平面问题有限单元法

《平面问题有限单元法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题有限单元法（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、工程中的有限元方法 内容 平面问题的有限元法 2 3 形函数的性质 4 整体刚度矩阵的组装及其性质 5 等效节点载荷向量要求 理解：连续体有限元分片插值的含义； 形函数的功能及其性质； 基于虚功方程的整体刚度矩阵的组装； 基于虚功方程的等效节点载荷向量的生成 掌握： 常应变三角形单元组装技术； 常应变三角形单元等效节点载荷向量的生成 课后作业 推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量 回顾整 体离 散 单 元组 装 人 工 节 点逼 近 离 散vm umvjvi uii (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e ujy xo单 元 节 点 位 移 Fmy FmxFjy

2、Fiy Fixi (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e Fjxy xo单 元 等 效 节 点 力单 元 刚 度 方 程 0e e eK F 回顾几 何 实 体 的 逼 近 性 离 散 回顾 iiie jj jm mmuvuvuv 目 标 ： 对 三 角 形 单 元 ， 建 立 节 点 位 移 与 等 效 节 点 力 之 间 的 转 换 关 系 。vm umvjvi u ii (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e uj y xo单 元 节 点 位 移 Fmy FmxFjyFiy F ixi (xi , yi) j (xj , yj)

3、m (xm , ym) e Fjx y xo单 元 等 效 节 点 力 e xieyiexje eyjexmeymFFFF FFF ？ 回顾单 元 分 析 的 流 程（ 1） 节 点 位 移 内 部 节 点 位 移 vm u mvjvi uii (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e ujy xo解 决 办 法 ： 插 值 (分 片 插 值 的 提 法 ) , 0 , 0 , 0, 0 , 0 , 0 , iii j m ji j m jmmuvN xy N xy N xyuxy uN xy N xy N xyvxy vuv 形 函 数 矩 阵 回顾 1, ( )

4、2i i i iN x y a bx cyA 下 标 i, j, m 轮 换i j m m ja x y x y i j mb y y i j mc x x 性 质 ： 其 中 ：（ a） Ni (x, y)在 i点 的 节 点 位 移 为 1， 其 它 节 点 为 0。（ b） 单 元 中 任 一 点 各 形 函 数 的 和 为 1。力 学 意 义 ： 固 定 j， m 节 点 ， 使 i节 点 发 生 位 移 1， 则 单 元 内 各 点 的 位移 场 为 N i (x, y)。力 学 意 义 ： 令 单 元 发 生 刚 体 位 移 u0， 则 单 元 内 各 点 的 位 移 均 为 u0

5、， 即 0 0, , , ,i i j j m mi j mu x y N x y u N x y u N x y uN N N u u （ 2） 内 部 节 点 位 移 应 变回顾解 决 办 法 ： 弹 性 力 学 几 何 方 程 00 x uvyy x eu Nv 0 0 01 0 0 02 i ii j m ji j m ji i j j m m mmuvb b b uc c c vA c b c b c b uv eB B矩 阵 称 为 应 变 矩 阵 得 代 入 该 单 元 为 常 应 变 单 元 （ 3） 应 变 应 力回顾解 决 办 法 ： 弹 性 力 学 物 理 方 程eB 得

6、 代 入 D eD B eS S矩 阵 称 为 应 力 矩 阵 。 S D B 2 1 01 01 10 0 2ED i j mS S S S 22 (1 ) 1 12 2i ii i i ii ib cES D B b cA c b 0 0 01 0 0 02 i j mi j mi i j j m mb b bB c c cA c b c b c b 例 ： 对 于 平 面 应 力 问 题 S D B代 入得其 中 d d de e epx x y y xy xy x y x ySb u b v p u p v S （ 4） 应 力 等 效 节 点 内 力回顾解 决 办 法 ： 单 元 平

7、 衡 分 析平 面 问 题 虚 功 原 理 eu Nv eB eS 代 入 得 d de e TeT ex x y y xy xy B D B 内 力 虚 功 外 力 虚 功 d d e ep eT ex y x ySb u b v p u p v S F 外 力 虚 功 内 力 虚 功 0e e eK F 单 元 刚 度 方 程 单 元 刚 度 方 程 建 立 了 单 元 的 节 点 力 与 节 点 位 移 之 间 的 关系 ， 称 为 单 元 刚 度 矩 阵 。 它 是 6 6矩 阵 ， 其 元 素表 示 该 单 元 的 各 节 点 沿 坐 标 方 向 发 生 单 位 位 移 时 引 起

8、的节 点 力 ， 它 决 定 于 该 单 元 的 形 状 、 大 小 、 方 位 和 弹 性 常数 ， 而 与 单 元 的 位 置 无 关 ， 即 不 随 单 元 或 坐 标 轴 的 平 行移 动 而 改 变 。 eK 0 e e eK F 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 已 经 求 出 了 下 列 关 系 t ABT t ABDBK Te e eF D B BDS (6) (3) (3)(6 3) (3 3) (3 6)(3 6)(6 6) 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 节 点 力 和 节 点 位 移 的 关 系 ：

9、(以 简 单 平 面 桁 架 为 例 )平 面 问 题 中 ， 离 散 化 的 单 元 组 合 体 极 为 相 似 ， 单 元 组 合 体 在 节点 载 荷 的 作 用 下 ， 节 点 对 单 元 、 单 元 对 节 点 都 有 作 用 力 与 反 作用 力 存 在 ， 大 小 相 等 方 向 相 反 ， 统 称 为 节 点 力 。 节 点 力 和 节 点 位 移 的 关 系 为 单 元 刚 度 方 程 ：A D B P C A P ee eF K 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 写 成 分 块 矩 阵 写

10、 成 普 通 方 程 其 中 表 示 节 点 s(s=i,j,m)产 生 单 位 位 移 时 ， 在 节 点r(r=i,j,m)上 所 需 要 施 加 的 节 点 力 的 大 小 。 i ii ij im ij ji jj jm jm mi mj mm mF K K K F K K K F K K K m i ii i ij j imi mj ji i jj j jm mmi i mj j mm mF K K K F K K K F K K K eF rsK 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 将 节 点 力 列

11、向 量 与 节 点 位 移 列 向 量 均 扩 展 成(6 1)阶 列 矩 阵 ， 单 元 刚 度 矩 阵 相 应 地 展 开 成 (6 6)阶 方 阵 ： 元 素 K的 脚 码 ， 标 有 “ -” 的 表 示 水 平 方 向 ， 没 有 标 “ -”的 表 示 垂 直 方 向 。 eF e ii juvu ix ii ii ij ij im imii ij im imiy ii ijjx ji ji jj jj jm jmji jj jm jmjy ji jj jmi mj mm mmmx mi mj mmi mj mm mmmy mi mj mK K K K K KF K K K K K

12、 KF K K K K K KF K K K K K KF vK K K K K KF uK K K K K KF v 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ： 单 元 刚 度 矩 阵 的 各 元 素 的 物 理 意 义 ： 表 示 节 点 s(s=i,j,m)在 水 平 方 向 、 垂 直 方 向 产生 单 位 位 移 时 ， 在 节 点 r(r=i,j,m)上 分 别 所 要 施 加 的 水 平 节 点 力和 垂 直 节 点 力 的 大 小 。 例 如 表 示 节 点 j在 垂 直 方 向 产 生 单 位位 移 时

13、， 在 节 点 i所 需 要 施 加 的 水 平 节 点 力 的 大 小 。 rx rs s rs ss i,j,mF (K u K v )(r i,j,m) ry rs s rs sS i,j,mF (K u K v )(r i,j,m) rs rs rs rsK ， K ， K ， K ijK 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 ： 1)对 称 性 ： 是 对 称 矩 阵 2)奇 异 性 ： 是 奇 异 矩 阵 单 元 刚 度 矩 阵 所 有 奇 数 行 的 对 应 元 素 之 和 为 零 ， 所 有 偶 数行 的 对 应

14、 元 素 之 和 也 为 零 。 （ 力 学 含 义 是 什 么 ？ ） 由 此 可 见 ， 单 元 刚 度 矩 阵 各 列 元 素 的 总 和 为 零 。 由 对 称 性可 知 ， 各 行 元 素 的 总 和 也 为 零 。 eK eK 0Ke 一 、 单 元 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 及 其 性 质 单 元 刚 度 矩 阵 的 性 质 ： 例 题 ： 求 下 图 所 示 单 元 的 刚 度 矩 阵 ， 设 y xaa i(a,0)m(0,0) j(0,a) 1、 求 B2、 求 D3、 求 S4、 求 0 eK 1 0 0 0 1 01 0 0 0 1 0 10 1 1 0 1

15、1B a 5.000 010 001 ED 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 10 0.5 0.5 0 0.5 0.5ES a 5.15.15.5.0 5.5.105.5.1 101000 5.5.05.5.0 5.5.05.5.0 0100012EtK e 回顾整 体离 散 单 元组 装 人 工 节 点逼 近 离 散vm umvjvi uii (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e ujy xo单 元 节 点 位 移 Fmy FmxFjyFiy Fixi (xi , yi) j (xj , yj)m (xm , ym) e Fjxy xo单 元 等 效

16、节 点 力单 元 刚 度 方 程 0e e eK F 二 、 单 元 组 装 技 术ij m iiii)1(iVyiP xiP )e(iU)3(iV )3(iU )1(iU )4(iV )4(iU )e(iV(a) (b) (c) 二 、 单 元 组 装 技 术ij m iiii)1(iVyiP xiP )e(iU)3(iV )3(iU )1(iU )4(iV )4(iU )e(iV(a) (b) (c) ,i iu v 以 i点 为 例 ， 利 用 虚 功 原 理 建 立 平 衡 方 程 ， 设 虚 位 移各 单 元 i节 点 等 效 内 力 的 虚 功 为 : 1,3,4 e ei i i

17、 ie U u V v 各 单 元 i节 点 等 效 外 力 的 虚 功 为 : xi i yi iP u P v i节 点 平 衡 方 程 ： 1,3,4 e ei i i ie U u V v xi i yi iP u P v 二 iie jjmmuvuvuv 0e e eK F 由 单 元 刚 度 方 程 ：对 每 一 个 单 元 ， 将 i节 点 虚 位 移 扩 展 到 单 元 全 部 节 点 ， 如 ， e eiiu Tv 则 Te表 示 节 点 位 移 提 取 矩 阵对 i节 点 ， 有 TT , 1:6 ,e eee e eix iyixiye K T P P T T ee e

18、ee eix i iy ie eF u F v K T 同 理 ， 可 建 立 其 它 节 点 的 平 衡 方 程 。 二对 i节 点 ， 有 TT , 1:6 ,e eee e eix iyixiye K T P P T 将 每 一 个 单 元 的 节 点 位 移 （ 包 括 虚 位 移 ） 扩 展 到 全 部 节 点 位 移 向 量 ， 如 ee T 则 ， 11iinnuvuvuv Te表 示 单 元 节 点 位 移 提 取 矩 阵 二对 所 有 节 点 ， 有 T TT Te e ee T K T P 由 虚 位 移 的 任 意 性 ， 整 理 得 TTe e ee T K T P T

19、e e eeK T K T 总 体 刚 度 矩 阵 总 体 刚 度 方 程 二 K P 总 体 刚 度 方 程等 效 节 点 外 载 荷 向 量 。 三 、 单 元 等 效 节 点 外 载 荷 向 量 连 续 弹 性 体 离 散 为 单 元 组 合 体 时 ， 为 简 化 受 力 情 况 ， 需 把 弹 性 体 承 受 的任 意 分 布 的 载 荷 都 向 节 点 移 置 (分 解 )， 而 成 为 节 点 载 荷 。 将 载 荷 移 置 到 节 点 上 ， 必 须 遵 循 静 力 等 效 的 原 则 。 静 力 等 效 是 指 原 载 荷与 节 点 载 荷 在 任 意 虚 位 移 上 做 的

20、 虚 功 相 等 。 在 一 定 的 位 移 模 式 下 ， 移 置 结 果是 唯 一 的 ， 且 总 能 符 合 静 力 等 效 原 则 。等 效 公 式 ： d d e ep eT ex y x ySb u b v p u p v S R 三 、 单 元 等 效 节 点 外 载 荷 向 量 在 线 性 位 移 模 式 下 ， 对 于 常 见 的 一 些 载 荷 ， 可 以 通 过简 单 的 虚 功 计 算 ， 得 出 所 需 的 载 荷 列 矩 阵 。 y jcb x iw lm my iyjy y j cb x iw lm mx ix jx均 质 等 厚 度 的 三 角 形 单 元 所

21、受 的 重 力 ， 把 1/3的 重 力 移 到 每 个 节 点 三 、 单 元 等 效 节 点 外 载 荷 向 量 例 ：总 载 荷 的 2/3移 置 到 节 点 i， 1/3移 置 到 节 点 j， 与 原 载 荷 同 向 y xm j i p ix jxjL iL y xm j i q ix jxL 三 、 单 元 等 效 节 点 外 载 荷 向 量 载 荷 向 节 点 的 移 置 ， 可以 用 普 遍 公 式 来 表 示 。体 力 的 移 置分 布 面 力 的 移 置在 线 性 位 移 模 式 下 ， 用直 接 计 算 法 简 单 ； 非 线性 模 式 下 ， 要 用 普 遍 公式 计 算 。 y xo M p m j imx jx ixmy jy iyyp xp e TR N p tdxdy e TsR N P tds 如 图 （ a） 所 示 一 高 深 悬 臂 梁 ， 在 右 端 部 受 集 中 力 F作 用 ， 材 料 弹 性 模量 E、 泊 松 比 v 1/3， 悬 臂 梁 的 厚 度 （ 板 厚 ） 为 t， 如 图 （ b） 所 示 有限 元 模 型 ， 试 按 平 面 应 力 问 题 ， 求 结 构 总 体 刚 度 矩 阵 和 总 体 载 荷 向 量 。