桥梁结构分析的有限元法结构承载力

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1、桥梁结构理论 桥梁结构理论 Bridge structure principle 第 1篇桥梁结构分析的有限元法 finite element method of analysis of bridge structure 桥梁结构有限元法的分析过程 Analysis procedure of finite element of bridge structure 桁架桥结构分析 Analysis of truss bridge structure 梁式桥结构分析 Analysis of beam bridge structure 刚架桥结构分析 Analysis of rigid bridge

2、structure 薄壁箱梁桥结构分析 Analysis of thin walled box girder bridge structure 复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 Combining virtual laminated elements for analysis of complex co-section bridge structure 小结 Summarize 本章参考文献 Reference i j xM xM xQ xQ N N 1850年矩阵符号问世 matrix sign function appeared in 1850， 1956年 Turner 等人将刚架

3、位移法 frame method was spread and exploitated to推广应用到弹性力学的平面问题 elastic plane problem by Turner in 1956， 并在分析飞机结构获得成功 and succeed in the analysis of aircraft structure. 现代有限元法在各个领域都得到广泛应用 :modern finite element method is widely used in many fields. 1.由 弹性力学平面问题 from elastic plane problem extends to扩展到

4、空间问题和板壳问题 spatial structure problem and plate and shell problem ： 拱坝 arch dam、 涡轮叶片 turbine blade 、 飞机 airplane 、 船体 ship及大型桥梁 long span bridge 2.由 平衡问题 扩展到 稳定问题与动力问题 from equilibrium problems extends to stability problems and dynamic problems ：结构地震 structural seismic 、 抗风与波浪力 wind resistance and wa

5、ve force 、 动力反应 dynamic response 3.由 弹性问题 扩展到 弹塑性与粘弹性问题 from elastic problem extends to elastic-plastic problem and viscoelasticity problem 、 土力学 soil mechanics与岩石力学问题 and rock mechanics problem， 疲 劳与脆性断裂问题 Fatigue and brittle fracture problem 4.由 结构计算问题 扩展到 结构优化设计问题 from calculation problem extends

6、 to Optimal Structure Designing 5.由 固体力学 扩展到 流体力学 、 渗流与固结理论 、 热传导与热应力问题 （ 焊接残余应力 、 原子 反应堆结构的热应力 ） 、 磁场问题 （ 感应电动机的磁场分析 ） 以及建筑声学与噪音问题 from solid mechanics extends to fluid mechanics , vadose and consolidation theory, heat conduction and thermal stress, Welding Residual Stress, thermal stress of atomic

7、 reactor structure, magnetic field problem(analysis of magnetic field of induction Motor), architectural acoustics and noise program 6.由 工程力学 扩展到 力学的其它领域 （ 冰川与地质力学 、 血管与眼球力学等 ） from engineering mechanics extends to other fields of mechanics (glacier and geomechanics, blood vessel and eyes mechanics,

8、 etc) With the improvement of 传统 traditional 的杆单元 bar element、 板单元 plate element 、 块单元 block element、 壳单元 shell element不断完善 ， 索单元 cable elemnet、 虚拟层合单元 combining virtual laminated element, etc 等使得复杂结构 分析得以简化 .make the complex structure to be simple. 本章 -简述有限元法的基本思路 outline basic idea of finite eleme

9、nt 汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵 Summarizing rigid matrix most in use in analysis of bridge structure 介绍一种通用三维单元构造方法 introduction of a general 3D element construction method 虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用 application of combining virtual laminated element in analysis of bridge structure 桥梁结构有限元法的分析过程 Analysis process of b

10、ridge structure finite element method 结构有限元法的分析过程六个步骤 six steps of analysis process of structure finite element method： （ 1） 结构的离散化 A discretization method for structure 将要分析的 桥梁 结构物分割成 有限个单元体 ， 并在 单元体的指定点设置结点 ， 使相邻单元的有关参数具有 一定的连续性 ， 并构成一个单元的集合体 ， 以它代替原 来的结构 。 （ 2） 选择位移模式 choosing displacement model

11、 假定 suppose 位移是坐标的某种函数 ， 称为位移模式 或插值函数 interpolating function。 根据所选定的位移 模式 ， 就可以导出 derive用结点位移表示单元内任一点 位移的关系式： 贺 :例如分析 对象 analysis object是 桁架 桥 时，可以取 每根 杆件 member作为 一个单元 ，因 为桁架桥本来 就是由杆件组 成 is composed of 的。但如 果分析的对象 是连续体 contimuums， 如 板桥， 那末 为了有效地逼 近 approximate effectively实 际的连续体， 就需要考虑选 择 单元的形状 和分割

12、方案 subdivision scheme以及 确定单元和结 点的数目等问 题 。 贺 :选择适当的 位移函数是有限 单元法分析中的 关键。通常 选择 多项式 polynomial作 为位移模式。其 原因是因为多项 式的 数学运算 operation（微 分 differential和 积分 integral） 比较方便 ，并且 由于所有光滑函 数 partial of smooth function的局部， 都可以用多项式 逼近。 至于多项 式的项数和阶次 order的选择， 则要考虑到单元 的自由度 degree freedom和解的 收敛性 astringency要 求 。一般来说， 多

13、项式的 项数 terms应等于单 元的自由度数 ， 它的阶次 order 应包含常数项 constant term 和线性项等。这 里所谓单元的 自 由度是指单元结 点独立位移 independent displacement 的个数 。 eNf （ 3） 分析单元的力学特性 analysis of mechanical characteristic 利用几何方程 geometric equation ， 由位移表达式导出用结点位移表示单元 应变 eB 利用本构方程 constitutive equation ，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力 eBD 利用变分原理 variation

14、al principle ， 建立单元的平衡方程 equilibrium equation eee KF 00 zyxBDBK Te ddd 0 单元坐标系 element coordination与结构坐标系 structure coordination不一致时 ， 需用坐标转换 coordination conversion 0 TKTK eTe 单元刚度矩阵是 单元特性分析 的 核心内容 element rigid matrix is the core concept of analysis of element characteristics. （ 4） 建立整个结构的平衡方程 equ

15、ilibrium equation 两个方面： 一是将各个单元的刚度矩阵 ， 集合 are integrated成整个物体的整体刚度矩阵 the whole rigidity coefficient matrix； 二是将作用于各单元的等效结点力列阵 equivalent nodal force vector， 集合 成总的荷载列阵 overall load vector。 常用方法 the most often used method-直接刚度法 集合所依据的理由 reason是要求所有的相邻的 adjacent单元在公共结点处的位 移相等 。 整个结构的平衡方程 FK （ 5） 求解未知结

16、点 node位移 考虑几何边界条件 geometrical boundary condition将方程作适 当修改 revise之后 ， 根据方程组 equations的特点 ， 选择合适的计 算方法 ， 可解出未知位移 。 （ 6） 计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移 ， 计 算各单元应力 ， 加以整理得出所要求的结果 。 桁架桥结构一般均为 空间结构 ， 可按 空间杆单元 进行分析 ， 每个桁 架杆即为一个单元 。 取结构坐标系 （ ） ， 单元坐标系 （ ） zyx , 000 , zyx Tjjjiiie wvuwvu , Tzjyjxjziyixie FFFFFFF ,

17、 ee ee e kk kk K 00 00 0 000 000 001 0 l EA k e 0 0 t t T xxzyxzy xxxy zyx llaalaa lala aaa t / / 0 / / 桁架桥结构分析 单元坐标系下单元刚度矩阵 lxxa ijx /)( lzza ijz /)( 22 yxx aal lyya ijy /)( 222 )()()( ijijij zzyyxxl 经运算 ， 在结构 坐标系单元刚度 矩阵为 ee ee e kk kk K 2 2 2 zzyzx yyx x e aaaaa aaa a l EA k 对称 桁架桥及 其单元 在 初步设计 时 ，

18、 可将 空间问题简化 reduced为平面问题 plane problem， 用 平面桁架 来 计算 ， 如图所示 。 结点位移列阵 结点力列阵 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式 expression同前 ， 但 Tjjiie wuwu , Tzjxjzixie FFFFF , 00 01 0 l EAk e 结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前 ， 但 2 2 scs csc l EAk e s i n,c o s sc 22 )()( ijij zzxxl 平面桁架及其单元 多梁式 简支 multi- girder simple- supported structure 、 连续及悬臂梁桥，可

19、 取 板梁组合 component 单元 ，也可取 抗扭 torsion梁单元 。如图 所示，此种梁单元的 结点位移列阵为 结点力列阵为 Tyjxjjyixiie ww , Tyjxjzjyixizie MMFMMFF , 梁式桥及其单元 梁 式 桥 结 构 分 析 lEIlEIlEIlEI lGJl- G J lEIlEIlEI lEIlEI lGJ lEI K yyyy yy yy y e / / / / / / 4 0 6 2 0 6 0 0 0 12 6 0 12 4 0 6 0 12 22 223 2 3 0 对称 0 0 t t T cs sct 0 0 001 单元刚度矩阵 el

20、ement rigid matrix 梁及其单元 单梁式梁桥 ， 单元坐标系和结构坐标系一致 （ 下图 ） ， 去掉扭转 位移 ， 单元结点位移向量可写为 Tjjiie ww , 结点力列阵 T yjzjyizie MFMFF , 2 3 1 /3 6/ 3 /6 2 /3 s y m m e t r y /6 2 22 2 0 /ll l/ll l l l EI KK yee 虑剪切变形影响时 considering shear deformation effects，梁单元 刚度矩阵 1 4 1 6 1 2 1 6 1 12 1 6 1 12 1 4 1 6 1 12 22 2 z z z

21、z z z zzz z z z z e ll lll l l l EI K )()( )()()( )( )( 对称 剪切影响系数 shear influence coefficient 212 lGAEI zyz / 杆截面沿 轴 axis方向的有效抗剪面积 shear area 材料抗剪模量 modulus zA z G 分析 悬臂梁桥 时，会遇到 一端铰接 hinged connection另一端刚接的梁单元 ， 单元结点位移列阵 Tjiie ww , Tzjyizie FMFF , 1 3 212 1 2 0 lll l l l EI KK yee 对称 铰接 hinged悬臂梁 铰

22、接 悬 臂 梁 单 元 单元刚度矩阵 结点力列阵 刚架桥结构分析 空间梁单元是分析刚架桥的常用单元 ， 如图所示 ， 单元两端各 有 6个自由度 结点位移列阵 Tjzjyjxjjjiziyixiiie wvuwvu , 空 间 梁 单 元 结点力列阵 Tzjyjxjzjyjxjziyixiziyixie MMMFFFMMMFFFF , 单元刚度矩阵 element stiffness matrix 2 /4 0 0 0 0 2 /6- 0 /2 0 0 0 2 /6 0 /4 0 2 /6 - 0 0 0 0 /2 0 2 /6 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 / 12 0 0

23、 0 2 /6- 0 3 /12 - 0 0 3 /12 0 2 /6 - 0 0 0 3 /12 - 0 0 0 0 0 0 /4 0 0 0 2 /6 - 0 /4 0 2 /6- 0 0 0 0 0 3 /12 0 0 3 /12 0 0 / / l z EIl z EIl y EIl y EI l y EIl z EIl y EIl y EI G J / l- G J / l l y EIl z EIl y EI l z EIl z EIl z EI A E / l l z EIl z EI l y EIl y EI G J / l l y EI l z EI e K lAE lAE

24、symmetry 考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵 stiffness matrix considering shear deformation effects 1 4 0 0 0 1 2 6 - 0 1 2 0 0 0 1 2 6 0 1 4 0 1 2 6 0 0 0 1 2 0 1 2 6 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 12 0 0 0 1 2 6 - 0 1 3 12 - 0 0 1 3 12 - 0 1 2 6 - 0 0 0 1 3 12 - 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 1 2 6 - 0 1 4 0 1 2 6 - 0 0 0 0 0 1 3

25、12 0 0 1 3 12 0 0 )( )( )()( )( )( )( )( )()( )( )( )()()( )()()( )( )( )( )( )( )( )( )( y l z EI y y l z EI y l z EI y y l z EI z l y EI z z l y EI z l y EI z z l y EI l GJ l GJ z l y EI z l y EI z l y EI y l z EI y l z EI y l z EI l EA l EA y l z EI y y l z EI y l y EI z z l y EI l GJ z l y EI y

26、l z EI l EI e k symmetry 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t t t t T 22 /12,/12 lGAEIlGAEI zyzyzy 对 、 轴方向的剪切影响系数 、 杆截面沿 、 轴方向的有效 effective 抗剪面积 0y 0zy A zA 0y 0z zyx zyx zyx ccc bbb aaa t 1 1 1 sgagagaagb sgagagaagb sgagagaagb zzyyxxzzz zzyyxxyyy zzyyxxxxx /)( /)( /)( 1 1 1 sgagac sgagac sgagac xyyxz zxxzy yz

27、zyx /)( /)( /)( 2221 )()()( xyyxzxxzyzzy gagagagagagas kikx lxxg /)( kiky lyyg /)( kikz lzzg /)( 222 )()()( ikikikk zzyyxxl 单梁式 single-girder刚架桥 rigid-framed bridge可按 平面刚架 进行 分析 ， 如图所示 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEI lEAlEA lEIlEI lEI lEA K yyyy yyy yy y e / / / / / / 6 6 0 2 6- 0 12 0 6- 12 0 0 0 4- 6- 0 12

28、 0 22 323 2 3 0 对称 0 0 t t T 0 0 0 0 0 cs sc t 刚 架 桥 及 其 单 元 在结构坐标系 structure coordination中 ， 单元刚度矩阵 element stiffness matrix erebe KKK 2 3 s 3 - 1 3 - s 3 6 6 - 3 6 s 6 6 3 - s 6 6 2 3 - s 3 6 6 6 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 c ll c ll c l cs l c l c l c l s l s l c l s l c ll c l cs l s l l EI k e

29、 b 对称 0 0 00 0 0 0 0 - s 0 s 0 0 0 22 22 2 2 scssc ccc scs c l EA K e r 对称 采用同样方法，亦可考虑剪切变形的影响。 薄壁箱梁桥结构分析 thin walled box girder bridge 在初等梁理论 general beam theory中，计入翘曲变形 warping deformation 、剪力滞及畸变影响 shear lag effect后，发展起来的薄壁梁解析理论 analytical theory能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性 inherent deformation characteris

30、tic。本节以单箱室对称截面 symmetrical section箱形 梁为对象 object，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程 solving equations。 薄壁箱梁断面 及分析采用的坐 标系 （ 1）位移模型及平衡方程 节点位移列阵 T DjDjjxjzjsjjyjsjjG e j T DiDiixizisiiyisiGi e i fwvu fwvu , , eieie 截面形心位置 section centroid； 截面剪切中心位置； 截面畸变中心位置 distortion center； 形心位置 沿 方向 （ 梁轴方向 ） 位移； 剪切中心位置 在 方向 （ 横向

31、lateral） 位移； 剪切中心位置 在 方向 （ 竖向 vertical） 位移； 分别为断面绕三坐标轴的角位移 angle displacement； 扭转 tortion翘曲位移； 畸度角； ， 畸变翘曲位移 distortion warping deflection； 上翼板 upper slab最大相对剪切转角位移差 。 G S D Gu G x su S y sw S z zyx , f D D xrDdd 翘曲和剪滞位移只在轴向产生，薄壁箱梁的断面位移模型 Dwxss Dvxs DDyzG Dzzwzyw Dyvzyv wrwwfzyuzyu )(),( ),( ),( xwx

32、u szsy /,/ 单元平衡方程 Element equilibrium equation eee FK 1201202020 , yyjzjjDiDiIixiziyiiyiziie MMFNBMBMMFMMFNF TDjDjIjxjzjyj BMBMMF , ),( 161211621 jiK ij 由弯曲变形分析给出 ),( 181787jiK ij 由扭转变形分析给出 ),( 2019109jiK ij 由畸变分析给出 直线梁的弯 、 扭变形 bending and torsion behavior互不耦联 hybrid， 可分别讨论 discuss separately （ 2） 弯

33、曲变形刚度 2 1 1 b b b y zW i n i i 弯曲变形 Flexural deformation 刚度方程 ee F KKKK KKKK KKKK KKKK 16,1611,166,161,16 16,1111,116,111,11 16,611,66,61,6 16,111,16,11,1 单元刚度系数 ),( 141141jiK ij lx szGm lx zsym lx zsym lx Gm vIEuSEIEK IEvIEK IEvIEK SEuAEK 11114 1113 1112 1111 , , , , lx szGm lx zsym lx zsym lx Gm v

34、IEuSEIEK IEvIEK IEvIEK SEuAEK 11114 1113 1112 1111 , , , , 1411,41m 1211 2 10 1 765 9865 765 6 AxAxA IE GK Ae kI I Ae kI I Axv AxAe A S Ae A S Axu AeAeAx z kx y zkx y z s kxkx G kxkx )( )( )( yj z kl y zkl y z sj z kl y zkl y z Gj klkl j klkl yi y z y z si y z y z Gi i AlAAl IE GK Ae I I Ae I I vAlA

35、AlAl IE GK Ae kI I Ae kI I uAlAAe A S Ae A S AAeAe AA I I A I I vAA kI I A kI I uAA A S A A S AAA 11107 2 1 65 121110 2 7 3 1 65 9865 765 1165 1265 965 765 2 2 6 y z I I A S IEGKk 22 1/ )/( 211 1 EE A A dAKdAS 2 , A Az dAIdAzI 2 , i i n i n i b b b ynz 2 1 1 翼板局部坐标 ， 其原点除悬臂板取在悬臂端 cantilever end外 ， 其

36、余均取板中点 ， 且方向与 轴一致 翼板修正系数 correction factor，可根据试验 test或解析 analysis取 得 iy i y 除平面 内的力素外， 在平面 各力素如下 xoy xoz szG szz zsyy G zsyz szy vIEuSEIEM wIEM IEvIEM SEuAEN IEvIEF wIEF 111 1 11 11 11 1 （ 3） 扭转变形刚度 扭转变形刚度方程 Ij xj Ii xi j xj i xi B M B M f f KKKK KKKK KKKK KKKK 18,1817,188,187,18 18,1717,178,177,17

37、18,817,88,87,8 18,717,78,77,7 刚度系数 为 ijK )( )( )( )( )( )( )( , , , , , , klklGI klklklk K h k lklklGI klklklk KK klGI klklkl K k K KK klkGI klklkl KKK d d d d sh shch12 1 sch shch12 1 ch1 shch12 1 sh shch12 1 188 181888 1817 1817 18787 17717777 （ 4）畸变刚度 Dj Dj Di Di Dj Dj Di Di B M B M KKKK KKKK KKK

38、K KKKK 20,2019,2010,209,20 20,1919,1910,199,19 20,1019,1010,109,10 20,919,910,99,9 co ss i n, lllpIEKK D chsh4 3 1 191999 llpIEKK D 22 2 1 2019109 ch 2 co s , co ss i n, lllpIEK D shch4 3 1 199 llpIEKK D s i n, sh4 2 1 1910209 lllpIEKK D c o ss i n, chsh2 120201010 lllpIEK D c o ss i n, shch2 12010

39、422 4sh DR IIllp /,s i n 复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 上世纪 90年代初，浙江大学徐兴教授从 8-20节点三维实体等 参元出发，直接引进基本假定，构造了一系列退化的单元，形 成了退化单元系列： 中厚板单元 Kirchhoff板单元 膜单元 空间梁单元 平面梁单元等 它们均是 协调单元 ，单元自由度数与已有相应的单元相同。 其突出的优点是： 单元列式简单划一， 各类退化单元间及实 体单元连结十分方便 后来发展了 虚拟层合单元 对于 层合结构（钢与 concrete） 复杂的箱形、 T形结构 的总体分析十分简单有效，计算精度能够满足工程需要。大大 提高了复杂组合

40、结构的静、动力和非线性分析的计算效率。 1） 经典 classical的三维实体 three-dimensional entity等参元 isoparameter element 一般的实际 practical问题都是 空间 space问题 ，解决问题的方 法就是建立 用三维坐标描述 described的空间模型 进行求解。描 述空间问题最简单的单元是四面体 tetrahedroid，但是一个空间 区域分割 divided一些四面体小区域非常困难，甚至有些使人难 以想象，如果 用六面体 hexahedron来分割空间区域 就能清楚地 区分各个六面体之间的相互关系，因此用六面体来进行有限元 分割

41、是最方便的。空间三维等参元常用的是八节点二十节点 的六面体，其中八节点六面体的形状完全由其八节点的位置或 坐标所决定，其棱边 edge是直线，其侧面是由两族直线所构成 的直纹面 ruled surface，所以其计算精度 calculation accuracy和逼 近物体的弯曲边界有时显得不够理想， 二十节点六面体空间等 参元 能很好地满足计算精度和逼近 approximate物体的弯曲边界 boundary的要求，对空间问题通常是最有效的单元，而十二节 点、十六节点六面体空间等参元是空间八节点等参元在一个或 两个方向提高了精度 improve accuarcy 8-20结点等参元母单元 8

42、-20 nodes isoparameter parent element 8-20结点等参数单元 实际单元坐标与 母单元坐标之间 的关系可表示为 n i ii n i ii n i ii zNz yNy xNx 1 1 1 ),( ),( ),( ),()()( ),()()( ),()()( ),()()()( 20191817111 4 1 16151413111 4 1 1211109111 4 1 8212111 8 1 2 2 2 iN iN iN iN iii iii iii iiiiiii 形函数 Shape function 记三维 等参元 的节点 位移矢 量为 TnnnTn

43、 wvuwvuwvu , 55511151 那么单元内任 一点的位移可 表示为 n i ii n i ii n i ii wNw vNv uNu 1 1 1 ),( ),( ),( 按几何关系 geometrical relation 可得应变计算式 , BBBB Tnn 5121 x N z N y N z N x N y N z N y N x N B ii ii ii i i i i 0 0 0 0 0 0 0 00 有下列关系 iN iN iN x Ni y Ni zNi z N y N x N J zyx zyx zyx N N N i i i i i i Jacobi矩阵 matr

44、ix , 21 nDBDBDBBDD 本构关系 Constitutive relationship 弹性矩阵 66 55 44 332313 232212 131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d ddd ddd ddd D 三维等参元的刚度矩阵可分成 个子矩阵 ， 典型的子矩阵 submatrix nn 1 1 1 1 1 1 ddd JBDBd xd y d zBDBk jTijTiij 单元体积力 等效到节点上的等效节点力 equivalent nodal force为 Tvzvyvxv pppp ddd 1

45、 1 1 1 1 1 J p p p N F F F F vz vy vx i v zi v y i v x i vi 将单元的表面力 surface force Tszsysxs pppp SJ p p p N F F F F sz sy sx i s zi s y i s x i si d Jacobi行列式 determinant的值 等效到节点上的等效节点力为 （ 2）退化的实体单元 degenerated solid element 经典的板壳单元都是根据 板壳理论 theory of plates and shells构造出来的，而经典 板壳理论则是一般的三维弹性理论根据板壳结构特

46、殊的几何形状引入一定的简化 假定后得到的，因此可以认为板壳理论是一种特定条件下简化的 三维弹性理论 。 从三维弹性理论直接导出的是三维实体等参元。由此不难看出，板壳单元其实是 一种特定条件 specified condition下的简化 simplified的三维实体等参元，只要 在三 维实体等参元中引入 leading into必要的简化的假定 necessary simplified assumption 即可发展成 can be developed to由三维实体等参元退化 degenerated的板壳单元 ， 如图所示，称之为 退化的实体单元。 三维弹性理论 三维弹性理论 薄板壳理论

47、厚板假定 Thick plate assumption 薄板单元 三维实体等参元 3D entity isoparameter element 中厚板壳单元 Moderately thick 薄板假 定 单 元 构 造 单 元 构 造 单 元 构 造 板壳理论与板壳单元 厚板假定 薄板假 定 （ a）相对位移的引入 leading into relative displacement 如图所示的 16节点板壳单元，每个节点有 、 、 三个 自由 度，共 48个自由度。单元坐标和位移插值形函数 displacement interpolating function 和三维实体单元相同。考虑到扁平

48、 flat单元会使刚度矩阵病态 ill-conditioned matrix， 采用 R.D.Wood的建议，用相对位移 comparative displacement的办法克服。记 16节 点三维等参元的节点位移矢量为 u v w 16 节 点 板 壳 单 元 , 16555111 wwvuwvu 引入 by introduction of 相对位移后，单元节点位移矢量改为 . Twwvuwvu , 16555111 155 uuu 155 vvv 155 www 165115 www （ b） Reissner厚板单元 板的弹性理论是三维弹性理论的退化形式 ， 我们在写出 Reissne

49、r板的弹性本构关系时仍保留三维弹性理论的形式 ， 为方便 起见 ， 取坐标 方向为板法线方向 ， 根据 Reissner板理论的假 定 ， ， 因此可以忽略 不计 ， 有 z yzxz , z )( yxz 即 为不独立的应变分量 ， 对上式沿厚度方向积分 ， 得相对挠度 z 2 2 2 2 dd h h yx h h z zzw )( 假定 suppose 0w 约束 后 16节点的单元自由度数从 48降至 40， 与 8节点 40自由度 厚壳单元相同 ， 但在 所有自由度中没有转角自由度而只有位移自由 度 ， 这样产生的单元 ， 可以方便地与其它单元连接 ， 而且有限元列 式更加简单统一

50、。 如果引入中面不伸长的假定 w 0 0 下上 下上 vv uu 又将约束 自由度 ， 单元变成 16节点 24自由度厚板单元 ， 与 8 节点 24自由度厚板元相同 。 为了与三维单元的形式一致 ， 和 的约束也可用罚系数的方法来实现 。 在三维弹性应力应变关系中引入一个罚系数 ， 当计算刚度矩 阵时 ， 取一大数 ， 一般可取 1000， 使得 ， 当计算应力时 ， 取 =1或 =0， 使 这样在三维弹性理论中 ， 引入了 Reissner板的假定 ， 将三维弹 性理论退化成 Reissner板理论 ， 具体的 Reissner板的应力应变关系 为 1628 0z 0w 0z 0z xy

51、zx yz z y x xy xz yz z y x d d d ddd ddd ddd 66 55 44 332313 232212 131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （ c） Kirchhoff板单元 根据 Kirchhoff板理论假定 ， ， 即薄板横向的剪切刚 度无限大 ， 为此对相应的刚度系数进行修正 ， 即乘以一个大数 =1000。 此时应力应变关系修正为 0 yzxz 2 xy zx yz z y x xy xz yz z y x d d d ddd ddd ddd 66 552 442 3312313

52、232212 131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 其它约束处理同 Reissner板 （ d） 薄膜单元 thin-film element 根据类似分析 on the similar method如果引入约束 0 0 0 下上 下上 下上 www vvv uuu 可得到 16节点 24自由度膜单元 （ e） 单元刚度矩阵 上述 above分析表明，通过修正应力 -应变关系和约束一部分相对位 移可引入 Reissner板、 Kirchhoff板和膜的理论的基本假定。简单 比较可见 Reissner板、 Kirchhoff

53、板和膜结构的应力 -应变关系扩阶 后与三维弹性问题相似，因此板、膜单元的元素矩阵和三维块体等 参元元素矩阵的具有完全相同的形式。 （ f）相对位移引入后刚度矩阵的修改 考虑如下形式的单元平衡方程 2 1 2 1 2221 1211 f f u u kk kk 作变换 2 1 21 1 2 1 11 01 u u uu u u u 则单元平衡方程变为 2 1 2 1 2221 1211 10 11 11 01 10 11 f f u u kk kk 整理得 2 21 2 1 222221 221222211211 f ff u u kkk kkkkkk 对于一般的壳问题，上述推导在以法向 方向的

54、局部坐标系内 仍然成立。适当的坐标变换可把上述推导推广到一般壳单元， 也可以得到一系列的正交曲线坐标系下的壳单元。采用类似的 方法，可以从平面单元退化得到平面梁单元。 z （ 3） 三维梁单元 在 12-20节点三维等参单元中 ， 引入梁的基本假设 ， 便可得到三维 梁单元 。 它可以用以分析各种截面形状 （ 包括变截面的 ） 的空间梁 的弯曲 、 扭转 ， 也能很方便地与三维块体单元 、 三维板壳单元连接 ， 以解决复杂桥梁结构分析问题 。 根据梁的几何特点引入以下假定： 横向正应力相对于其他应力是小量 ， 可以忽略 。 即 由假设 可知 ， 不独立 ， ， 也不独立 ， 且为小量 ， 也应

55、约束掉 。 如果不考虑剪切变形 ， 则还有 为梁的轴线方向 。 考虑横向剪切变形的梁的应力 应变关系可 以表示为 0 yz zy v w 0 xzyx x zy xz yx x zy xz xy x G G G E 不考虑横向剪切变形的梁的应力 应变关系 zy xz yx x zy xz yx x G G G E 与一维梁单元比较 ， 不考虑扭转翘曲的梁单元每个节点有 6个自由 度 ， 。 矩形截面三维梁单元 ， 每个截面 4个节点 ， 每个节点 3个自由度 ， 共 12个自由度 。 根据假定 zyxwvu , wvu , 0 0 32 43 vv ww 令 4 4321 uuuuu 平截面假

56、定有 uuuuuu 2,2 4213 共有 6个约束方程 ， 故每个截面也只有 6个自由 。 与一维单元相 同 。 除应力 应变关系略有不同外 ， 单元的元素矩阵相同 ， 同样可以构造虚拟的层合的梁单元 。 可以方便地分析杆件的约束扭转问题 （ 4） 虚拟层合单元 由不同材料组成的桥梁结构 （ 如 结合梁 、 钢筋混凝土结构 、 钢管 混凝土 、 钢箱混凝土 等 ） 的总体分析是一个比较烦琐的力学问题 ， 目前对这类结构的有限元分析常采用两种方法 （ a） 用三维实体单元对桥梁结构进行细致的离散 。 这一方法的优 点是能够准确地描述桥梁的几何形状 ， 它的缺点是庞大的计算量对 总体分析而言是一

57、种浪费 （ b） 另一种方法则是把结构简化为杆 、 梁 、 板 、 壳或它们的组合 结构 。 这种方法的优点是计算量少 ， 但很难描述复杂桥梁结构的实 际几何特性 ， 特别是变截面主梁和有中空的区域箱梁 ， 因此其结果 往往不能反映桥梁的整体特性 。 如何建立一个能描述结构几何形状 、 受力特征的简洁有效的有限 元模型是整体分析的关键 。 （ 1） 层合板壳单元 在上节三维等参元的单元刚度和单元外力计算公式中 ， 我们可以 看出这些计算都是在单元内的积分 ， 如果将区域积分用一些小区域 （ m个 ） 的积分之和来替代 ， 或者说将区域积分分解成一些小区域 的积分 ， 如 v m i v i i

58、 VFVF 1 dd mVUUVUVVV 321 用上可对八节点二十节点空间三维等参实体单元进行改进 。 由于 同一单元中可能包含 m个不同的材料区域 ， 单元元素矩阵的积分按 m 个不同的材料区域分区进行 ， 为 m k j kT ij T iij zyxBDBzyxBDBk 1 dddddd 不失一般性 ， 假定每种材料区域可以由 8-20个单元内节点描述 。 每 个单元内节点可由该节点在母单元中的坐标表示 。 记第 个材料 区域第 个节点的母单元坐标为 ， 则材料区域中任意点的 母单元坐标为 k i ),( kikiki mn i k ii k mn i k ii k mn i k ii

59、 k N N N 1 1 1 ),( ),( ),( 1,1,1,1,1,1 则单元的元素矩阵可改为 ddd),(),( 1 1 1 1 1 1 1 JJBDBk m k kkk j ktkkk iij 材料分区数 区域内坐标变换矩阵的 Jacobi行列式的值 在每个材料区域采用高斯积分 ， 有 m J tsr m k gr r gs s gt t kkk j kTkkk iij HHHJJBDBk ktkskr , 1 1 1 1 ),(),( 分别为一个材料区域内的各个方向的 高 斯积分点数目； 高斯积分点的权系数 。 tsr ggg , tsr HHH , （ 2） 虚拟层合单元 对图所

60、示的一矩形箱梁 ， 如用传统有限元分析 ， 为了反映箱梁有中空的区域的 结构特征 ， 划分单元的必须采用 相当多的实体单元 来离散箱梁结构如图 a） ， 如 果将该箱梁划分成三个经典的二十节点空间三维等参元如图 b） ， 那么箱梁的中 空结构特征就描述不出来了 。 a b 悬臂矩形箱梁 用上述的分区积分的办法 ， 将单元积分区域分成两个区域 （ a） 有真实材料的区域 （ 顶板 、 底板和腹板 ） （ b） 没有材料的区域 （ 中空区域 ） 在这个中空区域中由于没有材料 ， 它的积分值将是零 ， 因此单元 的积分只要在有材料的区域内积分就可以了 ， 这样就可以将箱梁有 中空区域的复杂结构整体特

61、征反映出来了 。 再进一步分析如果有材料的区域 （ 顶板 、 底板和腹板 ） 有不同的 材料特性 （ 弹性模量 、 质量密度 ） ， 还可以分为不同材料特性参数 的区域 （ 如顶板 、 底板与腹板的材料特性参数不同 ） 的积分 没有材料的区域 （ 中空区域 ） 可以认为是材料特性 （ 弹性模量 、 质量密度 ） 为 “ 零 ” 的材料 。 将单元的积分区域人为地分为几个小的积分区域 ， 在每个小的积 分区域内有不同的材料特性参数 ， 包括 “ 零 ” 材料特性参数 ， 此概 念亦可在 虚拟段 上 ， 无论虚拟层 ， 还是虚拟段 ， 或者二者兼有 ， 均 称为虚似层合单元 。 这就改进了原来的空

62、间实体单元 ， 达到用较少 段单元来描述复杂空间结构整体特征的要求 ， 大大的提高有限元的 效率 。 有虚拟区域单元示意 真实节点 虚拟节点 （ 3） 虚拟三维层合板壳单元 图为一典型的虚拟层合板壳单元 ， 在该单元中 ， 母单元的边界定义为 、 、 。 的表面为层合板壳底面 ， 的表面为层合板壳顶 面 ， 和 之间分为 层 ， 底面 、 每层界面和顶面的 坐标由底 到顶依次为 ；同理 ， 在每一层中 ， 对坐标 也类似 的边界及界面定义 。 为保证在计算单元刚度矩阵 、 单元质量矩阵和应力时 ， 分层 或分层段高斯积分简单易行 ， 必需注意使各层或各段的界面坐标值 及 为常数 ， 该单元与母

63、单元间的变换关系为 1 1 11 1 n 1,1, 010 nn 11 , n 11 , n i i i i i z y x N z y x , 20 1 单元位移插值模式为 i i i i i w v u N w v u , 20 1 单元刚度矩阵元素 dddJBDBk n k m l j T iij k k 1 1 1 11 1 1 1 为层数 ， 为段数 n m 为在每层及层中的每一段采用高斯积分，将上式进行线性变换 22 11 kkkk 22 11 llll dddJBDBk kk n k m l j T i ll ij 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ 5）桥梁结构的

64、虚拟层合单元建模 （ a） 肋梁式桥 常见的肋梁式桥梁结构截面形式不外乎 T型 、 带马蹄 T形和 I字形 ， 由于所采用的材料不同 （ 如组合结构 ） 或配筋不同 （ 混凝土结构 ） 而使得结构的承载能力特性在各个方向上并不相同 ， 表现出各向异 性的特性 。 初步分析时 ， 可按上 、 下翼板 （ 马蹄 ） 、 腹板划层 、 根 据纵向钢筋的疏密程度划段；精细分析时 ， 需将不同性质的材料单 独划层或段 。 （ b） 箱梁桥 空心板或箱梁桥是典型的带有中空截面结构 ， 除考虑横 、 纵截面 上材料的不同性质分层外 ， 对空腔部分按虚拟层 （ 段 ） 进行处理 （ c） 力筋的等效连续化 力

65、筋 （ 钢筋或预应力钢筋 ） 在混凝土中的铺设一般在某一个或几个 确定的方向上 ， 对结构整体分析而言 ， 纵向主筋的影响最大 ， 横向 主筋对横向变形及内力的贡献较大 ， 分析时 ， 可按正交异性材料处 理 。 而将离散分布的钢筋按下图等效为连续钢筋层 钢筋等效层 小结 （ 1） 有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域 ， 其分析精 度亦因所采用的单元形式 ， 单元数量和单元划分情况等不同而有所 差异 。 在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下 ， 桥梁结构建模 在有限元分析中非常重要 ， 科学合理的建模 ， 不仅可以得到更为精 确和期望结果 ， 而且可节约计算时间 ， 提高计算效率 。

66、 （ 2） 桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切 ， 变形 、 内力等有 累计 、 重分布等特点 ， 同一座桥如采用不同的施工方法 ， 其恒载内 力差异很大 ， 大多情况下需跟踪分析 ， 活载内力计算时的动态加载 非常重要 ， 除桥梁专用分析软件外 ， 通用软件一般不具备此功能 ， 其基本方法可参见文献 。 （ 3） 退化单元及虚拟层合单元为桥梁结构分析提供了全新建模思 路 ， 具有划时代意义 ， 它不但打通了单元之间连接通道 ， 而且可精 确地描述各种复杂桥梁结构几何特征 ， 把握各种力学现象 ， 已在复 杂结构分析 、 动力分析及非线性分析中发挥其独一无二的作用 。 References 1M.J.Turner,R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp.Stiffiness and deflection analysis of complex structures J.Aeronaut Sei, Vol.23, No.9,1956 2杨炳成、孙明斜拉桥索力的非线性优化倒拆分析中国公路学报， Vol.11, No.3,1998 3肖世诚、项海帆大跨径悬索桥结构