（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 专题十一 概率与统计 2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差试题 理-人教版高三数学试题

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1、离散型随机变量及其分布列、均值与方差探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.离散型随机变量的分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题2019课标,13,5分离散型随机变量的均值计算利用频率估计概率2019课标,21,12分求离散型随机变量的分布列数列2018课标,20,12分利用期望进行决策二项分布的均值、导数2017课标,18,12分离

2、散型随机变量的分布列、期望利用频率估计概率2.离散型随机变量的均值与方差2016课标,19,12分求离散型随机变量的分布列,利用期望进行决策利用相互独立事件的概率公式求概率分析解读本节内容常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,解题时要熟悉相关公式的应用.考查学生的数据分析能力和数学运算能力.多以解答题的形式呈现,分值约为12分.破考点 练考向【考点集训】考点一离散型随机变量的分布列(2019广东汕头一模,5)已知离散型随机变量X的分布列为X0123P82749m127则X的数学期望E(X)=()A.23B.1C.32D.2答案B考点二离散型随机变量的均值与方差1.(201

3、8浙江重点中学模拟,8)已知随机变量满足P(=0)=13,P(=1)=x,P(=2)=23-x,若0x23,则()A.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而增大B.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而增大C.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而减小D.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而减小答案C2.(2018河南南阳一中第七次考试,14)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则E()=.答案72炼技法 提能力【方法集训】方法1离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙

4、三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3

5、22,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),

6、故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A发生的概率为67.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.方法2利用期望与方差进行决策的方法(2020届四川成都双流中学10月月考,19)甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销5天.两品牌提供的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利5元,超出1

7、0件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:甲乙667069201322(1)现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率;(2)若将频率视作概率,回答以下问题:记甲品牌的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场做出选择,并说明理由.解析本题考查古典概型概率的计算,随机变量的分布列和数学期望的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.(1)解法一:设事件A为“从乙品牌试销的

8、5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则P(A)=C21C32+C22C31C53=910.解法二:设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P(A)=1-P(A)=1-C33C53=1-110=910.(2)设甲品牌的日销售量为随机变量,则甲品牌的日返利额X(单位:元)与的关系为X=5,010,50+7(-10),11,当=6时,X=30;当=7时,X=35;当=10时,X=50;当=12时,X=64.故X的分布列为X30355064P25151515所

9、以E(X)=3025+3515+5015+6415=41.8(元).解法一:设乙品牌的日销售量为随机变量,乙品牌的日返利额Y(单位:元)与的关系为Y=20+3,且的分布列为691213P15152515所以E()=615+915+1225+1315=10.4,则E(Y)=E(3+20)=3E()+20=310.4+20=51.2.因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.解法二:乙品牌的日返利额Y(单位:元)的取值集合为38,47,56,59,分布列为Y38475659P15152515则E(Y)=3815+4715+5625+

10、5915=51.2.因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一离散型随机变量的分布列1.(2019课标,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施

11、以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.(i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;(ii)求p4

12、,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-

13、pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=48-13p1.由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=12570.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明

14、这种试验方案合理.试题分析本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.2.(2017课标,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定

15、六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0

16、.4,P(X=500)=25+7+490=0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于

17、20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.名师点拨求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:“题目的理解关”.要抓住题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机变量的所有可能取值.“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.“概率的运算关”.运用公式P(A)=mn,P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(

18、B),P(=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)时,要注意准确无误.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2019课标,13,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案0.982.(2018课标,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验

19、.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量的分布列(2019北京,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000(1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随

20、机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.解析本题主要考查用样本分布估计总体分布,离散型随机变量的分布列与期望,以实际生活为背景考查学生解决实际问题的能力,渗透了数据分析的核心素养,体现了应用与创新意识.(1)由题意知,样本中仅使

21、用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2

22、)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CDCD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4(1-0.6)+(1-0.4)0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=00.24+10.52+20.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=14060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小

23、,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.思路分析(1)由频率=频数样本容量即可求解相应频率,进而用频率估计概率.(2)仅使用A,且支付金额大于1000元的概率P=9+330=0.4,仅使用B,且支付金额大于1000元的概率P=14+125=0.6,进而求分布列和期望.(3)开放性题目,从事件发生的概率说明理由即可.本题以移动支付的出现及普及为背景来设计问题,样本数据来源于学生熟悉

24、的情景,不仅使学生体会到数学应用的广泛性,同时也体现了人们生活方式的巨大变化.第(3)问结合古典概型考查概率的意义,体会统计中的决策思想.考点二离散型随机变量的均值与方差(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这1

25、00名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)

26、在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.方法总结在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.C组教师专用题组考点一离散型随机变量的分布列1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An=(0,0),(1,0),(2,0),(n,0),Bn=(0,1),(n,1),Cn=(0,2),(1,2),(2,2),(n,2),nN*.令Mn=AnBnCn.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)

27、当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n3),求概率P(Xn)(用n表示).解析本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.(1)当n=1时,X的所有可能取值是1,2,2,5.X的概率分布为P(X=1)=7C62=715,P(X=2)=4C62=415,P(X=2)=2C62=215,P(X=5)=2C62=215.(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点.因为P(Xn)=1-P(Xn),所以仅需考虑Xn的情况.若b=d,则ABn,不存在Xn的取法;若b=0,d=1,则AB=(a-c)2+1n2+1,

28、所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=0,d=2,则AB=(a-c)2+4n2+4.因为当n3时,(n-1)2+4n,所以Xn当且仅当AB=n2+4,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=1,d=2,则AB=(a-c)2+1n2+1,所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法.综上,当Xn时,X的所有可能取值是n2+1和n2+4,且P(X=n2+1)=4C2n+42,P(X=n2+4)=2C2n+42.因此,P(Xn)=1-P(X=n2+1)-P(X=n2+4)=1-6C2n+42.2.(201

29、7山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者

30、中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:理解X

31、的含义,写出X所有可能的取值.求X取每个值时的概率;写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.3.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.解析

32、(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35,P(X=3)=C33C31C64=15.所以X的分布列为X123P153515因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=115+235+315=2.4.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个

33、粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P715715115故E(X)=0715+1715+2115=35(个).5.(2013课标,19,12分)经销商经

34、销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X=105,且X=105的

35、概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X130,150时,T=500130=65000.所以T=800X-39000,100X130,65000,130X150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=450000.1+530000.2

36、+610000.3+650000.4=59400.思路分析(1)经分段讨论(分X100,130)和X130,150)得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45000,53000,61000,65000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是012P1-p212p2则当p在(0,1)内增大时,()A.D()减小B.D()增大C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小答案D2.(2017浙江,8,5分)已知随机变量i满足P(i=1)=

37、pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案A3.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n).123m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)n

38、(m+n)(n-1).解析(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=Cm+n-1n-1Cm+nn=nm+n.(2)随机变量X的概率分布为:X1n1n+11n+21k1m+nPCn-1n-1Cm+nnCnn-1Cm+nnCn+1n-1Cm+nnCk-1n-1Cm+nnCn+m-1n-1Cm+nn随机变量X的期望为:E(X)=k=nm+n1kCk-1n-1Cm+nn=1Cm+nnk=nm+n1k(k-1)!(n-1)!(k-n)!.所以E(X)1Cm+nnk=nm+n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)Cm+nnk=nm+n(k-2)!(n-2)!(k-n)!=1(n-1)Cm+nn

39、(1+Cn-1n-2+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cn-1n-1+Cn-1n-2+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cnn-1+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cm+n-2n-1+Cm+n-2n-2)=Cm+n-1n-1(n-1)Cm+nn=n(m+n)(n-1),即E(X)n(m+n)(n-1).4.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛

40、.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635.所以事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)=1114+237+337+4114=52.本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础

41、知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.5.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=564534=12.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2

42、,3.P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56451=23,所以X的分布列为X123P161623所以E(X)=116+216+323=52.6.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测

43、出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=610.故X的分布列为X200300400P110310610EX=200110+300310+400610=350.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020届宁夏六盘山期中,3)下列表格可以作为的分布列的是()A.013Pa1-a12B.123P12-121C.45P01D.-112P122a

44、a2+2答案C2.(2019辽宁葫芦岛期末,6)已知X是离散型随机变量P(X=1)=14,P(X=a)=34,E(X)=74,则D(2X-1)=()A.14B.34C.15D.35答案B3.(2020届山西大学附属中学10月月考,9)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0p1.75,则p的取值范围为()A.0,12B.0,712C.12,1D.712,1答案A4.(2018安徽合肥第一中学冲刺高考最后1卷,8)某班级有男生32人,女生20人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当

45、选的人数记为,则的数学期望为()A.1613B.2013C.3213D.4013答案C5.(2020届全国高三月考,8)已知甲盒中有2个红球,1个蓝球,乙盒中有1个红球,2个蓝球,从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中,现从甲盒中取1个球,记红球的个数为1,从乙盒中取1个球,记红球的个数为2,从丙盒中取1个球,记红球的个数为3,则下列说法正确的是()A.E(1)E(3)E(2),D(1)=D(2)D(3)B.E(1)E(3)D(3)C.E(1)E(3)E(2),D(1)=D(2)D(3)D.E(1)E(3)E(2),D(1)=D(2)D(3)答案C二、解答题(共35分)6.(2020届云

46、南昆明民族中学高三10月适应性月考,18)昆明市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300),该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如图,把该直方图所得频率估计为概率.空气质量指数(0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染(1)请估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);(2)用分层抽样的方法共抽取10天,则空

47、气质量指数在(0,50,(50,100,(100,150的天数中各应抽取几天?(3)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气,空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元,空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元.若在(2)的条件下,从空气质量指数在(0,150的天数中任意抽取两天,求这两天的净化空气总费用X的分布列.解析(1)由题意,根据直方图可估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)365=0.3365=109.5110(天).(2)由频率分布直方图,可得空气质量指数在(0,50的概率为500.002=0.1,所以10天中应抽取的天数为1

48、00.1=1天,空气质量指数在(50,100的概率为500.004=0.2,所以10天中应抽取的天数为100.2=2天,空气质量指数在(100,150的概率为500.006=0.3,所以10天中应抽取的天数为100.3=3天,所以空气质量指数在(0,50,(50,100,(100,150的天数中各应抽取1,2,3天.(3)由题意知X的取值为2000,4000,6000,8000.P(X=2000)=C21C62=215,P(X=4000)=C22+C31C62=415,P(X=6000)=C21C31C62=25,P(X=8000)=C32C62=15,所以X的分布列为X20004000600

49、08000P21541525157.(2020届河南百校联盟9月联合检测,22)随着甜品的不断创新,现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人,有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢,创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某网红甜品店生产几种甜品,由于口味独特,受到越来越多人的喜爱,好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”,已知该甜品店同一种甜品售价相同,该店为了了解每个种类的甜品销售情况,专门收集了该店这个月里五种网红甜品的销售情况,统计后得如下表格:甜品种类A甜品B甜品C甜品D甜品E甜品销售总额(万元)105202012销售量(千份)521058利润率0.40.20.150.250

50、.2(利润率是指:一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.)(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份,求这份甜品的利润率高于0.2的概率;(2)从该甜品店的五种网红甜品中随机选取2种不同的甜品,求这两种甜品的单价相同的概率;(3)假设每类甜品利润率不变,销售一份A甜品获利x1元,销售一份B甜品获利x2元,销售一份E甜品获利x5元,依据上表统计数据,随机销售一份甜品获利的期望为E(x),设x=x1+x2+x3+x4+x55,试判断E(x)与x的大小.解析(1)由题意知,本月共卖出3万份甜品,利润率高于0.2的是A甜品和D甜品,共有1万份.设“这份甜品的利润率高于0.2”为

51、事件A,则P(A)=13.(3分)(2)由“销售总额除以销售量得到甜品的销售单价”可知A甜品与C甜品的销售单价均为20元,从五种网红甜品中随机选取2种不同的甜品共有C52种不同方法,设“两种甜品的单价相同”为事件B,设P(B)=C22C52=110.(6分)(3)由题意可得,x可能取的值为8,5,3,10.(7分)P(x=8)=530=16,P(x=5)=230=115,P(x=3)=10+830=35,P(x=10)=530=16,因此E(x)=168+1155+353+1610=7715.(10分)又x=8+5+3+10+35=295,所以E(x)x.(12分)8.(2019山西朔州二模,

52、19)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个80元,二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个200元,二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯

53、个数制成的柱状图,表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率;(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求X的分布列及数学期望;(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28,且n5,6,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望

54、为决策依据,试确定m,n的值.解析(1)由题意可知,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯,二级过滤器需要更换6个滤芯.设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4,一个二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4,所以P(A)=0.40.40.4=0.064.(3分)(2)由柱状图可知,在使用期内一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.由题意知,X可能的取值为20,21,22,23,24,P(X=20)

55、=0.20.2=0.04,P(X=21)=0.20.42=0.16,P(X=22)=0.40.4+0.20.42=0.32,P(X=23)=0.40.42=0.32,P(X=24)=0.40.4=0.16.(5分)所以X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16EX=200.04+210.16+220.32+230.32+240.16=22.4.(7分)(3)若m=22,n=6,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1元,则Y1176019602160P0.520.320.16EY1=17600.52+19600.32+21600.16=1888.设该

56、客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2元,则Y2=6160=960,EY2=1960=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为EY1+EY2=1888+960=2848元.(9分)若m=23,n=5,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1元,则Z118402040P0.840.16EZ1=18400.84+20400.16=1872.(10分)设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2元,则Z28001200P0.60.4EZ2=8000.6+12000.4=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为EZ1+EZ2=1872

57、+960=2832元.因为28322848,故m,n的值分别为23,5.(12分)思路分析(1)一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需要更换12个滤芯,二级过滤器需要更换6个滤芯,设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A,由一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4,一个二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4,求出一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率.(2)一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意知X的可能取值为20,21,22,23,24,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX.(3)m+n=28,n5,6,当m=22,n=6时,求出该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望,当m=23,n=5时,求出该用户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望,比较后求出m,n的值.