函数的单调性与极值

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1、 2.9 函 数 的 单 调 性 与 极 值 (2) ( , ) ( ) 0, ( )a b f x y f x 如 果 在 内 那 末 函 数定 理 ( ) , ( , )y f x ab ab设 函 数 在 上 连 续 ， 在 内 可 .导1 ( , ) ( ) 0 ( )a b f x y f x （ ） 如 果 在 内 ， 那 末 函 数 , a b在 上 单 调 增 加 ； , .a b在 上 单 调 减 少 证 , 21 baxx ,21 xx 且 应 用 拉 氏 定 理 ,得)()()()( 211212 xxxxfxfxf ,012 xx ,0)(),( xfba 内 ，若 在

2、 ,0)( f则).()( 12 xfxf .,)( 上 单 调 增 加在 baxfy ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf .,)( 上 单 调 减 少在 baxfy 注 : （ 1） 定 理 的 条 件 是 一 个 充 分 条 件 .有 时 函 数 f(x)也 能 断 定 f(x)的 单 调 性 。则 该 区 间 称 为 函 数 的 单 调 区 间 . 若 函 数 在 其 定 义 域 的 某 个 区 间 内 是 单 调 的 ，可 以 在 个 别 孤 立 点 x0处 , 只 要 孤 立 点 00 xf不 形 成 区 间 而 在 其 他 点 (或 )

3、 0 xf 0 xf例 如 : y = x3在 x=0点 处 而 当 时 ,有 0 x 00 f .所 以 y =f(x)=x3在 区 间 单 调 增 加 . , 0 xf (2)一 阶 导 数 为 零 的 点 和 一 阶 导 数 不 存 在 的 点是 函 数 单 调 区 间 可 能 的 分 界 点 .例 如 不 存 在时当 0,0,132, 33 2 fxxxfxxf （ -， 0及 （ 0， +） 单 调 减 少 和 单 调 增 加 .3 2xyx0时 ， ; x0时 , . 所 以 f(x)分 别 在 0 xf 0 xf 二 、 单 调 区 间 求 法 1 ( ) 0 ( )f x f

4、x 用 方 程 的 根 及 不 存 在 的 点( ) ;f x来 划 分 函 数 的 定 义 区 间 2 判 断 区 间 内 导 数 的 符 号 ,从 而 决 定 .f x 在 该 区 间 的 单 调 性（ 3） 该 定 理 对 （ ） ， ） ， （ ， （ - ， + ）均 成 立 . 解 3 21 ( ) 2 9 12 3 .f x x x x 例 确 定 函 数 的 单 调 区 间).,( D 2( ) 6 18 12f x x x )2)(1(6 xx( ) 0f x 解 方 程 得 ， .2,1 21 xx +(2,+)2(1,2)1(-,1)xf(x) 0-0+f(x) 上 单

5、调 增 加 ；在 1,( 上 单 调 减 少 ；在 2,1上 单 调 增 加 ；在 ),2 三 、 利 用 单 调 性 证 明 不 等 式 . 0开 区 间 内 可 导 ，为 端 点 的 闭 区 间 上 连 续、在 以推 论 ： 设 xxxf ；， 则时 ， 若当 00 01 xfxfxfxx .0 0 xfxfxf ， 则若 ；， 则时 ， 若当 00 02 xfxfxfxx .0 0 xfxfxf ， 则若 例 2证 .)1ln(,0 成 立试 证时当 xxx ),1ln()( xxxf 设 .1)( xxxf 则 .),0(,),0)( 内 可 导在上 连 续在 xf 0,0)0( xf

6、f且 00 fxfx 时 ，当 ,0)1ln( xx即 ).1ln( xx .3arctan,03 3xxxxx 时当证 明例 xx arctan左 端证 00,0 fxfx 时 0arctan xx即 ,0 xf xx arctan xxxf arctan令 01 110 2 xxfx 时 ，当 3arctan 3xxx 右 端 00,0 gxgx 时当 ,0 xg03arctan 3 xxx即 xg .3arctan: 3xxxx 综 上 所 述 ),3(arctan 3xxxxg 令22 11 1 xx 001 24 xxx 3arctan 3xxx 3 3 1.f x x x 证 明

7、令 1 存 在 性 : 3 3 1 0,1 ，f x x x 因 为 在 上 连 续 0 1 0, 1 1 0,f f ：由 闭 区 间 上 连 续 函 数 零 点 存 在 定 理 知 0,1 0.f 使 2 ：惟 一 性 2 20,1 , 3 3 3 1 0,x f x x x 3 3 1 0 0,1 .x x 例 5 证 明 方 程 在 内 有 惟 一 的 根 .1,0 内 单 调 减 少在xf .1,0 内 方 程 有 惟 一 的 根故 在 函 数 极 值 的 判 定 法一 、 函 数 极 值 的 定 义 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x x ya b .)()( ,)()(,

8、,;)()( ,)()(, ,),( ,),()(0 0000 000 0的 一 个 极 小 值是 函 数 就 称均 成 立外除 了 点任 何 点 对 于 这 邻 域 内 的的 一 个 邻 域如 果 存 在 着 点 的 一 个 极 大 值是 函 数 就 称均 成 立外除 了 点任 何 点 对 于 这 邻 域 内 的的 一 个 邻 域如 果 存 在 着 点内 的 一 个 点 是内 有 定 义在 区 间设 函 数 xfxf xfxfxx xxfxf xfxfxx xba xbaxf 定 义函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值 ,使 函 数 取 得极 值 的 点 称 为 极 值

9、 点 . 二 、 函 数 极 值 的 求 法 设 )(xf 在 点 0 x 处 具 有 导 数 ,且 在 0 x 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 0( ) 0f x . 定 理 1(必 要 条 件 )定 义 : ( ( ) 0. )( ) f xf x 使 导 数 为 零 的 点 即 方 程 的 实 叫做 函 数 的 驻 点 根注 意 : . ,)( 是 极 值 点但 函 数 的 驻 点 却 不 一 定 点的 极 值 点 必 定 是 它 的 驻可 导 函 数 xf例 如 : ,3xy ,00 xy .0不 是 极 值 点但 x 注 ： 导 数 不 存 在 的 点 也 可 能 是 函 数

10、的 极 值 点 。 23( ) 0 0 .f x x x f 例 如 函 数 在 点 处 不 存 在3 2xy0 x 但 为 函 数 的极 小 值 点 .使 函 数 f(x)连 续 ，不 存 在 的 点 称 为 函 数 f(x)的 奇 点 .函 数 的 驻 点 与 奇 点 统 称 为 函 数 的 临 界 点 。但 导 数 xf 定 理 2(函 数 极 值 的 第 一 充 分 条 件 ) 0 0 0 01 , , 0 ,x x x f x x x x 如 果 有 ， 而 00 .f x f x x 有 ， 则 在 处 取 得 极 大 值 0 0 0 02 , , 0 ,x x x f x x x

11、 x 如 果 有 ， 而 00 .f x f x x 有 ， 则 在 处 取 得 极 小 值 0 0 0 03 , ,x x x x x f x 如 果 当 和 时 ， 的 符 号 0f x x相 同 ， 则 在 处 无 极 值 . 0 0 ,f x x U x 设 在 临 界 点 连 续 ， 在 可 导 . 例 1解 .593)( 23 的 极 值求 出 函 数 xxxxf 963)( 2 xxxf ，令 0)( xf .3,1 21 xx得 驻 点 列 表 讨 论)3(f极 小 值 .22)1(f极 大 值 ,10 )3)(1(3 xx)1,( ),3( )3,1(1 3x )(xf )(

12、xf 0 0极大值 极小值 231y x x 例 2 求 函 数 的 极 值 .123 32( 1) ,3y x x x 解 35 23x x 0y由 得 驻 点1 2;5x 得 奇 点 x 2=0. 2515 Aox y 列 表 如 下 : 32 3 40 0 , 5 5 25f f 为 极 大 值 为 极 小 值 .极 小极 大f(x) +0-不 存在+f(x) ( , +)(0, )0(-,0)x 25 25 25 35 23xy x 33 1f x x 例 4 求 函 数 的 极 值 .A B解 将 函 数 表 达 式 的 绝 对 值去 掉 ， 得 332 , 1,4 , 1 .x x

13、f x x x 经 计 算 得 223 , 1,1,3 , 1 .x xf x xx x 不 存 在 , 0 0. 0, 1f x x x x 令 得 驻 点 以 为 分 界 点 ,列 表 :故 函 数 f(x)在 x=1取 得 极 大 值 f(1)=3. 极 大无 极 值f(x) -不 存 在+0+f(x) (1,+)1(0,1)0(- ,0)x 223 , 1,1,3 , 1 .x xf x xx x 不 存 在 , 证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 ,0异 号 ，与故 xxfxxf )()( 00时 ，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0时 ，

14、当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0 00 00 00 03 0 01 0 ;2 0 ;f x xf x f xf x f x xf x f x x 定 理 第 二 充 分 条 件 设 在 处 具 有 二 阶 导 数 ，且 ， ， 那 末当 时 ， 函 数 在 处 取 得 极 大 值当 时 ， 函 数 在 处 取 得 极 小 值 0f x x 在 处 取 得 极 大 值 例 6解 .20243)( 23 的 极 值求 出 函 数 xxxxf 2463)( 2 xxxf ，令 0)( xf .2,4 21 xx得 驻 点 )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f ,018 )

15、4(f故 极 大 值 ,60 )2(f ,018 )2(f故 极 小 值 .48注 意 : .2 ,)(,0)( 00仍 用 定 理 处 不 一 定 取 极 值在 点时 xxfxf 定 理 4 若 函 数 f(x)在 驻 点 x0处 的 n阶 导 数 存 在 ， 且 10 0 0 0nf x f x f x 01 n f x x当 为 偶 数 时 ,则 在 点 取 得 极 值 . 0 00 , ;nf x f x x当 时 在 点 取 得 极 小 值 0 00 , ;nf x f x x当 时 在 点 取 得 极 大 值 02 n f x x当 为 奇 数 时 ,则 点 无 极 值 . .00

16、 xf n 最 大 值 与 最 小 值 问 题一 、 最 值 的 求 法(1).求 驻 点 和 不 可 导 点 ;(2).求 区 间 端 点 及 驻 点 和 不 可 导 点 的 函 数 值 ,1.设 f(x)在 闭 区 间 a,b上 连 续 ，求 函 数 最 值 的 方 法 ：(3).比 较 大 小 , 最 大 者 就 是 最 大 值 , 最 小 者 就 是 最 小 值 ; max min, 0, .a b f xf x f a f x f b 同 理 ,若 在 内 , 则 min .f x f a 内 可 导 ，上 连 续 ， 在在若 babaxf ,.2 ，内且 在 0, xfba ，则

17、bfxf max3 若 f(x)在 (a,b)内 只 有 一 个 极 值 ， 则 这 个 唯 一 的极 大 (小 )值 就 是 f(x)在a,b上 的 最 大 (小 )值 . 223 2 0,3f x x x 例 7 求 函 数 在 上 的最 大 值 和 最 小 值 . f x解 在 0,3上 连 续 . 234 1 .3 2 xf x x x 0, 1. 2.f x x x 令 得 驻 点 奇 点计 算 区 间 端 点 与 临 界 点 处 的 函 数 值 有 30 0, 1 1, 2 0, 3 9.f f f f 比 较 这 些 值 的 大 小 可 得 3max min3 9, 0 2 0.

18、f f f f f 1 1,ppp x x -11例 8 求 证 :2 0,1 , 1.x p 其 中 ,证 将 所 证 问 题 转 化 为 求 函 数 1 ppf x x x 在 区 间 0， 1上 的 最 大 值 和 最 小 值 . 11 1 ,ppf x px p x 10, , 1,2f x x p f x 令 得 驻 点 因 故 函 数 无 奇 点 .将 区 间 端 点 与 驻 点 处 的 函 数 值 进 行 比 较 ： 11 10 1 1, 1 .2 2pf f f p 所 以 11 1ppp x x -112 例 9 要 做 一 个 容 积 为 V0的 圆 柱 形 储 油 罐 ，

19、 怎样 设 计 才 能 使 用 材 料 最 省 ？解 要 使 用 料 最 少 ， 就 是 要 使2 00 2, Vr h V h r 故 储 油 罐 的 表 面 积 S为 ：2 2 20 02 22 2 2 2 2 .V VS rh r r r rr r 3 002 22 224 0, r VVS r rr r xy h储 油 罐 的 表 面 积 最 小 . 令 S=0,得 唯 一 的 驻 点 0 030 0 304. 4 0,2V Vr S r r 又因 此 ,S在 点 030 2Vr 处 取 得 极 小 值 ， 由 于 只 有一 个 极 值 ， 所 以 也 为 最 小 值 .这 时 储 油 罐 的 高 为0 0 03 020 03 2 2 .22V V Vh rr V 所 以 ， 当 储 油 罐 的 高 和 底 面 直 径 相 等 时 ， 所 用 材 料 最 省 . 3 002 22 224 0, r VVS r rr r