替并进行近似计算所带来的误差。计算所带来的误差。主要因素主要因素减少误差采取的措施：减少误差采取的措施：在同一有限元计算模型中尽量减少刚度过份悬殊在同一有限元计算模型中尽量减少刚度过份悬殊 的单元。的单元。采用较密的网格划分，且采用较好的单元形态。采用较密的网格划分，且采用较好的单元形态。59一、一、ABAQUS/CAE模型数据库的结构模型数据库的结构第七节第七节 ABAQUS/CAE建

39、模建模60ABAQUS/CAE分析流程九步走分析流程九步走 1 1、几何建模、几何建模 PartPart 2 2、属、属性设置性设置 PropertyProperty 3 3、建立装配体建立装配体 AssemblyAssembly 4 4、定义分析步、定义分析步 StepStep 5 5、相互作用相互作用 InteractionInteraction 7 7、载荷边界载荷边界 LoadLoad 8 8、提交运算提交运算 JobJob 9 9、后处理后处理 VisualizationVisualization 6 6、划分网格划分网格 MeshMesh61 ABAQUS/CAE模型数据库保存在扩

40、展名为模型数据库保存在扩展名为.cae的文件中。的文件中。一个一个ABAQUS/CAE模型数据库中可以包含多模型数据库中可以包含多个互不相干的模型，利用环境栏中的个互不相干的模型，利用环境栏中的Module列表列表可以在不同模型间切换。每个模型中只有一个装配可以在不同模型间切换。每个模型中只有一个装配件（件（Assembly），每一个装配件由一个或多个实），每一个装配件由一个或多个实体（体（Instance）组成。所谓的实体是部件（）组成。所谓的实体是部件（Part）在装配件中的映射，一个部件可以对应多个实体。在装配件中的映射，一个部件可以对应多个实体。材料和截面属性定义在部件上，相互作用材料

41、和截面属性定义在部件上，相互作用/边界条边界条件、载荷等定义在实体上，网格可以定义在部件件、载荷等定义在实体上，网格可以定义在部件上也可以定义在实体上。上也可以定义在实体上。621、部件（、部件（Part）功能模块）功能模块几何部件几何部件 基于基于“特征特征”，使用，使用Part功能模块建立几何部功能模块建立几何部件，也可导入已有的件，也可导入已有的CAD模型。几何部件的优点是模型。几何部件的优点是可以方便地修改模型的几何形状，而且修改网格时可以方便地修改模型的几何形状，而且修改网格时不必重新定义材料、载荷和边界条件。不必重新定义材料、载荷和边界条件。网格部件网格部件 网格部件不包含网格部件

42、不包含“特征特征”。导入。导入ODB文件中的文件中的网格；导入网格；导入INP文件中的网格；将几何部件转化为网文件中的网格；将几何部件转化为网格部件。网格部件的优点是灵活地修改各节点和单格部件。网格部件的优点是灵活地修改各节点和单元的位置，定义集合和面。元的位置，定义集合和面。63混合建模混合建模 在实际的分析计算中，几何部件和网格部件往往在实际的分析计算中，几何部件和网格部件往往共存于模型中。用户可以对几何部件进行操作，也可共存于模型中。用户可以对几何部件进行操作，也可以处理单纯的节点和单元数据，接触、载荷以及边界以处理单纯的节点和单元数据，接触、载荷以及边界条件可以施加在几何部件上，也可以

43、直接施加在节点、条件可以施加在几何部件上，也可以直接施加在节点、边和面上。边和面上。64创建建PartPart特征修改、删除等特征修改、删除等PartPart模块专有模块专有线、面、体分割工具，辅助线、面、体分割工具，辅助网格划分网格划分基准点、线、面及坐标系等基准点、线、面及坐标系等小面修复等，辅助网格划分小面修复等，辅助网格划分备注：如果按钮右下方有小备注：如果按钮右下方有小黑三角，左键按住该按钮不黑三角，左键按住该按钮不放，可展开其他类似功能，放，可展开其他类似功能，向右移动鼠标即可切换功能。向右移动鼠标即可切换功能。如：如：65属性设置属性设置特征修改、删除等特征修改、删除等Prope

44、rtyProperty模块专有模块专有PartitionPartition已已基准点、线、面及坐标系等基准点、线、面及坐标系等定义材料属性定义材料属性创建截面属性创建截面属性分配截面属性分配截面属性66Material模型模型 创建和管理材料。创建和管理材料。ABAQUS定义了多种材料本定义了多种材料本构关系及失效准则模型。构关系及失效准则模型。弹性材料模型：弹性材料模型：线弹性线弹性：弹性模量、泊松比等。：弹性模量、泊松比等。正交各向异性正交各向异性：具有多种典型失效理论，适用于复合：具有多种典型失效理论，适用于复合材料结构分析。材料结构分析。多孔结构弹性多孔结构弹性：用于模拟土壤和可压缩泡

45、沫的弹性行：用于模拟土壤和可压缩泡沫的弹性行为。为。亚弹性亚弹性：可以考虑应变对模量的影响。：可以考虑应变对模量的影响。超弹性超弹性：可以模拟橡胶类材料的大应变影响。：可以模拟橡胶类材料的大应变影响。粘弹性粘弹性：时域和频域的粘弹性材料模型。：时域和频域的粘弹性材料模型。67塑性材料模型：塑性材料模型：金属塑性金属塑性：符合：符合Mises屈服准则的各向同性塑性模型，屈服准则的各向同性塑性模型，以及遵循以及遵循Hill准则的各向异性塑性模型。准则的各向异性塑性模型。铸铁塑性铸铁塑性：拉伸为：拉伸为Rankine屈服准则，压缩为屈服准则，压缩为Mises屈服准则。屈服准则。蠕变蠕变：考虑时间硬化

46、和应变硬化定律的各向同性和各：考虑时间硬化和应变硬化定律的各向同性和各向异性蠕变模型。向异性蠕变模型。扩展的扩展的Druker-Prager模型模型：适用于模拟沙土等粒状：适用于模拟沙土等粒状材料的不相关流动。材料的不相关流动。Capped Druker-Prager模型模型：适用于地址、隧道挖：适用于地址、隧道挖掘等领域。掘等领域。68Cam-Clay模型模型：适用于粘土类土壤材料的模拟。：适用于粘土类土壤材料的模拟。Mohr-Coulomb模型模型：与：与Capped Druker-Prager模模型类似，但可以考虑不光滑小表面的情况。型类似，但可以考虑不光滑小表面的情况。泡沫材料模型泡沫

47、材料模型：可以模拟高度压缩材料，也可应用于：可以模拟高度压缩材料，也可应用于消费品包装及车辆安全装置等领域。消费品包装及车辆安全装置等领域。混泥土材料模型混泥土材料模型：使用混凝土弹塑性破坏理论。：使用混凝土弹塑性破坏理论。渗透性材料模型渗透性材料模型：提供各向同性和各向异性的渗透性：提供各向同性和各向异性的渗透性模型。模型。其他材料模型：密度、热膨胀特性、热导率、其他材料模型：密度、热膨胀特性、热导率、电导率、比热容、压电特性、阻尼以及用户自己定电导率、比热容、压电特性、阻尼以及用户自己定义的材料特性等。义的材料特性等。69网格划分网格划分特征修改、删除等特征修改、删除等MeshMesh模块

48、专有模块专有线、面、体分割工具线、面、体分割工具基准点、线、面及坐标系等基准点、线、面及坐标系等拓扑修改等，辅助网格划分拓扑修改等，辅助网格划分分割，化复为简分割，化复为简拓扑修改，该省就省拓扑修改，该省就省网格控制网格控制网格划分网格划分网格密度网格密度网格质量检查网格质量检查70（1）网格划分技术）网格划分技术结构化网格（结构化网格（Structured）：将一标准的网格模式：将一标准的网格模式应用于一些形状简单的几何区域。采用结构化网格应用于一些形状简单的几何区域。采用结构化网格的区域显示为绿色。的区域显示为绿色。扫掠网格（扫掠网格（Sweep）：对于二维区域，先在边上生：对于二维区域，

49、先在边上生成网格，然后按扫掠路径拉伸得到二维网格。对于成网格，然后按扫掠路径拉伸得到二维网格。对于三维区域，先在面上形成网格，然后按扫掠路径拉三维区域，先在面上形成网格，然后按扫掠路径拉伸得到三维网格。采用扫掠网格的区域显示为黄色。伸得到三维网格。采用扫掠网格的区域显示为黄色。自由网格（自由网格（Free）：最为灵活的网格划分技术，可：最为灵活的网格划分技术，可以用于任何的几何形状。采用自由网格划分的区域以用于任何的几何形状。采用自由网格划分的区域显示为粉红色。显示为粉红色。71 若某区域为橙色，表明无法使用目前赋予的网若某区域为橙色，表明无法使用目前赋予的网格技术来生成网格，这时可以把实体化

50、分为几个区域。格技术来生成网格，这时可以把实体化分为几个区域。（2）划分网格的算法）划分网格的算法 使用四边形单元（使用四边形单元（quad）和六面体单元（）和六面体单元（hex）划分网格时有两种算法：中性轴算法（划分网格时有两种算法：中性轴算法（Medial Axis）和进阶算法（和进阶算法（Advancing Front）。）。中性轴算法（中性轴算法（Medial Axis）：将划分网格的区域分：将划分网格的区域分为一些简单的区域，然后使用结构化网格划分技术对为一些简单的区域，然后使用结构化网格划分技术对简单区域进行划分。简单区域进行划分。进阶算法（进阶算法（Advancing Front

51、）：首先在边界上形：首先在边界上形成四边形网格，然后向区域内部扩展。成四边形网格，然后向区域内部扩展。72建立装配体建立装配体特征修改、删除等特征修改、删除等AssemblyAssembly模块专有模块专有PartitionPartition一一个个模模型型ModelModel只只能能包包含含一一个个装装配配件件AssemblyAssembly，一一个个部部件件PartPart可可以以被被多多次次调调用用来来组组装装成成装装配配件件，定定义义载载荷荷、边边界界条条件件、相相互互作作用用等等操操作作都都在在装装配件的基础上进行。配件的基础上进行。面与面平行；面与面相对；面与面平行；面与面相对；边

52、与边平行、边与边相对、边与边平行、边与边相对、轴重合、点重合、坐标系轴重合、点重合、坐标系平行等。平行等。73定义分析步定义分析步StepStep模块专有模块专有PartitionPartition基准点、线、基准点、线、面及坐标系等面及坐标系等主菜单主菜单Adaptive mesh domain主菜单主菜单General solution controls74定义分析步定义分析步StaticStatic，GeneralGeneral线性或非线性静力学分析线性或非线性静力学分析 几何非线性的特点是结构在载荷作用过程中产几何非线性的特点是结构在载荷作用过程中产生大的位移和转动。如板壳结构的大挠度

53、，此时材生大的位移和转动。如板壳结构的大挠度，此时材料可能仍保持为线弹性状态，但是结构的几何方程料可能仍保持为线弹性状态，但是结构的几何方程必须建立于变形后的状态，以便考虑变形对平衡的必须建立于变形后的状态，以便考虑变形对平衡的影响。影响。Automatic stabilization：局部不稳：局部不稳定问题（局部屈曲、表面祛皱）的定问题（局部屈曲、表面祛皱）的处理，即施加阻尼。处理，即施加阻尼。定义分析步定义分析步 StaticStatic，GeneralGeneral线性或非线性静力学分析线性或非线性静力学分析Type：选择时间增量的控制方法，默认：选择时间增量的控制方法，默认Autom

54、atic即可。即可。Maximum number of increments：增量步的最大：增量步的最大数目。数目。Increment：初始时间增量、最小时间增量和最大：初始时间增量、最小时间增量和最大时间增量。时间增量。定义分析步定义分析步静力学分析静力学分析MethodMethod求解器求解器 DirectDirect适用于大多数分析，适用于大多数分析，IterativeIterative对于大模型分析较快对于大模型分析较快Matrix storageMatrix storage矩阵存储方式矩阵存储方式 选择求解方法选择求解方法Full NewtonFull Newton完全牛顿法完全牛顿

55、法 默认，适用于大多数分析。默认，适用于大多数分析。Quasi-NewtonQuasi-Newton准牛顿法准牛顿法 雅克比矩阵对称且在迭代过程中雅克比矩阵对称且在迭代过程中 变化不大时，能加快收敛。变化不大时，能加快收敛。Contact iterationsContact iterations接触迭代法接触迭代法 对于几何线性、小滑动、无摩擦对于几何线性、小滑动、无摩擦 的静力学问题特别有效。的静力学问题特别有效。定义分析步定义分析步DynamicDynamic，ExplicitExplicit显式动力学分析显式动力学分析Time period：对于动力学问题，此处的时间是指：对于动力学问题

56、，此处的时间是指实际时间。实际时间。定义分析步定义分析步DynamicDynamic，ExplicitExplicit显式动力学分析显式动力学分析Unlimited，默认选项，即不限制时间增量的，默认选项，即不限制时间增量的上限。上限。Global，默认选项。，默认选项。Element-by-elements，趋于保守，得到的，趋于保守，得到的 稳定时间增量总是小于整体估算法。稳定时间增量总是小于整体估算法。定义分析步定义分析步DynamicDynamic，ExplicitExplicit显式动力学分析显式动力学分析定义分析步定义分析步DynamicDynamic，ExplicitExplic

57、it显式动力学分析显式动力学分析线性体积粘度参数，默认值线性体积粘度参数，默认值0.06即可即可二次体积粘度参数，默认值二次体积粘度参数，默认值1.2，仅适用于连，仅适用于连续实体单元和压容积应变率时。续实体单元和压容积应变率时。定义相互作用定义相互作用InteractionInteraction模块专有模块专有特征修改、删除等特征修改、删除等PartitionPartition基准点、线、面及坐标系等基准点、线、面及坐标系等82主菜单主菜单Constrain定义模型各部分的自由度之间的约束关系。包括：定义模型各部分的自由度之间的约束关系。包括：绑定约束（绑定约束（Tie）：模型中的两个面被牢

58、固地粘结在：模型中的两个面被牢固地粘结在一起，在分析过程中不再分开。被绑定的两个面可以一起，在分析过程中不再分开。被绑定的两个面可以有不同的几何形状和网格。有不同的几何形状和网格。刚体约束（刚体约束（Rigid Body）：在模型的某个区域和一：在模型的某个区域和一个参考点之间建立刚性连接，此区域变为刚体，各个参考点之间建立刚性连接，此区域变为刚体，各节点的相对位置保持不变。节点的相对位置保持不变。显示体约束（显示体约束（Display Body）：受到此约束的实体：受到此约束的实体只用于图形显示，而不参加分析过程。只用于图形显示，而不参加分析过程。83耦合约束（耦合约束（Coupling）：

59、）：在模型的某个区域和参考点在模型的某个区域和参考点之间建立约束之间建立约束运动耦合（运动耦合（Kinematic Coupling）：在区域的各节：在区域的各节点和参考点之间建立运动学上的关系。点和参考点之间建立运动学上的关系。分布耦合（分布耦合（Distributing Coupling）：允许面上的：允许面上的各部分之间发生相对变形，比运动耦合中的面更柔各部分之间发生相对变形，比运动耦合中的面更柔软。软。壳体实心体约束（壳体实心体约束（ShelltoSolid Coupling）：在板壳的边和相邻实心体面之间建立约束。在板壳的边和相邻实心体面之间建立约束。84嵌入区域约束（嵌入区域约束（

60、Embedded Region）：模型的一个：模型的一个区域嵌入另一个区域中。区域嵌入另一个区域中。方程约束（方程约束（Equation）：用一个方程定义几个区域：用一个方程定义几个区域自由度的关系。自由度的关系。主菜单主菜单Connector 定义模型中的两点之间或模型与定面之间的连定义模型中的两点之间或模型与定面之间的连接单元，用来模拟固定连接、铰接、恒定速度连接、接单元，用来模拟固定连接、铰接、恒定速度连接、内摩擦、失效条件等。内摩擦、失效条件等。85主菜单主菜单SpecialInertia定义惯量。定义惯量。主菜单主菜单SpecialCrack定义裂纹。定义裂纹。主菜单主菜单Speci

61、alSprings/Dashots定义模型中两点或模型与地面之间的弹簧和阻尼器。定义模型中两点或模型与地面之间的弹簧和阻尼器。定义载荷边界定义载荷边界LoadLoad模块专有模块专有87主菜单主菜单Load定义载荷，主要载荷类型包括：定义载荷，主要载荷类型包括：集中力（集中力（Concentrated Force）：施加在节点或：施加在节点或几何实体顶点的集中力，表示为力在三个方向的分几何实体顶点的集中力，表示为力在三个方向的分力。力。力矩（力矩（Moment）：施加在节点或几何实体顶点的：施加在节点或几何实体顶点的力矩，表示为力矩在三个方向的分量。力矩，表示为力矩在三个方向的分量。压力（压力

62、（Pressure）：单位面积载荷，载荷的方向与：单位面积载荷，载荷的方向与面或边垂直，正值为压力，负值为拉力。面或边垂直，正值为压力，负值为拉力。板壳力（板壳力（Shell Edge Load）：施加在板壳边上的：施加在板壳边上的力和力矩。力和力矩。88表面力（表面力（Surface Traction）：施加在面上的单位：施加在面上的单位面积载荷，可以是剪力或任意方向的力，通过向量面积载荷，可以是剪力或任意方向的力，通过向量描述力的方向。描述力的方向。管压力（管压力（Pipe Pressure）：施加在管内和管外的：施加在管内和管外的压力。压力。体积力（体积力（Body Force）：单位体

63、积上的体力。：单位体积上的体力。线载荷（线载荷（Line Load）：施加在梁上单位长度载荷。：施加在梁上单位长度载荷。惯性力（惯性力（Gravity）：以固定方向施加在整个模型上：以固定方向施加在整个模型上的均匀加速度，的均匀加速度，ABAQUS根据加速度和材料属性中根据加速度和材料属性中的密度计算相应的载荷。的密度计算相应的载荷。紧固力（紧固力（Bolt Load）：施加于螺拴和紧固件中的紧：施加于螺拴和紧固件中的紧固力。固力。89广义平面应变载荷（广义平面应变载荷（Generalized Plane Strain）：施加于广义平面应变单元所构成区域的参考点上。施加于广义平面应变单元所构成

64、区域的参考点上。旋转产生的体力（旋转产生的体力（Rotational Body Force）：由：由于模型旋转产生的体力，需要指定角速度、角加速于模型旋转产生的体力，需要指定角速度、角加速度和旋转轴。度和旋转轴。连接单元力（连接单元力（Connector Force）：施加于连接：施加于连接单元上的力。单元上的力。连接单元力矩（连接单元力矩（Connector Moment）：施加于：施加于连接单元上的力矩。连接单元上的力矩。温度和电场变量温度和电场变量。90 载荷、边界条件和分析步有关，用户必须指定载荷、边界条件和分析步有关，用户必须指定载荷和边界条件在哪些分析步中起作用。载荷和边界条件在哪

65、些分析步中起作用。主菜单主菜单BC 定义边界条件：对称、反对称、固支；位移、定义边界条件：对称、反对称、固支；位移、转角；速度、加速度；角速度、角加速度；连接转角；速度、加速度；角速度、角加速度；连接单元的位移、速度和加速度；温度、声音压力等。单元的位移、速度和加速度；温度、声音压力等。主菜单主菜单Field定义场变量，如速度场和温度场变量等。定义场变量，如速度场和温度场变量等。主菜单主菜单Load Case 定义载荷状况。载荷状况由一系列的载荷和边定义载荷状况。载荷状况由一系列的载荷和边界条件组成。用于静力摄动分析和稳态动力分析。界条件组成。用于静力摄动分析和稳态动力分析。创建运算任务创建运

66、算任务MemoryMemory用于指定分配到分用于指定分配到分析中的内存，视硬件资源析中的内存，视硬件资源而定。而定。Abaqus/Standard memory Abaqus/Standard memory policypolicy当分配的内存大于实际当分配的内存大于实际分析所需的内存，多余内存的分析所需的内存，多余内存的使用设置。使用设置。MinimumMinimum：闲置：闲置ModerateModerate：该选项通常能自动提供合理的内：该选项通常能自动提供合理的内存使用，建议采用此默认设置存使用，建议采用此默认设置MaximumMaximum：将多余内存都用于存储临时文件：将多余内存都用于存储临时文件后处理后处理动画动画模型显示模型显示坐标系坐标系图表相关图表相关剖面相关剖面相关控制选项控制选项进入后处理模块的方法进入后处理模块的方法93算例：算例：一个承受拉力的平板，在其中心位置有一圆孔，一个承受拉力的平板，在其中心位置有一圆孔，材料的弹性模量为材料的弹性模量为210GPa，泊松比为，泊松比为0.3，平板厚度，平板厚度为为1mm，拉伸载荷为，拉伸载荷为100MPa。试分析圆