光学教程 答案 郭永康

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1、1.4 在充满水的容器底部放一平面反射镜，人在水面上正视镜子看自己的像。若眼睛高出水面h=5.00cm,水深h=8.00cm,求眼睛的像和眼睛相距多远? 12像的大小如何？设水的折射率n=1.33。h解：如图，人见水中镜离自己的距离为h + h = h1 2 1 n所以眼睛的像和眼睛的距离为2(h + 伫)=2(5.00 + 竺)=22.03(cm)1 n1.331.8 一个顶角为60之冕玻璃棱镜，对钠黄光的折射率为1.62。已知光线 在棱镜第一面上的入射角i =70，求：（1）在第一面上的偏向角；（2）在第二1面上的偏向角；（3）总的偏向角。解：由图可知1 = sin-i （ sin i ）

2、 = sin-i（ - sin 7Oo） = 35o282 n 1 1.62i = a - i = 6Oo - 35o28 = 24o322习题图 .8i = sin-(nsin i ) = sin -(.62sin 24032) =42027 2因此，在第一、第二面上的偏向角分别为6 = i - i = 34o321126 = i - i = 17o55 221总偏向角为6=6 + 6 = 52o17121.11 一根长玻璃棒的折射率为 1.6350，将它的左端研磨并抛光成半径为2.50cm 的凸球面。在空气中有一小物体位于光轴上距球面顶点 9.0cm 处。求：（1）球面的物方焦距和像方焦距

3、；（2）光焦度；（3）像距；（4）横向放大率；（5）用作图法求像。解：已知 n = 1,n = 1.6350, r = 2.50cm, s = -9.0cm1）nr =n - n2.501.6350 -1= - 3.94(cm)旦 r = “50 決 2.50 = 6卒 n- n 1.6350 -1m)n 1.6350 = f = 64吋=W(3)由 n- = 口 得 s s rs = n7( + n) = 1.6530/(1.653二1 + 丄)=11.40 (cm)s2.50-9.04)nsns11.401.6350 x (-9.0)= - 0.777 ,曰_.是一倒立的缩小的实像。5)作

4、图，如图。1.12 将一根 40cm 长的透明棒的一端切平，另一端磨成半径为 12cm 的半球 面。有一小物体沿棒轴嵌在棒内，并与棒的两端等距。当从棒的平端看去时，物 的表观深度为12.5cm。问从半球端看去时，它的表观深度为多少？s解：已知 s = 20cm,s = 12.5cm，由平面折射s = f = 12.5cm，1 1 1 n得 n = 1.60而对于球面，s = -20cm,r = -12cm，由球面折射公式丄-=1_-2s s r22代入数据，得s = -33.33 (cm)2表观深度为 33.33cm1.19 一双凸透镜的球面半径为20cm，透镜材抖的折射率为1.5，一面浸在水

5、中，另一面置于空气中。试求透镜的物方焦距和像方焦距。n - n n- nn - n n-n解：由 f = n /( o + 亠)及 f = -n/( o +o)r rr r1 2 1 24并将 r = 20cm, r = -20cm, n = 1.5, n = , n = 1 代入，得1 2 0 31.5-4/3 1-1.5f = 1/(-+) = 30cm20-204 1.5-4/3 1-1.5 f = - /(+) = -40cm320-201.21两薄透镜的焦距为f =5.0cm，f =10.0cm，相距5.0cm，若一高为122.50cm的物体位于第一透镜前15.0cm处，求最后所成像

6、的位置和大小，并作出 成像的光路图。解：首先物体经L成像。已知s =-15cm,f = 5.0cm，由由薄透镜的成像公1 1 1式丄-= 及B = 得s s f sf1+ s1=7.5cms 7.5=s-15,y12.2两个薄透镜L1和L2的口径分别是6cm和4cm，它们的焦距是f =9cm和 f2 =5cm,相距5cm,在L1和L2之间距离L2为2cm处放入一个带有直径为6cm 的小孔的光阑AB。物点位于L前方12cm处，求孔径光阑，入射光瞳和出射光 瞳。解：(1).求孔径光阑：(a)L1对其前面的光学系统成像是本身，对物点的张角为3tgu = 0.251 12(b)光阑AB对L1成像为AB

7、，。1 1 1 s 已知s = -3cm, f = f = 9cm,y = 3cm，由咼斯公式一=及 y = y，得1s s f s|y Ifsf+ s(3) x 9(3) + 9= - 4.5cm3= 4.5cmAB对物点的张角为4.5tgu = 0.272 12 + 4.5(c) L2对L成像为L21 1 1 s已知 s = 5cmf = f = 9cm, y = 2cm，由高斯公式一一-=及 y = y，得1s s f sS=忘=需= -11m-11.25 宀 彳=x 2 = 4.5cm-5L2对物点的张角为4.5tgu = 0.193 12 +11.25比较uu2及U3可知，L2对物点

8、的张角U3最小，故透镜L2为孔径光阑。(2) .求入瞳：孔径光阑L2对其前面的光学系统成像为入瞳，所以L2为入射光瞳, 位于 L1 右侧 11.25cm 处，口径为 9cm。(3) .求出瞳：L2孔径光阑对其后面的光学系统成像为出瞳。所以透镜L2又为出 瞳。2.5 用一正常调节的开普勒望远镜观察远处的星，设望远镜的物镜和目镜都可看作是单个薄透镜，物镜焦距人=80mm,相对孔径D/f0=0.5,目镜焦距 =10mm, 位于物镜后焦面上的分划板直径D=10mm，物镜为孔径光阑，分划板通光孔为 视场光阑。试求：(1)出瞳的位置和大小；(2)视角放大率；(3)入窗和出窗的位置；(4)物方视场角及像方视

9、场角的大小。解：(1)求出瞳：物镜为孔径光阑, 物镜对目镜所成的像为出瞳。 已知s = -90mm, f = f = 10mm，由高斯公式丄一1=，得es s f = 1 1.25mmf s _ 10 x (-90) f+ s 10 + (-90)D = |2 y | = y - 2 y11.25-90x 40 = 5mm即 出瞳位于目镜右侧 11.25mm 处，口径为 5mm 。(2)求视角放大率：由望远镜视角放大率的定义M = = 8倍e(3)求入窗和出窗：分划板通光孔为视场光阑，入窗为视场光阑对物镜所成之像已知s = -80mm,f = f = 80mm，由高斯公式丄1 =丄，得os s

10、 f s亠=80 %(-8)” f+ s80 + (80)即入窗位于物方无限远。而出窗为视场光阑对目镜所成之像，由于视场光阑也处于目镜的物方焦平面上， 故出窗位于像方无限远。4)求物方视场角及像方视场角的大小：(如图所示)习题图 2.5物方视场角3为入窗半径对入瞳中心的张角，其物理意义是能进入系统的主光 线与光轴的最大夹角。它又等于F.S的半径对入瞳中心的张角，即 tg =2 = 0.06250 80角30 共轭，入瞳中心与出瞳中心共轭，故其像方视场角3 0如图所它又等于F.S.半示。又由于F.S位于目镜的物方焦平面上，故由图中关系可知, 径对目镜中心的张角，即tg = 0.50 10故，像方

11、视场角为沁 26.565, 2 沁 53.13003.4 在玻璃中 z 方向上传播的单色平面波的波函数为E(p, t) = 102 exp i 冗 x 1015 (t 0-6) |式中 c 为真空中光速，时间以 s 为单位，电场强度以 v/m 为单位，距离以 m 为 单位。试求(1)光波的振幅和时间频率；(2)玻璃的折射率；(3) z 方向上的空间颇率；(4)在xz面内与x轴成45。角方向上的空间频率。解：将 E (p, t) = 102 exp iz宀1015(t 0-65C)E(p, t) = A exp i (t ) 比较 可得(1) A 二 102(V/m),2)n = - = C =

12、 1.54v0.65c1 nnv九九 c01.54 x 5 x10143 x108二 2.56 x106 (m-1)4)f = f cos 45。x二 2.56 x 106 吟=1.86 x 106 (m-1)兀 X1015-小V =:2兀=2冗=5 x 1014(Hz)3.6 一平面波函数的复振幅为E(p) = A exp2k3k )X +不y +帀Z J试求波的传播方向。解：因为kx = k COS务ky = k COS “备“ k COS語，则该波的方向余弦为COS “召cos 卩= ,14cos Y =3.10如习题图3.10 ,已知，一束自然光入射到折射率n = 4的水面3i1ni*

13、-ri- !！-WWW胁彻加习题图3.10上时反射光是线偏振的，一块折射率n = 3的平面玻璃浸在水面下，若要使玻2璃表面的反射光ON也是线偏振的，则玻璃表面与水平面夹角炉应为多大？解：如图当i为布儒斯特角时，i = 90。-，并由折射定律，可得丄二 36。561.33 n . . n .% .nsini = 1Sini = acosi , 故 i = tg-1 1 = tg-1 1 nn 122因为i?也是布儒斯特角,故tg -1 t = tg T 吕二 480262由图中几何关系可得 申二 i - i = 110302 13.13计算光波垂直入射到折射率为n= 1.33的深水表面的反射光和

14、入射光强 度之比。解：由菲涅耳公式，当光波垂直入射时，有R = (ZH)2及厶=Rn + n I211将n = 1, n = 1.33代入可得反射光和入射光强度之比1 2In n1.33 12 =(T1)2 = ()2 = 0.02 = 2%In + n1.33 +11 2 13.15 一光学系统由两枚分离的透镜组成，透镜的折射率分别为1.5和1.7。求此系统在光束接近正入射情况下反射光能的损失。如透镜表面镀上增透膜使表面反射率降为1%,问此系统的反射光能损失又是多少？n n解：在接近正入射情况下，i沁i沁0。R二R二R二（t2）2，两枚分离的透12s pn + n21镜四个界面的反射率分别为

15、1-1.5R = ()2 = 0.04 ,i 1+1.51-1.7R = ()2 = 0.0672 ,3 1 + 1.71.5-1R = ()2 = 0.042 1 + 1.51.7-1R = ()2 = 0.06723 1 + 1.7通过四个界面后总透射光能为：T 二 T - T - T - T 二(1 R )(1 R )(1 R )(1 R )12341234二(1 0.04)2(1 0.0672)2 二 0.802 二 80.2%光束接近正入射情况下反射光能的损失为19.8% 。若透镜表面镀上增透膜使表面反射率降为 1，则总透射光能为T 二 T - T - T - T 二(1 R )(1

16、 R )(1 R )(1 R )12341234二(1 0.01)2(1 0.01)2 二 0.96 二 96%光束反射光能的损失为4%4.2在杨氏实验中，双孔间距为5.0mm,孔与接收屏相距为1.0m。入射光中包含波长为480nm 和600nm两种成分，因而看到屏上有两组干涉图样，试求这两种波长的第2级亮纹的距离。解：已知 t = 5mm， D = 1000mm，九=480nm = 4800x10-7mm = 4.8x10-4mm，九二600nm = 6x 10-4mm，由公式x = KD九，得KtX x = 2 D （九一九）=2 x103 x （6 x 10-4 4.8 x 10-4）=

17、 0.048mm22 t54.5波长A= 500nm的单色平行光正入射到双孔平面上，已知双孔间距t = 0.5mm，在双孔屏 另一侧5cm处放置一枚像方焦距f = 5cm的理想薄透镜L，并在L的像方焦平面处放置接收 屏。求：（1）干涉条纹间距等于多少？（2）将透镜往左移近双孔2cm，接收屏上干涉条纹间距又等于多少？ 解：（1）由题意，位于焦平面上的两个次级点光源经透镜后形成两束平行光，将发生干涉 其条纹间距为Ax =九2sin 0将九二 500 nm,sin0t/2 _ 0.25f _贡_ 0.005代入上式，得Ax _5002 x 0.005_ 5 x104 nm _ 50 m（2）若将透镜

18、向左移近双孔2cm,此时不再是平行光干涉。 S经透镜L生成两个像S：、S，它们构成一对相干光源。由高斯公式，并将s _-3cm，f _5cm代入可得S _ -7.5cm习题图 4.52s_7 5又由卩_ 2.5s- 3所以 t _ S S _ B t _ 2.5 x 0.5 _ 1.25mm_ |sj + 2 + 5 _ 7.5 + 2 + 5 _ 14.5cm=145mm12于是D145Ax _X _x 5 x 10-4 _ 5.8 x10-2 mmt1.254.8设菲涅耳双面镜的夹角为15，缝光源距双面镜交线10 cm，接收屏与光源经双面镜所成 的两个虚像连线平行，屏与双面镜交线距离为21

19、0cm，光波长为600nm,求：（1）干涉条纹间距为多少？（2）在屏上最多能看到几条干涉纹？（3）如果光源到双面镜距离增大一倍，干涉条纹有什么变化？（4）如果光源与双面镜交线距离保持不变，而在横向有所移动，干涉条纹有什么变化？5）为保证屏上的干涉条纹有很好的可见度，允许缝光源的最大宽度为多少？解：(1)将 D0 _ 210 cm,l = 10cm， 0 _15 _15 x1 兀x60 18015 x 2.909 x10-4rad，X _ 600nm _ 6x10-5 cm 代入公式A D +1)Ax _ 0 九210可得： Ax _(210 +10) x 6 x10-52x10x15x2.90

20、9x10-4_ 0.15cm _1.5mm2）如图，屏上相干光束交叠范围BO习题图 4.8DoS1O ”S2BO = D - tan0 = 210 x tan 15 = 9.24 mm 故罟=甞=6-16即，屏上在零级亮纹两侧可出现6 个极大值，整个屏上能 看到的亮纹数为N = 1 + 6 x 2 = 13 条（3）将l = 2l = 20 cm及（1）题中各值代入Ax表示式,Ax-畔九(210 + 20)x6x 10-5 0.79mm2l 02 x 20 x 15 x 2.909 x 10- 4Ax于是:卷=9.79=Il-7故, N = 1 + llx2 = 23条4）若光源沿横向移动，则

21、条纹上下移动。aa由图可见，ZOS1O =乙，其中a为干涉孔径角；ZOOS1 =0= y + ZS1，ia2 D eZSOO = le 1(1 + D )，即2(e - ZS OO)二 2(0-)二一1o1D +1 D +100故缝光源的临界宽度为J= Do + l (210 + 10) X 6 X 10-5=0几一一0.0/2a2D 02 x 210 x 15 x 2.909 x 10-404.15用波长为500nm的单色光照明一个宽为0.1mm的缝作为杨氏双缝干涉实脸的光源，设光源缝至双缝距离为0. 5 m，试问恰能观察到干涉条纹时两缝间最大距离是多少？解： t =九，将1 = 5 x 1

22、02 mm， b = 0-1 mm，九=500 nm = 5 x 10-4 mm 代入，得: b5x102x5x10-4t 2.5mm0.14.17在杨氏双缝实验装置中，双缝相距0.5mm，接收屏距双缝1m,点光源距双缝30cm, 它发射 启500nm的单色光。试求：(1) 屏上干涉条纹间距；(2) 若点光源由轴上向下平移2mm,屏上干涉条纹向什么方向移动？移动多少距离？(3) 若点光源发出的光波为5002.5nm范围内的准单色光，求屏上能看到的干涉极大的最 高级次；(4) 若光源具有一定的宽度，屏上干涉条纹消失时，它的临界宽度是多少？解：(1)由 Ax =九，将t = 0.5mm， D =

23、103mm,九=5xl0-4mm代入，得t103 x 5 x 10-4Ax = 1 mm0.5(2)若将光源向下平移2mm,则干涉条纹向上移动，移动的距离为300 X 2 = 6.67mm(3) 设屏上能看见的条纹的最高干涉级次为K因为能产生干涉的最大光程差必小于相干长度，即二500nm，A二5nm代入上式，得500 =100(4) 光源的临界宽度为l 300b = 一九=x 5 x10-4 = 0.3 mmt 0.54.20在阳光照射下，沿着与肥皂膜法线成30方向观察时，见膜呈绿色(久=550nm)，设肥皂液的折射率为1.33。求：1 )膜的最小厚度；(2)沿法线方向观察时是什么颜色？九解:

24、 (1)由 2hxn2 -n2 sin2 i - = Kk，得 0 2h =2Jn 2 n 2 sin2 i0将n = 1.33， n = 1， i = 30，九=550nm代入上式并取K = 0得最小厚度h = 0.112 x 10-6m m(2)若i = 0，由 2hn2 - n2 sin2 i 一 = K九，得八022h Jn2 - n2 sin2 iX = m0K +丄2将 h = 0.112 x 10-6m, n = 1.33, n = 1, i = 0O, K = 0代入，得 m0九=595.8n m,故呈黄色。这道题表明，我们可以通过改变视线角i来观察注视点色调的变化。如题，当视

25、线角从30 变化至0,注视点的色调则从绿色变为黄色。当然，读者还可以进一步思考，若膜厚不为 最小值（即令K = 1,2,等等）时，注视点的色调会发生怎样的变化。4.21将曲率半径为1m的薄凸透镜紧贴在平晶上，并用钠光a = 589.3nm）垂直照射，从反 射光中观察牛顿环，然后在球面和平面之间的空气隙内充满四氯化碳液体（n = 1.461），试求 充液前后第 5 暗环的半径之比以及充液后第5 暗环的半径等于多少？ 解：若牛顿环中充以某种折射率为 n 的液体，则由其第 K 级暗环半径公式iKX Rr =暗 n可知，充液前后第 5 级暗环半径之比为殳=、n = 1.461 = 1.21丫；空5 厂

26、充液后第 5 级暗环半径为,5XR5x589.3x 10-9 x1 4 “口= 询=皿讪4.25 用彼此以凸面紧贴的两平凸透镜观察反射光所生成的牛顿环，两透镜的曲率半径分别为R1和R2,所用光波波长为久，求第K级暗环的半径。若将曲率半径为R1的平凸透镜凸面放 在曲率半径为R2的平凹透镜凹面上（R2R），第K级暗环的半径又等于多少？解：由图可见h二件+ h2，而所以A九 J 1、九A = 2h += r 2(+) +2 R R 212当A = (K + 2)九时，得第K级暗环/11、九“1、即 r2 (+) += (K + )九RR 2212于是可得第K级暗环的半径为r k11K 尢 /(+)R

27、R1 2(RR12 I R + R 、1 2第二种情况如图(b)所示，由图可见，h二h1于是同理可得第K级暗环的半径为r k(RR12 I R - R 、1 24.33 FP干涉仪工作表面的反射率为0.90，两反射表面相距3 mm,用波长为九二600 nm 的单色光照明，求：(1) 精细系数F、半强相位宽度&精细度F；(2) 干涉条纹的最高级数K和中央往外数第3亮环的角半径。解：(1)已知R = 0.90，则其精细系数为4 R(1 - R )24 x 0.9(1 - 0.9)2其条纹半强相位宽度为2 14,精细度为F-360 29.82h(2)由2h Kg得最咼干涉级K = ，并将h = 3m

28、m，九=6x 10-4 mm代入，得 00 九K -2 x 3 10406 x 10-4由于第K级亮环的角半径为此处公式说明删去）.1I n0将 “0 = 1， h = 3mm， n = 1， m = K = 3 代入，得3x 6x 10 2.45 x 10-2rad 35.4 一束直径为2mm的氦氖激光（九632.8nm）自地面射向月球。已知月球离地面的距 离为3.76x 105 km,问在月球上得到的光斑有多大（不计大气的影响）？若把这样的激光束经扩束器扩大到直径为2m和5m后再发射，月球上的光斑各有多大?解：设月球上光斑直径为d则 d - 2r 旦D将r 3.76x108m,九632.8

29、x10-9m， D 2x10-3m代入，得d 2 x 3.76 x 108 x 1.22 x 632.8 x 109 290 x 103 m = 290km2x10-3若D 2 m,则d 2 x 3.76 x 108 x 1.22 x 632.8 x 109 290m若D 5 m,则d 2x3.76x 108 x 1.22X632.8X 109 116m本题旨在认识衍射反比规律，即对光束限制愈大，衍射场愈弥散。5.12用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽a = 0.012mm,不透明部分b =0.029m m,缝数 N = 103 条。试求：（1）中央峰的角宽度；（2）中央峰

30、内干涉主极大的数目；（3）谱线的半角宽度。尢解：（1）中央峰的角宽度为：20= 2，将九=6.24x 10-4 mm, a = 0.012mm代入，得a20 = 2 x6.24 x 10 -40.012= 0.104 rad0.0123）谱线半角宽度为八X几2）中央峰内主极大数目为n = 2 K -1 = 2 d -1 = 2 出-1 aac 0.012 + 0.029=2 x一 1 = 75.13 一光栅的光栅常数d = 4pm,总宽度W = 10cm，现有波长为500nm和500.01nm的平面 波垂直照射到这块光栅上，选定光栅在第2级工作，问这两条谱线分开多大的角度？能否分 辨此双线？解

31、：由光栅方程dsin0 = K，在9角很小时，有小 KXKXKAX 2 x 0.01x 10 -9 = “A0 =2 -1 = 5 x10 -6 radd d d4 x 10-6而根据光栅的色分辨本领公式R =X= 5x 104，即需R = 5x104的光栅才能将这AX 0.01W两条谱线分辨。对题给的光栅R = KN = K，将K = 2，W = 10x10-2m, d = 4x10-6md代入，得10 x10 -24 x10 -6=5x104恰好可以分辨。5.16有2N条平行狭缝，缝宽都是a,缝间不透光部分的宽度作周期性变化:a, 3a, a, 3a,(见图 5.2)，单色平行光正入射到多

32、缝上，求下列各种情形中的夫琅禾费衍射光强分布：1) 遮住偶数缝2) 遮住奇数缝3) 全开放。解:因为复杂光栅的强度分布为I (6)二 I M 2(6) N 2(6)0其中M(6 )为衍射因子，N(6 )为干涉因子,习题图5.16sin a兀 a sin 6M(6)P十sin ND兀 d sin 6N(6)=时陆在(1)、(2)情况下，d = 6a,故卩=6a，于是得I (6 ) = 1(沁)2(巴譽)20 asin6a在情况下，将每两缝看作-个衍射单元，其衍射因子册(6)=晋喘，因为阻豊四=2幺，故M (6)二 2in a、 I a丿cos2a其干涉因子为N(6)=兽，因为卩=巴兽6 = 6a

33、，故sin p九N (6) = sin N6a sin6a故全开放时，其衍射光强为sinasinN 6a、I(0) = 41 (cos 2a)2()20 asin6a5.17 闪耀光栅刻线数为100条/mm：用九二600 nm的单色平行光垂直入射到光栅平面,若第 2 级光谱闪耀，闪耀角应为多大？解：由闪耀光栅的干涉主极大公式2d cos i sin0二K九因为平行光沿光栅平面的法线垂直入射，所以i =0，即有2d cos0 sin 0 = Kk将K = 2代入得，d sin 20 = 2k，故0 = sin -1()=2 d1 .2 x 6 x 10 -4.sin -1(2 10-2=3.45

34、% 3。275.18 一波长589nm的单色平行光照明一直径为D = 2.6mm的小圆孔，接收屏距孔1.5m,问轴线与屏的交点是亮点还是暗点？当孔的直径改变为多大时，该点的光强发生相反的变化p2(R + r )解：小孔露出的波面部分对交点所包含的半波带数为n=显Rr k0因为是平行光入射，即R Ta，有P2kr0将 k = 589 nm = 5.89x10-4 mm，= 1.3mm，r0 =卩X 103mm代入，得=1.91 沁 21.325.89 x10-4 x1.5 x103n为偶数，则该交点是一个暗点。若要使它变为亮点，则须n = 1或者n = 3。当n = 1时，p = ,：kr = J5.89x 10-4 x1.5x103 = 0.94mm1 v 0当n = 3时，p =i ：3kr =、：3p = v3 x 0.94 = 1.63 mm301其相应小孔的直径为D广 2P 广 l88mm 及 D2 - 2P 2 - 3.26mm