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1、二项式定理习题课二项式定理习题课二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 基本知识点基本知识点:降幂降幂 升幂升幂 等距离等距离 基本知识点基本知识点:题型一题型一:求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数 小结小结:例例2.已已知知 的的展展开开式式中中，第第4项项的的二二项项式式系系数数是是倒倒数数第第2项项的的二二项项式式系系数数的的7倍倍，求求展展开开式式中中二二项项式式系系数数最大的项和系数最大的项最大的项和系数最大的项.解：解：依题意依题意整理得整理得 展开式中二项式系数最大的项为：展开式中二项式系数最大的项为：题型二题型二:求展开式中系数最大求
2、展开式中系数最大(小小)的项的项设展开式中第设展开式中第r+1项的系数最大，则项的系数最大，则解得解得 展开式中系数最大的项为：展开式中系数最大的项为：由此确定由此确定r r的取值的取值小结小结:解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是项是系数最大的项，则有系数最大的项，则有解得题型三题型三:二项式系数和或各项的系数和的问题二项式系数和或各项的系数和的问题 小结小结:(1)(1)(2)(2)练习练习3所以（3）题型四:二项式定理的逆用例例4 4 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形解解:(2):(2)原式原式题型五题型五:求乘积二项式展开式中特定的项求
3、乘积二项式展开式中特定的项(特特 定项的系数定项的系数)例例5 5:求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数.解解的通项是的通项是:的通项是的通项是:的通项是的通项是:由题意知解得所以所以 的系数为的系数为:小结小结:对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算例例6（1）求证：）求证：1110 1 能被能被100整除整除.证明：证明：（1）1110 1 能被能被100整除整除.（2）求）求 被被19除所得的余数除所得的余数.题型六题型六:整除问题整除问题解解（2）被被19除所得的余数是除所得的余数是 196=13
4、.例例6.（1）求证：）求证：1110 1 能被能被100整除；整除；（2）求）求 被被19除所得的余数除所得的余数.变式变式.求求 1090 除以除以 7 的余数的余数.（C层）层）解：解：展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，其末项为其末项为：展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7 的余数为的余数为 1.其末项为其末项为1，解解2：展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7 的余数为的余数为 1.其末项为其末项为1，小结小结：利用二项式定理证明整除（或求余数）问
5、题，通常：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式把底数拆成与除数的倍数有关的和式变式变式练习练习:题型七题型七:证明恒等式证明恒等式析析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加例7题型八题型八:证明不等式证明不等式证明证明:例例的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为
6、-20练习练习一选择题一选择题1(041(04福建福建)已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120,其中实数其中实数 是常数是常数,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是()()C2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于()()A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（）A0 B1 C2 D3A展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P；二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且且P+S=272P+S=272，则展开式则展开式 的常数项为的常数项为_108
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