固体物理复习资料情况总结

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1、第一章 晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称 性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它 只能有 14 种类型。晶体结构则是晶体中实际质点(原子、离子或分子)的具体排列情况，它们能组成各 种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替 后才形成实际的晶体结构。rarra= (j + k)i2rarr2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子22ar a r r a3 = 2(i * j)rr证明：(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原

2、胞基矢)： a =二(i + k)r2兀rrb=(ax a )1Q230aarrr22i,j,ka0,aa3r ra0,a5=a x a =)224，2322aa0aa,02222由倒格子基矢的定义a2 r r r=(_i + j + k)q q=a - (i x a)=123r4a 2rb = 2兀 x x(-i + j + k) (-i + j + k)1a 34ar 2 兀 r r r b (i j + k) 同理可得： r2ar 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。r 2 兀 r r r b 二 (i + j - k)3a所以，面心立方的倒格子是体心立方。r a r r r

3、(2 )体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)： a = - (i - j + k) 22r a r r r a3= 2(i +j-k)由倒格子基矢的定义：b =竺洁xa)1023r r r0 = a - (a x a )=123aarr2，2i,jaaa 3r raa*=，a x a =2222322a,aaa)2222rka2r2.b = 2 兀 x x1a 3rr(j + k) =(j + k)2aa2 r r同理可得：r 2 兀 r rb =(i + k)2 ar 2 兀 r rb =(i + j)3 a即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立

4、方。-a/3 ；7 笛：位二 r Ttz =cu十一人心二ai十一人c二ck3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为求其倒格基矢。解：晶胞体积为G 二 a x 訂 1| 2 & 1 斗 ;J I _斗 F J - 17 代 J - & 亡.其倒格矢为4、晶体原胞基矢大小a = 4 x 10-iom , b = 6 x 10-io m , c = 8 x 10-10 m，基矢间夹角a1 二aia2a 二 ck3a = 90o , B=90 o , Y = 120 o。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子（210）晶面族的面间距解：（1） 由题意可知，该晶体的原胞基

5、矢为：由此可知：所以二2兀a - a x a 123a xa二2兀31a - a x a 123a xab 二 2 兀+23 2空abc2王（i + 土 j）a v32acj=2兀=3 .abc2=2兀a - a x a 123ab3 k2abc王 .12 + （丄）2 二 銮=1.8138 x 1010m-1a33a2兀b* = 1.2092 x 1010 m -12兀2兀、.12 二 =0.7854 x 1010 m-1cc(2) 正格子原胞的体积为：0 二 a - a x a 二（ai） - b（ -i + 3 j） x （ck）二 3 abc 二 1.6628 x 10-28 m3 i

6、 23222倒格子原胞的体积为：0* = b b xb 二（i + 丄j） 2 （三j） x （k） = -16= 1.4918 x 1030m-3123 aJ3b 羽 cJ3abc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：dh解：由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶5、已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d = 245x10-im。试求：(1) 晶格常数；(2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3) 密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4) 密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。格，其原胞包含一个 Ga原

7、子和一个As原子，其中Ga原 As原子子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：T44故 a = d =x 2.45 x 10-iom = 5.59 x 10-10 mV33由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：a = -(j + k) = 2.795 x 10-io( j + k) 12a = a (k + i) = 2.795 x 10-io(k + i)2 2a = -(i + j) = 2.795 x 10-1o(i + j)3 2其倒格子基矢为：2兀b =(-i + j + k) =

8、1.124 x 1010 (-i + j + k) 1a2兀 !hms 帀匸武1_2曲 （缈若只考虑近邻原子间的惮性相互作用，则运动方程为 d2,r M尹d/2d?”（如”i +叫口-】2气）=卩叽十殳靳+z 一加如|试解:代入方程得:Md）2 2/7 j A + 2/? cos（ mg） B = 02p cos （彳）2 十税少,一2# ）序=0若4,号不全为零，必须其系数行列式为零，BP：M&T 2fim&T 1-P2 ft& =P （羽卡 jVT） Jfn2 a-M2 2mM cos2flf mM考虑一个11质量m和质暈M两种原子（设M m）等距和间 排列的一维双原子链设晶格常数为2弘平

9、衡时和邻两原子 的间距为a原子间的力常数为在t时刻，两种原子的位移 分别为（2）画出与q的关系图（设M/m二10 ）m.1二 (1 +cos2 qa)2。2； m M解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n +1个原子的运动方程为d 2 xQ/-、m2n = p (x+ x- 2 x )dt 22n-12n+12n“ d2 x2 n 11、 dt 2=P (x + x - 2 x )2 n2 n+22 n+1（1）为解方程组（1）可令x = Aei(2 n) qat 2nx= Bei(2 n+1) qa-t 2 n +1（2）将（2）式代入（1）式可得出262B(-w 2) A 一

10、(cos qa) B = 0mm一 (cos qa) A + (- w 2) B = 0MM（3）从A、B有非零解，方程组（3 ）的系数行列式等于零的条件出发，可得w 4 2(+P)w 2 + 4sin 2 qa = 0M m M m可解出得w 2=( m+m) 士卜m+m)2 -4 m m 曲qa（4）当（4）式中取“”号时，有w21卩(M + m)mM1 - (1 -4Mmsin2 qa )2(M + m)2(5)M /m 1 ,.(5 )式中有6(M + m)6M 6Q =Mm Mm m4Mm4Mm4msin 2 qa q sin 2 qa = sin 2 qa 1 ,.(6 )式中有(

11、M+m)M (M -m)M # Mm Mm m Mm Mm m4mcos2 qa 0 ,0iJ(R ) = -g*(g-R )u(g)-V(幼甲(g)dg0(其中u(g)表示晶体中的周 sisi期性势场，也即各格点原子势场之和。V(g)为某格点的原子势场)由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为ai和-ai，由此可知一维单原子链的 s 态电子能量可化为：E(k)丸-J - J (e -ka + eka ) = J 2J COS kas 0 s 0-J -2J + 4jsin2(ka/2)s0上式中 J = J (ai)

12、= J(-ai) = -fp * (g - ai)U (g) - V(g)Q (g)dg 0 ii由此可知，当k = 0时，即能带底的能量为E= J 2J ；当k = -，即能带min s 0a顶的能量为E= - J + 2 Jmax s 0于是可证得一维单原子链的s态电子能量为E(k)二E + 4 J sin 2 (ka / 2)min并且还可得能带宽度为Ae = EE 4 Jmax min由此还可求得有效质量m* (k)-叩/ 也 巴dk 22a2J COs ka于是可求得能带顶部的电子有效质量m* m*() -a2a2 J能带底部的电子有效质量m* - m*(。)-站9、用紧束缚方法处理

13、面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为ka ka ka ka ka kaE(k) E - A + 4J(COS7 COS- + COS-COST + COST cos-)0 2 2 2 2 2 2并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带E(k)的表达式可写为E(k) E - A + Y Je-k-r0R s 近邻.V上式中E 8 ，A -f p (g)|2U(g)-V(g)dg 0，0siJ fp *(g - R )U (g) - V(g)p (g)dg 0 (其中u(g)表示晶体中的周期性势isi场，也即各

14、格点原子势场之和；V(g)为最近邻格点的原子势场；R为最近邻格点的位矢)s对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12 个格点的位矢坐标值为nd 4)zsoo + (4+ 4)zsoo + (4 4)zsoo + xrPKe PKe 0 4+ 4)zsoo + ( 4 4)zsoo + ( 4+ 4)zsoolfe + p HQ(Q#)r3+ (Q#)r3+ (Q+#)r3+ (Q+xd(I)lQ(4 4)飞(4+ 4)lQ 4d. d d.0乞凡飞二f+pH su(乂 SOO SOO z SOO + z Soo r Soo) ZEfz 芒* b a b a 芒心 z Lt z Lt义 E 2 AH0 H *lu H H *lu H H *lu H *M=m、叵ewwse心、心、4岳0810 UIUI 2 iHml、fzl + p 心嚳、皿(4)心匸OH 4 4心汕M、ovf+ffl