2013届高考数学总复习课件-立体几何

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1、数 学 直 通 车 -立 体几 何知 识 体 系 第 一 节 空 间 几 何 体 的 结 构 及 其 三 视 图 和 直 观 图基 础 梳 理1. 多 面 体(1)有 两 个 面 互 相 平 行 ,其 余 各 面 都 是 四 边 形 ,并 且 每 相 邻 两 个 四 边形 的 公 共 边 都 互 相 平 行 ,由 这 些 面 所 围 成 的 多 面 体 叫 做 棱 柱 .(2)有 一 个 面 是 多 边 形 ,其 余 各 面 都 是 有 一 个 公 共 顶 点 的 三 角 形 ,由这 些 面 所 围 成 的 多 面 体 叫 做 棱 锥 .(3)用 一 个 平 行 于 棱 锥 底 面 的 平 面

2、 截 棱 锥 ,底 面 和 截 面 之 间 的 这 部 分多 面 体 叫 做 棱 台 . 2. 旋 转 体(1)以 矩 形 的 一 边 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 ,其 余 三 边 旋 转 形 成 的 面 所 围成 的 旋 转 体 叫 做 圆 柱 .(2)以 直 角 三 角 形 的 一 条 直 角 边 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 ,其 余 两 边 旋 转形 成 的 面 所 围 成 的 旋 转 体 体 叫 做 圆 锥 .(3)以 半 圆 的 直 径 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 ,将 半 圆 旋 转 一 周 形 成 的 旋 转体 叫 做 球 体 ,简 称 球 .3. 三 视

3、 图 和 直 观 图(1)三 视 图 是 从 一 个 几 何 体 的 正 前 方 、 正 左 方 、 正 上 方 三 个 不 同 的方 向 看 这 个 几 何 体 ,描 绘 出 的 图 形 ,分 别 称 为 正 视 图 、 侧 视 图 、 俯 视图 .(2)三 视 图 的 排 列 顺 序 :先 画 正 视 图 ,俯 视 图 放 在 正 视 图 的 下 方 ,侧 视图 放 在 正 视 图 的 右 方 . (3)三 视 图 的 三 大 原 则 :长 对 正 、 高 平 齐 、 宽 相 等 . (4)水 平 放 置 的 平 面 图 形 的 直 观 图 的 斜 二 测 画 法 ： 在 已 知 图 形

4、中 ,取 互 相 垂 直 的 x轴 和 y轴 ,两 轴 相 交 于 点 O,画 直 观 图 时 ,把 它 们 画 成 对 应 的 x 轴 和 y 轴 ,两 轴 相 交 于 O ,且 使 x O y =45 (或 135 ),用 它 们 确 定 的 平 面 表 示 水 平 面 . 已 知 图 形 中 平 行 于 x轴 或 y轴 的 线 段 ,在 直 观 图 中 ,分 别 画 成 平 行 于 x轴 或 y 轴 的 线 段 . 已 知 图 形 中 平 行 于 x轴 的 线 段 ,在 直 观 图 中 保 持 原 长 度 不 变 ； 平 行 于 y轴 的 线 段 ,在 直 观 图 中 长 度 变 为 原

5、 来 的 一 半 .典 例 分 析题 型 一 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征【 例 1】 根 据 下 列 对 几 何 体 结 构 特 征 的 描 述 ,说 出 几 何 体 的 名 称 .(1)由 八 个 面 围 成 ,其 中 两 个 面 是 互 相 平 行 且 全 等 的 正 六 边 形 ,其 他 各 面 都 是 矩 形 ;(2)一 个 等 腰 梯 形 绕 着 两 底 边 中 点 的 连 线 所 在 的 直 线 旋 转 180 形 成 的 封闭 曲 面 所 围 成 的 图 形 ;(3)一 个 直 角 梯 形 绕 较 长 的 底 边 所 在 的 直 线 旋 转 一 周 形 成 的 曲 面

6、 所 围 成的 几 何 体 . 分 析 要 判 断 几 何 体 的 类 型 ,从 各 类 几 何 体 的 结 构 特 征 入 手 ， 以 柱 、锥 、 台 的 定 义 为 依 据 ， 把 复 杂 的 几 何 体 分 割 成 几 个 简 单 的 几 何 体 .解 (1)如 图 1所 示 ,该 几 何 体 满 足 有 两 个 面 平 行 ,其 余 六 个 面 都 是 矩形 ,可 使 每 相 邻 两 个 面 的 公 共 边 都 互 相 平 行 ,故 该 几 何 体 是 正 六 棱 柱 .(2)如 图 2所 示 ,等 腰 梯 形 两 底 边 中 点 的 连 线 将 梯 形 平 分 为 两 个 直 角

7、梯形 ,每 个 直 角 梯 形 旋 转 180 形 成 半 个 圆 台 ,故 该 几 何 体 为 圆 台 .(3)如 图 3所 示 ,由 梯 形 ABCD的 顶 点 A引 AO CD于 O点 ,将 直 角 梯 形 分 为一 个 直 角 三 角 形 AOD和 矩 形 AOCB,绕 CD旋 转 一 周 形 成 一 个 组 合 体 ,该 组合 体 由 一 个 圆 锥 和 一 个 圆 柱 组 成 . 图 1 图 2 图 3 学 后 反 思 对 于 不 规 则 的 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 问 题 ,要 对 原 平 面 图 形 作适 当 的 分 割 ,再 根 据 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 的

8、 结 构 特 征 进 行 判 断 .举 一 反 三1. 如 图 所 示 ， 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB BC， 绕 着 CD所 在 直 线 l旋 转 ， 试 画出 立 体 图 并 指 出 几 何 体 的 结 构 特 征 .解 析 ：如 图 所 示 ， 过 A、 B分 别 作 CD， CD， 垂 足 分 别为 、 ， 则 Rt 绕 l旋 转 一 周 所 形 成 的 面 围 成 的 几 何体 是 圆 锥 ， 直 角 梯 形 绕 l旋 转 一 周 所 形 成 的 面 围 成的 几 何 体 是 圆 台 ， Rt 绕 l旋 转 一 周 所 形 成 的 面 围 成的 几 何 体 是 圆 锥 .综

9、 上 可 知 ， 旋 转 所 得 的 几 何 体 下 面 是 一个 圆 锥 ， 上 面 是 一 个 圆 台 挖 去 了 一 个 以 圆 台 上 底 面 为 底面 的 圆 锥 . 2BO1AO1O 2O 1 2O ABO1DOA2CO B 【 例 2】 下 列 三 个 命 题 ， 其 中 正 确 的 有 ( ) 用 一 个 平 面 去 截 棱 锥 ， 棱 锥 底 面 和 截 面 之 间 的 部 分 是 棱 台 ； 两 个 底 面 平 行 且 相 似 ， 其 余 各 面 都 是 梯 形 的 多 面 体 是 棱 台 ； 有 两 个 面 互 相 平 行 ， 其 余 四 个 面 都 是 等 腰 梯 形

10、的 六 面 体 是 棱 台 .A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个题 型 二 基 本 概 念 与 性 质分 析 利 用 棱 台 的 定 义 和 特 殊 几 何 体 加 以 说 明 .解 中 的 平 面 不 一 定 平 行 于 底 面 ， 故 错 ；如 图 ， 四 条 侧 棱 不 一 定 交 于 一 点 ， 故 错 ， 答 案 选 A.学 后 反 思 在 开 始 学 习 立 体 几 何 时 ， 要 学 会 观 察 、 分 析 并 记 住 一 些 特 殊 的 物体 或 图 形 ， 以 便 于 我 们 做 题 .反 例 推 证 是 一 种 重 要 的 数 学 方 法 ， 望 大 家 熟 练

11、掌 握 . 举 一 反 三2. 下 面 是 关 于 四 棱 柱 的 四 个 命 题 : 若 有 两 个 侧 面 垂 直 于 底 面 ,则 该 四 棱 柱 为 直 四 棱 柱 ; 若 过 两 个 相 对 侧 棱 的 截 面 都 垂 直 于 底 面 ,则 该 四 棱 柱 为 直 四 棱 柱 ; 若 四 个 侧 面 两 两 全 等 ,则 该 四 棱 柱 为 直 四 棱 柱 ; 若 四 棱 柱 的 四 条 对 角 线 两 两 相 等 ,则 该 四 棱 柱 为 直 四 棱 柱 .其 中 ,真 命 题 的 编 号 是 .解 析 : 对 于 ,平 行 六 面 体 的 两 个 相 对 侧 面 也 可 能 与

12、底 面 垂 直 且 互 相 平 行 ,故 假 ;对 于 ,两 截 面 的 交 线 平 行 于 侧 棱 ,且 垂 直 于 底 面 ,故 真 ;对 于 ,作 正 四 棱 柱的 两 个 平 行 菱 形 截 面 ,可 得 满 足 条 件 的 斜 四 棱 柱 ,如 图 1,故 假 ;对 于 ,四 棱 柱 一个 对 角 面 的 两 条 对 角 线 恰 为 四 棱 柱 的 对 角 线 ,故 对 角 面 为 矩 形 ,于 是 侧 棱 垂 直 于底 面 的 一 对 角 线 ,同 样 侧 棱 也 垂 直 于 底 面 的 另 一 对 角 线 ,故 侧 棱 垂 直 于 底 面 ,故 真 ,如 图 2. 答 案 : 题

13、 型 三 柱 、 锥 、 台 中 的 计 算 问 题【 例 3】 正 四 棱 台 的 高 是 17 cm,两 底 面 边 长 分 别 是 4 cm和 16 cm,求 棱 台 的侧 棱 长 和 斜 高 .分 析 求 棱 台 的 侧 棱 长 和 斜 高 的 关 键 是 找 到 相 关 的 直 角 梯 形 ,然 后 构造 直 角 三 角 形 ,解 决 问 题 .解 如 图 所 示 ,设 棱 台 的 两 底 面 的 中 心 分 别 是 、 O, 和 BC的 中 点 分 别是 和 E,连 接 、 、 、 OB、 、 OE,则 四 边 形 和 都 是 直 角 梯 形 . =4 cm,AB=16 cm, =

14、2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,=19 cm, 棱 台 的 侧 棱 长 为 19 cm,斜 高 为 cm. 1 1BC1O1E 1OO 1E E 1 1OB 1 1OE 1 1OBBO 1 1OEEO1 1AB1 1OE 1 1OB 2 2 221 1 1 1BB OO OB OB 221 1 1 1 5 13E E OO OE OE 5 13 学 后 反 思 （ 1） 把 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 去 解 是 解 决 立 体 几 何 问 题的 常 用 方 法 .（ 2） 找 出 相 关 的 直 角 梯 形 ， 构 造 直 角 三 角 形 是 解 题

15、的 关 键 ， 正 棱 台 中许 多 元 素 都 可 以 在 直 角 梯 形 中 求 出 .举 一 反 三3. 一 个 底 面 半 径 和 高 都 是 R的 圆 柱 中 ,挖 去 一 个 以 圆 柱 上 底 面 为 底 ,下 底面 中 心 为 顶 点 的 圆 锥 ,得 到 如 图 所 示 的 几 何 体 .如 果 用 一 个 与 圆 柱 下 底 面距 离 等 于 l并 且 平 行 于 底 面 的 平 面 去 截 它 ,求 所 得 截 面 的 面 积 .解 析 ： 轴 截 面 如 图 所 示 : 被 平 行 于 下 底 面 的 平 面 所 截 得 的 圆 柱 的 截 面 圆 的 半 径 ,设 圆

16、 锥 的 截 面圆 的 半 径 为 x. OA=AB=R, OAB是 等 腰 直 角 三 角 形 .又 CD OA,则 CD=BC, =AC,即 x=l. 截 面 面 积 1OC R1OD 1OD 2 2 2 2S R l R l . 题 型 四 三 视 图 与 直 观 图【 例 4】 螺 栓 是 由 棱 柱 和 圆 柱 构 成 的 组 合 体 ,如 下 图 ,画 出 它 的 三 视 图 .分 析 螺 栓 是 棱 柱 、 圆 柱 组 合 而 成 的 ， 按 照 画 三 视 图的 三 大 原 则 “ 长 对 正 ， 高 平 齐 ， 宽 相 等 ” 画 出 . 解 该 物 体 是 由 一 个 正

17、六 棱 柱 和 一 个 圆 柱 组 合 而 成 的 ,正 视 图 反 映 正六 棱 柱 的 三 个 侧 面 和 圆 柱 侧 面 ,侧 视 图 反 映 正 六 棱 柱 的 两 个 侧 面 和 圆柱 侧 面 ,俯 视 图 反 映 该 物 体 投 影 后 是 一 个 正 六 边 形 和 一 个 圆 (中 心 重合 ).它 的 三 视 图 如 下 图 :学 后 反 思 （ 1） 在 绘 制 三 视 图 时 ,若 相 邻 两 物 体 的 表 面 相 交 ,表 面 的 交 线是 它 们 的 分 界 线 .在 三 视 图 中 ,分 界 线 和 可 见 轮 廓 线 都 用 实 线 画 出 .例 如 上图 中

18、,表 示 上 面 圆 柱 与 下 面 棱 柱 的 分 界 线 是 正 视 图 中 的 线 段 AB、 侧 视 图中 的 线 段 CD以 及 俯 视 图 中 的 圆 .（ 2） 有 些 几 何 体 的 正 视 图 和 侧 视 图 会 因 观 察 角 度 的 不 同 而 不 同 ， 因 此 ， 要 注 意 几 何 体 中 所 给 出 的 观 察 角 度 . 举 一 反 三4. (2008广 东 )将 正 三 棱 柱 截 去 三 个 角 (如 图 1所 示 ,A、 B、 C分 别 是 GHI三 边 的 中 点 )得 到 几 何 体 如 图 2,则 该 几 何 体 按 图 2所 示 方 向 的 侧视

19、图 为 ( ) 解 析 由 正 三 棱 柱 的 性 质 得 ,侧 面 AED 底 面 EFD,则 侧 视 图 必 为 直角 梯 形 ,且 线 段 BE在 梯 形 内 部 .答 案 A【 例 5】 (12分 )用 斜 二 测 法 画 出 水 平 放 置 的 等 腰 梯 形 的 直 观 图 .分 析 画 水 平 放 置 的 直 观 图 应 遵 循 以 下 原 则 :(1)坐 标 系 中 x O y =45 ;(2)横 线 相 等 ,即 A B =AB,C D =CD;(3)竖 线 是 原 来 的 ,即 O E = OE.12 12 画 法 (1)如 图 1,取 AB所 在 直 线 为 x轴 ,AB

20、中 点 O为 原 点 ,建 立 直 角 坐 标系 ,.3画 对 应 的 坐 标 系 x O y ,使 x O y =45 .5(2)以 O 为 中 点 在 x 轴 上 取 A B =AB,在 y 轴 上 取 O E = OE,以E 为 中 点 画 C D x 轴 ,并 使 C D =CD10(3)连 接 B C 、 D A ,所 得 的 四 边 形 A B C D 就 是 水 平 放 置 的等 腰 梯 形 ABCD的 直 观 图 ,如 图 2.12 图 1 图 2 12 学 后 反 思 在 原 图 形 中 要 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 ， 一 般 取 图 形 中 的 某一 横 线

21、 为 x轴 ， 对 称 轴 为 y轴 ， 或 取 两 垂 直 的 直 线 为 坐 标 轴 ， 原 点 可 建在 图 形 的 某 一 顶 点 或 对 称 中 心 、 中 点 等 .坐 标 系 建 得 不 同 ， 但 画 法 规则 不 变 ， 关 键 是 画 出 平 面 图 形 中 相 对 应 的 顶 点 . 举 一 反 三5. 如 图 建 立 坐 标 系 ， 得 到 的 正 三 角 形 ABC的 直 观 图 不 是 全 等 三 角 形 的一 组 是 ( )解 析 : 按 照 斜 二 测 画 法 的 作 图 规 则 ,对 四 个 选 项 逐 一 验 证 ,可 知 只 有 选 项 C符合 题 意 .

22、 答 案 : C 易 错 警 示【 例 】 画 出 如 图 1所 示 零 件 的 三 视 图 .错 解 图 1的 零 件 可 看 做 是 一 个 半 圆 柱 、 一 个 柱 体 、 一 个 圆 柱 的 组 合 ,其 三 视 图 如 图 2. 图 1 图 2错 解 分 析 错 误 原 因 是 图 中 各 视 图 都 没 有 画 出 中 间 的 柱 体 和 圆 柱 的交 线 ， 画 图 时 应 画 出 其 交 线 .正 解 考 点 演 练10. 多 面 体 上 ， 位 于 同 一 条 棱 两 端 的 顶 点 称 为 相 邻 的 .如 图 所 示 ， 正 方 体 的一 个 顶 点 A在 平 面 内

23、， 其 余 顶 点 在 的 同 侧 .正 方 体 上 与 顶 点 A相 邻 的 三 个顶 点 到 的 距 离 分 别 为 1,2和 4.P是 正 方 体 的 其 余 四 个 顶 点 中 的 一 个 ， 则 P到平 面 的 距 离 可 能 是 ： 3； 4； 5； 6； 7.以 上 结 论 正 确 的 为 .（ 写 出 所 有 正 确 结 论 的 编 号 ）解 析 : 设 底 面 四 点 分 别 为 A、 B、 C、 D， 连 接 AC、 BD，且 ACBD=O,B、 C、 D、 O在 平 面 上 的 射 影 分 别 为B、 C、 D、 K,则当 点 P在 点 C的 位 置 时 ， 有 CC=2

24、OK=3,所 以 正 确 .同 理 可 得 、 、 也 是 正 确 的 . 答 案 : 1 2 3OK .2 2 11. 圆 台 的 两 底 面 半 径 分 别 为 5 cm和 10 cm,高 为 8 cm,有 一 个 过 圆台 两 母 线 的 截 面 ,且 上 、 下 底 面 中 心 到 截 面 与 两 底 面 交 线 的 距 离 分别 为 3 cm和 6 cm,求 截 面 面 积 .解 析 如 图 所 示 截 面 ABCD,取 AB中 点 F,CD中 点 E,连 接 OF, ，EF, ,OA,则 为 直 角 梯 形 ,ABCD为 等 腰 梯 形 ,EF为 梯 形 ABCD的 高 ,在 直

25、角 梯 形 中 , （ cm） ，在 Rt 中 ， （ cm） ,同 理 , （ cm） , 1OE1OD 1OEFO 1OEFO 221 1 73EF OO OF OE 1OED 2 21 1 4DE OD OE 2 2 8AF OA OF 21 2 4 8 73 12 732ABCDS cm 梯 形 12. 有 一 块 扇 形 铁 皮 OAB， AOB=60 ， OA=72 cm， 要 剪 下 来 一 个 扇 环 形ABCD作 圆 台 形 容 器 的 侧 面 ， 并 在 余 下 的 扇 形 OCD内 剪 下 一 块 与 其 相 切 的 圆形 ， 使 它 恰 好 作 圆 台 形 容 器 的

26、下 底 面 （ 大 底 面 ， 如 图 ） ， 试 求 ：（ 1） AD应 取 多 长 ？（ 2） 容 器 的 容 积 .解 析 ：(1)如 图 ， 设 圆 台 上 、 下 底 面 半 径 分 别 为 r、 R， AD=x， 则 OD=72-x.由 题 意 得 R=12,r=6,x=36， AD=36 cm. 60AB 2 R 72,18060CD 2 r 72 x ,180OD 72 x 3R, (2)圆 台 的 高 22 22 2 2 2 23h x R r36 12 66 351V h R Rr r31 6 35 (12 12 6 6 )3504 35 cm . ， 第 二 节 空 间

27、几 何 体 的 表 面 积 与 体 积基 础 梳 理1. 柱 体 、 锥 体 、 台 体 的 侧 面 积 ,就 是 各 侧 面 面 积 之 和 ； 表 面 积 是 各 个 面的 面 积 之 和 ,即 侧 面 积 与 底 面 积 之 和 .2. 把 柱 体 、 锥 体 、 台 体 的 面 展 开 成 一 个 平 面 图 形 ,称 为 它 的 展 开 图 ,它的 表 面 积 就 是 展 开 图 的 面 积 .3. 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 的 侧 面 积 及 表 面 积 2 2S =2 , =2 ;= , = ; , .rl S r r lS rl S r r lS r r l S r r

28、r l rl 圆 柱 侧 柱圆 锥 侧 锥圆 台 侧 台 4. 柱 、 锥 、 台 体 的 体 积这 是 柱 体 、 锥 体 、 台 体 统 一 计 算 公 式 ,特 别 地 ， 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台还 可 以 分 别 写 成 : 5. 球 的 体 积 及 球 的 表 面 积设 球 的 半 径 为 R, 2 2 2 21 1= r , = r , 3 3V h V h V h r r r r 圆 柱 圆 锥 圆 台3 24= R S =4 R3V 球 球， 3 1= , =a , = ,V = Sh31= 3V abc V V ShV S S SS h 长 方 体 正 方 体 柱 锥

29、台 典 例 分 析题 型 一 几 何 体 的 表 面 积 问 题【 例 1】 已 知 一 个 正 三 棱 台 的 两 底 面 边 长 分 别 为 30 cm和 20 cm,且 其 侧面 积 等 于 两 底 面 面 积 之 和 ,求 棱 台 的 高 .分 析 要 求 正 棱 台 的 高 ， 首 先 要 画 出 正 棱 台 的 高 ， 使 其 包 含 在 某一 个 特 征 直 角 梯 形 中 ， 转 化 为 平 面 问 题 ， 由 已 知 条 件 列 出 方 程 ，求 解 所 需 的 几 何 元 素 .解 如 图 所 示 ,正 三 棱 台 ABC- 中 ,O、 分 别 为 两 底 面 中 心 ,D

30、、 分别 为 BC和 中 点 ,则 为 棱 台 的 斜 高 .设 =20,AB=30,则 OD=5 , = ,由 ,得 在 直 角 梯 形 中 , 棱 台 的 高 为 4 cm. 1 1 1ABC 1O1 1BC 1D1DD1 1AB 1 1OD3 10 33= +S S S下侧 上 2 211 320+30 3 DD = 20 +302 4 1 13DD = 33 1 1OODD 221 1 1 1OO= DD - 4 3OD OD 3 学 后 反 思 (1)求 解 有 关 多 面 体 表 面 积 的 问 题 ,关 键 是 找 到 其 特 征 几 何 图形 ,解 决 旋 转 体 的 表 面

31、积 问 题 ,要 利 用 好 旋 转 体 的 轴 截 面 及 侧 面 展 开 图 .（ 2） 借 助 于 平 面 几 何 知 识 ,利 用 已 知 条 件 求 得 所 需 几 何 要 素 .举 一 反 三1. 一 个 球 内 有 相 距 9 cm的 两 个 平 行 截 面 ， 面 积 分 别 为 和 ，试 求 球 的 表 面 积 .解 析 ： （ 1） 当 球 心 在 两 个 截 面 同 侧 时 ， 如 图 1所 示 .设 OD=x， 由 题 意 知同 理 可 得 BD=20 cm.设 球 半 径 为 R， 则 依 题 意 得 ：即 解 得 x=15 cm, R=25 cm.故 249 cm

32、2400 cm2CA 49 , CA 7 cm ， 2 2 2 2 2CD OD CA R OD BD , 2 2 2 29 x 7 x 20 , 2 2S 4 R 2 500 cm . 球 （ 2） 当 球 心 在 两 个 截 面 之 间 时 ， 如 图 2所 示 ，设 OD=x cm， 则 OC=(9-x)cm.由 题 意 得 CA=7 cm，同 理 可 得 BD=20 cm.设 球 半 径 为 R,则 依 题 意 知即 此 方 程 无 正 数 解 .故 此 种 情 况 不 可 能 .综 上 可 知 ,球 的 表 面 积 为2CA 49 , CA 7 cm ， 22 2 2 2x 20 9

33、 x 7 R , 22x 400 9 x 49, 22 500 cm . 【 例 2】 直 平 行 六 面 体 的 底 面 为 菱 形 ,过 不 相 邻 两 条 侧 棱 的 截 面 面 积 分 别为 ,求 它 的 侧 面 积 .分 析 要 求 此 棱 柱 的 侧 面 积 ,只 要 求 它 的 底 面 边 长 与 高 即 可 .解 设 直 平 行 六 面 体 底 面 边 长 为 a,侧 棱 长 为 l,如 图 ,则 ,因 过 的 截 面 都 为 矩 形 ,从 而 则又 AC BD,即 所 以 1 2Q Q、 lS 4a侧 1A A、1 1 1CC BB DD与 、12Q AC ,Q BD ,ll

34、 1 2Q QAC ,BD ,l l 2 2 22 2 21 2AC BD a ,2 2Q Q a ,2 2l l 2 2 2 2 2 21 2 1 24a Q Q ,2a Q Q .l l 2 21 2S 4a 2 Q Q .l 侧 学 后 反 思 (1)在 多 面 体 或 旋 转 体 中 ， 要 正 确 识 别 和 判 断 某 截 面 图 形 的 形 状和 特 征 .（ 2） 用 已 知 量 来 表 示 侧 面 面 积 公 式 中 的 未 知 量 ， 利 用 平 面 几 何 知 识 （ 菱 形的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 ） ， 采 用 整 体 代 入 ， 设 而 不 求 ， 减

35、 少 了 运 算 量 ， 简化 了 运 算 过 程 .2. 正 方 体 的 表 面 积 为 a2,它 的 顶 点 均 在 一 个 球 面 上 ， 求 这 个 球 的 表 面 积 .举 一 反 三解 析 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 m， 球 的 半 径 为 R， 则 6m2=a2， 得 m= a. 又 正 方 体 的 体 对 角 线 长 为 a= a， 从 而 2R= a,得 R= a. 故 球 的 表 面 积 为 4( a) 2= a2. 66663 2222 2424 2 题 型 二 几 何 体 的 体 积 问 题【 例 3】 已 知 四 棱 台 两 底 面 均 为 正 方 形 ，

36、边 长 分 别 为 4 cm， 8 cm， 侧棱 长 为 8 cm， 求 它 的 侧 面 积 和 体 积 .分 析 由 题 意 知 ,需 求 侧 面 等 腰 梯 形 的 高 和 四 棱 台 的 高 ,然 后 利 用 平面 图 形 面 积 公 式 和 台 体 体 积 公 式 求 得 结 论 . 1E 1 1BC 1B 1E解 如 图 ,设 四 棱 台 的 侧 棱 延 长 后 交 于 点 P,则 PBC为 等 腰 三 角 形 ,取 BC中 点 E,连 接 PE交 于 点 ,则 PE BC, E为 侧 面 等 腰 梯 形 的高 ,作 PO 底 面 ABCD交 上 底 面 于 点 ,连 接 、 OE.

37、在 P 和 PBC中 , , 为 PB的 中 点 , 为 PE的 中 点 .在 Rt PEB中 , 1 1BC 1E 1O 1 1OE1 1 1 4 18 2PB BCPB BC 1 1 8PB BB 2 2 2 216 4 4 15PE PB BE 1 1 2 152E E PE 在 Rt POE中 , 1 1 1 1 1 11 1 1 1 22 2 21 2P-ABCD P A BC D 1ABCD A BC D 2 2 2 4 15 4 4 141 2 14 .2 1=4S 4 4 8 2 15 48 152=V1 1S PO S PO3 31 1 224 148 4 14 4 2 14

38、3 3 3BCC BPO PE OE cmOO PO cmS cmV V cm 四 棱 台 侧 梯 形四 棱 台 四 棱 锥 四 棱 锥四 边 形 四 边 形学 后 反 思 （ 1） 求 棱 台 的 侧 面 积 与 体 积 要 注 意 利 用 公 式 以 及 正 棱 台 中 的“ 特 征 直 角 三 角 形 ” 和 “ 特 征 直 角 梯 形 ” ， 它 们 是 架 起 “ 求 积 ” 关 系 式 中的 未 知 量 与 满 足 题 设 条 件 中 几 何 图 形 元 素 间 关 系 的 “ 桥 梁 ” .（ 2） 平 行 于 棱 台 底 面 的 截 面 分 棱 台 的 侧 面 积 与 体 积

39、比 的 问 题 ， 通 常 是 “ 还 台 为 锥 ” ， 而 后 利 用 平 行 于 棱 锥 底 面 的 截 面 性 质 去 解 .“ 还 台 为 锥 ” 借 助 于轴 截 面 ， 将 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 ， 求 出 相 关 数 据 ， 进 行 计 算 .“ 还 台 为锥 ” 是 解 决 棱 台 问 题 的 重 要 方 法 和 手 段 . 举 一 反 三3. 如 图 ,在 多 面 体 ABCDEF中 ,已 知 四 边 形 ABCD是 边 长 为 1的 正 方形 ,且 ADE、 BCF均 为 正 三 角 形 ,EF AB,EF=2,则 该 多 面 体 的体 积 为 .解

40、 析 如 图 ,分 别 过 A、 B作 EF的 垂 线 ,垂足 分 别 为 G、 H,连 接 DG、 CH,易 求 得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= , 答 案 12 321 2 21 ,2 2 41 2 1 1 2 1 2 13 4 2 3 4 2 423AGD BHCE ADG F BHC AGD BHCS SV V V V 23 题 型 三 组 合 体 的 体 积 和 表 面 积 问 题【 例 4】 (12分 )如 图 ,在 等 腰 梯 形 ABCD中 ,AB=2DC=2, DAB=60 ,E为 AB的 中 点 ,将 ADE与 BEC分 别 沿 ED、 EC向 上 折 起 ,使

41、 A、 B重 合 ,求 形 成 三棱 锥 的 外 接 球 的 体 积 .分 析 易 知 折 叠 成 的 几 何 体 为 棱 长 为 1的 正 四面 体 ,欲 求 外 接 球 的 体 积 ， 求 其 外 接 球 半 径 即可 .解 由 已 知 条 件 知 ,在 平 面 图 形 中 ,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1所 以 折 叠 后 得 到 一 个 正 四 面 体 .方 法 一 :如 图 ， 作 AF 面 DEC,垂 足 为 F,F即 为 DEC的 中 心 3取 EC中 点 G,连 接 DG、 AG,过 外 接 球 球 心 O作 OH 面 AEC,则 垂 足 H为 AEC的 中

42、心 .5 外 接 球 半 径 可 利 用 OHA GFA求 得 . AG= , AH= AG= ， AF= , 732 23 3323 61 3 3 在 AFG和 AHO中 ,根 据 三 角 形 相 似 可 知 , .10 外 接 球 体 积 为 .12方 法 二 :如 图 ,把 正 四 面 体 放 在 正 方 体 中 .显 然 ,正 四 面 体 的 外 接 球 就是 正 方 体 的 外 接 球 .4 正 四 面 体 棱 长 为 1, 正 方 体 棱 长 为 ,.6 外 接 球 直 径 2R= ,10 R= , 体 积 为 12 3 3 62 3 463AG AHOA AF 3 34 4 6

43、6 63 3 4 8OA 22 23 2 64 34 6 6( )3 4 8 学 后 反 思 (1)折 叠 问 题 是 高 考 经 常 考 查 的 内 容 之 一 ,解 决 这 类 问 题 要注 意 对 翻 折 前 后 线 线 、 线 面 的 位 置 关 系 ， 所 成 角 及 距 离 加 以 比 较 .一般 来 说 ， 位 于 棱 的 两 侧 的 同 一 半 平 面 内 的 元 素 其 相 对 位 置 的 关 系 和 数量 关 系 在 翻 折 前 后 不 发 生 变 化 ， 分 别 位 于 两 个 半 平 面 内 的 元 素 其 相 对位 置 关 系 和 数 量 关 系 则 发 生 变 化

44、;不 变 量 可 结 合 原 图 形 求 证 ， 变 化 量应 在 折 后 立 体 图 形 中 求 证 .对 某 些 翻 折 不 易 看 清 的 元 素 ， 可 结 合 原 图形 去 分 析 、 计 算 ， 即 将 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 .（ 2） 由 方 法 二 可 知 ， 有 关 柱 、 锥 、 台 、 球 的 组 合 体 ， 经 常 是 把 正 方体 、 长 方 体 、 球 作 为 载 体 ， 去 求 某 些 量 .解 决 这 类 问 题 ， 首 先 要 把 这些 载 体 图 形 的 形 状 、 特 点 及 性 质 掌 握 熟 练 ， 把 问 题 进 行 转 化 ，

45、 使 运 算和 推 理 变 得 更 简 单 ， 体 现 了 转 化 思 想 是 立 体 几 何 中 一 个 非 常 重 要 的 思想 方 法 . 举 一 反 三4. 有 一 个 倒 圆 锥 形 容 器 ,它 的 轴 截 面 是 一 个 正 三 角 形 ,在 容 器 内 放 一 个 半 径 为 r的 铁 球 ,并 注 入 水 ,使 水 面 与 球 正 好 相 切 ,然 后 将 球 取 出 ,求 这 时 容 器 中 水 的 深 度 .解 析 ： 如 图 ,作 出 轴 截 面 ,因 轴 截 面 是 正 三 角 形 ,根 据 切 线 性 质 知 当 球在 容 器 内 时 ,水 的 深 度 为 3r,水

46、 面 半 径 为 ,则容 器 内 水 的 体 积 为将 球 取 出 后 ， 设 容 器 内 水 的 深 度 为 h， 则 水 面 圆 的 半 径 为 ，从 而 容 器 内 水 的 体 积 是 由 V=V得 2 3 31 4 5V V V 3r 3r r r .3 3 3 圆 锥 球 3r 33 h 2 31 3 1V h h h .3 3 9 3h 15r. 易 错 警 示【 例 】 在 半 径 为 15的 球 内 有 一 个 底 面 边 长 为 的 内 接 正 三 棱 锥 ,求 此 正三 棱 锥 的 体 积 . 12 3错 解如 图 ,显 然 OV=OA=OB=OC=15, ABC是边 长

47、为 的 正 三 角 形 ,它 的 中 心 为 H,H也是 顶 点 V和 球 心 O在 底 面 ABC的 射影 ,HA=HB=HC=12,可 以 解 得 OH=9, 三 棱 锥 的 高 VH=9+15=24,即 此 正 三 棱 锥 的 体 积 为 .12 3 2ABC ABC3S 12 3 108 3,41 1V S VH 108 3 24 864 3.3 3 864 3错 解 分 析 漏 掉 了 正 三 棱 锥 的 顶 点 和 球 心 在 正 三 棱 锥 的 底 面 的 异 侧 情 形 . 正 解 设 此 正 三 棱 锥 为 V-ABC,球 心 为 O,则 OV=OA=OB=OC=15.设 A

48、BC的 中心 为 H,则 H也 是 顶 点 V和 球 心 O在 底 面 ABC的 射 影 ,HA=HB=HC=12, OH=9.（ 1） 如 图 1,当 顶 点 V和 球 心 O位 于 平 面 ABC的 同 侧 时 ,高 VH=9+15=24,（ 2） 如 图 2,当 顶 点 V和 球 心 O位 于 平 面 ABC的 异 侧 时 ,高 VH=15-9=6, 综 上 ,此 三 棱 锥 的 体 积 为 . 2ABC ABC3S 12 3 108 3,41 1V S VH 108 3 24 864 3.3 3 2ABC ABC3S 12 3 108 3,41 1V S VH 108 3 6 216

49、3.3 3 864 3 216 3或 考 点 演 练10. 若 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ,则 这 个 正 三 棱 柱 的 表 面 积 为 .解 析 : 侧 视 图 中 矩 形 的 长 为 原 正 三 棱 柱 底面 正 三 角 形 的 高 ,可 求 得 底 面 正 三 角 形 的边 长 为 4,从 而 可 求 得 表 面 积答 案 : 24+831S 4 2 3 2 4 2 3 24 8 3.2 11. 正 六 棱 柱 （ 底 面 是 正 六 边 形 ， 侧 棱 垂 直 底 面 ） ABCDEF- 的 各棱 长 均 为 1， 求 : (1)正 六 棱 柱 的

50、表 面 积 ；（ 2） 一 动 点 从 A沿 表 面 移 动 到 点 时 的 最 短 路 程 . 1 1 1 1 1 1A BCDE F1D解 析 ： （ 1） 可 知（ 2） 将 所 给 的 正 六 棱 柱 如 图 2的 表 面 按 图 1部 分 展 开 .易 得 故 从 A点 沿 正 侧 面 和 上 底 面 到 的 路 程 最 短 ， 为 .S ch 6 1 6, 侧3 3 3S 6 , S S 2S 6 3 3.4 2 侧底 全 底 1 2 2 2 21 22 2 21 11 1AD AD DD 3 1 10AD AB BD 1 1 3 5 2 3.AD AD , ，1D 5 2 3 1

51、2. 三 棱 锥 一 条 侧 棱 长 是 16 cm,和 这 条 棱 相 对 的 棱 长 是 18 cm,其 余 四 条 棱 长都 是 17 cm,求 棱 锥 的 体 积 .解 析 ： 如 图 ， 设 AD=16 cm,则 BC=18 cm,取 AD的 中 点 E,连 接 CE、 BE, AC=CD=17 cm,DE=8 cm, CE AD, ,并 易 知 BE=CE,取 BC的 中 点 F,连 接 EF,EF为 BC边 上 的 高 , CE AD,同 理 BE AD, DA 平 面 BCE, 三 棱 锥 的 体 积 可 分 为 以 BCE为 底 ， 以 AE、 DE为 高 的 两 个 三 棱

52、 锥 的体 积 之 和 , 2 2CE 17 8 15 cm （ ） 2 2 2 2EF CE CF 15 9 12 cm , 2BCE 1 1S BC EF 18 12 108 cm .2 2 A-BCE D-BCEV V和 3A-BCD BCE1 1V 2 S AE 2 108 8 576 cm .3 3 第 三 节 空 间 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系基 础 梳 理1. 平 面 的 基 本 性 质名 称 图 形 文 字 语 言 符 号 语 言公 理 1 如 果 一 条 直 线 上 有 两 个点 在 一 个 平 面 内 ,那 么 这条 直 线 在 这 个 平 面

53、内 公 理 2 经 过 不 在 同 一 条 直 线 上的 三 个 点 确 定 一 个 平 面 A、 B、 C不 共 线 A、 B、C 平 面 且 是 唯 一的 公 理 3 如 果 不 重 合 的 两 个 平 面有 一 个 公 共 点 ,那 么 它 们有 且 只 有 一 条 过 这 个 点的 公 共 直 线 若 P ,P ,则 =a,且 P a , , ,A l B l AB l 公 理 4 平 行 于 同 一 条 直线 的 两 条 直 线 互相 平 行 若 a b,b c,则 a c 公理2的推论 推论 1 经 过 一 条 直 线 和直 线 外 一 点 ,有 且只 有 一 个 平 面 若 点

54、A 直 线 a,则 A和 a确 定 一个 平 面 推论 2 两 条 相 交 直 线 确定 一 个 平 面 a b=P 有且 只 有 一 个 平面 ,使 a ,b 推论 3 两 条 平 行 直 线 确定 一 个 平 面 a b 有 且只 有 一 个 平 面 ,使 a ,b 2. 空 间 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系(1)位 置 关 系 相 交 共 面 共 面 与 否 平 行 异 面 一 个 公 共 点 :相 交 公 共 点 个 数 平 行 无 公 共 点 异 面(2)公 理 4(平 行 公 理 ):平 行 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 .(3)定 理 :空 间

55、 中 如 果 两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ,那 么 这 两 个 角 相 等 或互 补 . （ 4） 异 面 直 线 的 夹 角 定 义 ： 已 知 两 条 异 面 直 线 a、 b， 经 过 空 间 任 意 一 点 O作 直 线a a,b b， 我 们 把 两 相 交 直 线 a 、 b 所 成 的 角 叫 做 异 面 直 线 a、 b所 成 的 角 （ 或 夹 角 ） . 范 围 ： （ 0, .特 别 地 ， 如 果 两 异 面 直 线 所 成 的 角 是 ， 我 们 就称 这 两 条 直 线 垂 直 ， 记 作 a b.3. 空 间 中 的 直 线 与 平 面 的 位

56、 置 关 系 直 线 在 平 面 内 有 无 数 个 公 共 点 直 线 与 平 面 相 交 有 且 只 有 一 个 公 共 点 直 线 在 平 面 外 直 线 与 平 面 平 行 无 公 共 点4. 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系平 行 无 公 共 点 相 交 有 且 只 有 一 条 公 共 直 线2 2 典 例 分 析题 型 一 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系【 例 1】 下 列 命 题 : 空 间 不 同 三 点 确 定 一 个 平 面 ; 有 三 个 公 共 点 的 两 个 平 面 必 重 合 ; 空 间 两 两 相 交 的 三 条 直 线 确 定 一 个 平 面 ;

57、三 角 形 是 平 面 图 形 ; 平 行 四 边 形 、 梯 形 、 四 边 形 都 是 平 面 图 形 ; 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 直 线 平 行 ; 一 条 直 线 和 两 平 行 线 中 的 一 条 相 交 ,也 必 和 另 一 条 相 交 ; 两 组 对 边 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .其 中 正 确 的 命 题 是 _. 分 析 根 据 公 理 及 推 论 作 判 断 . 解 由 公 理 2知 ,不 共 线 的 三 点 才 能 确 定 一个 平 面 ,所 以 命 题 、 均 错 , 中 有 可 能出 现 两 平 面 只 有 一 条 公 共 线 (当

58、 这 三 个 公共 点 共 线 时 ); 空 间 两 两 相 交 的 三 条 直 线有 三 个 交 点 或 一 个 交 点 ,若 为 三 个 交 点 ,则这 三 线 共 面 ,若 只 有 一 个 交 点 ,则 可 能 确 定一 个 平 面 或 三 个 平 面 ; 正 确 ; 中 平 行 四边 形 及 梯 形 由 公 理 2的 推 论 及 公 理 1可 得 必为 平 面 图 形 ,而 四 边 形 有 可 能 是 空 间 四 边形 ;如 图 ,在 正 方 体 ABCD-A B C D 中 ,直 线 BB AB,BB BC,但 AB与 BC不 平 行 ,所 以 错 ;AB CD,BB AB=B,但

59、BB 与CD不 相 交 ,所 以 错 ;四 边 形 AD B C中 ,AD =D B =B C=CA,但 它 不 是 平 行四 边 形 ,所 以 也 错 . 学 后 反 思 平 面 性 质 的 三 个 公 理 及 其 推 论 是 论 证 线 面 关 系 的 依 据 ,在 判 断 过 程 中 要 注 意 反 例 和 图 形 的 应 用 . 举 一 反 三1. 给 出 下 列 命 题 ： 如 果 平 面 与 平 面 相 交 ,那 么 它 们 只 有 有 限 个 公 共 点 ; 经 过 空 间 任 意 三 点 的 平 面 有 且 只 有 一 个 ; 如 果 两 个 平 面 有 三 个 不 共 线 的

60、 公 共 点 ,那 么 这 两 个 平 面 重 合 为 一 个 平 面 ; 不 平 行 的 两 直 线 必 相 交 .其 中 正 确 命 题 的 序 号 为 _.解 析 由 公 理 3知 ， 错 ;由 公 理 2知 ， 错 ; 对 ;不 平 行 的 两 直 线 可 能异 面 ， 故 错 .答 案 题 型 二 证 明 三 点 共 线 【 例 2】 已 知 ABC的 三 个 顶 点 都 不 在 平 面 内 ,它 的 三 边 AB、 BC、 AC延 长后 分 别 交 平 面 于 点 P、 Q、 R.求 证 :P、 Q、 R三 点 在 同 一 条 直 线 上 . 分 析 要 证 明 P、 Q、 R三

61、点 共 线 ,只 需 证 明 这 三 点 都 在 ABC所 在 的 平 面 和平 面 的 交 线 上 即 可 .证 明 由 已 知 条 件 易 知 ,平 面 与 平 面 ABC相 交 .设 交 线 为 ,即 = 面 ABC. P AB, P 面 ABC.又 P AB , P ,即 P为 平 面 与 面 ABC的 公 共 点 , P .同 理 可 证 ,点 R和 Q也 在 交 线 上 .故 P、 Q、 R三 点 共 线 于 .l l ll l 学 后 反 思 证 明 多 点 共 线 的 方 法 是 ： 以 公 理 3为 依 据 ， 先 找 出 两 个 平 面 的交 线 ， 再 证 明 各 个 点

62、 都 是 这 两 个 面 的 公 共 点 ， 即 在 交 线 上 ， 则 多 点 共 线 .或 者 ， 先 证 明 过 其 中 两 点 的 直 线 是 这 两 个 平 面 的 交 线 ， 然 后 证 明 第 三 个点 也 在 交 线 上 .同 理 ， 其 他 的 点 都 在 交 线 上 ， 即 多 点 共 线 . 举 一 反 三2. 如 图 ， 已 知 E、 F、 G、 H分 别 是 空 间 四 边 形 ABCD(四 条 线 段 首 尾 相 接 ,且 连 接 点 不 在 同 一 平 面 内 ,所 组 成 的 空 间 图 形 叫 空 间 四 边 形 )各 边 AB、 AD、CB、 CD上 的 点

63、 ,且 直 线 EF和 GH交 于 点 P,如 图 所 示 .求 证 :点 B、 D、 P在 同 一 条 直 线 上 .证 明 由 于 直 线 EF和 GH交 于 点 P, P EF,又 EF 平 面 ABD, P 平 面 ABD.同 理 ,P 平 面 CBD. P在 平 面 ABD与 平 面 CBD的 交 线 BD上 ,即 B、 D、 P三 点 在 同 一 条 直 线 上 .题 型 三 证 明 点 线 共 面【 例 3】 求 证 :两 两 相 交 且 不 共 点 的 四 条 直 线 在 同 一 平 面 内 . 分 析 由 题 知 ， 四 条 直 线 两 两 相 交 且 不 共 点 ， 故 有

64、 两 种 情 况 ： 一 种 是 三 条 交于 一 点 ， 另 一 种 是 任 何 三 条 都 不 共 点 ， 故 分 两 种 情 况 证 明 .要 证 明 四 线 共 面 ， 先 根 据 公 理 2的 推 论 证 两 条 直 线 共 面 ， 然 后 再 证 第 三 条 直线 在 这 个 平 面 内 ， 同 理 第 四 条 直 线 也 在 这 个 平 面 内 ， 故 四 线 共 面 . 证 明 (1)如 图 ,设 直 线 a,b,c相 交 于 点 O,直 线 d和a,b,c分 别 相 交 于 A,B,C三 点 ,直 线 d和 点 O确 定 平 面 ,由 O 平 面 ,A 平 面 ,O 直 线

65、a,A 直 线 a,知 直 线a 平 面 .同 理 b 平 面 ,c 平 面 ,故 直 线a,b,c,d共 面 于 .(2)如 图 ,设 直 线 a,b,c,d两 两 相 交 ,且 任 何 三 线 不 共 点 ,交 点 分 别 是 M,N,P,Q,R,G,由 直 线 a b=M,知 直 线 a和 b确 定 平 面 .由 a c=N,b c=Q,知 点 N、 Q都 在 平 面 内 ,故 c .同 理 可 证 d ,故 直 线 a,b,c,d共 面 于 .由 (1)、 (2)可 知 ,两 两 相 交 且 不 共 点 的 四 条 直 线 必 在同 一 平 面 内 . 学 后 反 思 证 多 线 共

66、面 的 方 法 ： （ 1） 以 公 理 、 推 论 为 依 据 先 证 两 直 线 共 面 ， 然 后 再 由 公 理 1证 第 三 条 也在 这 个 平 面 内 .同 理 其 他 直 线 都 在 这 个 平 面 内 .（ 2） 先 由 部 分 直 线 确 定 平 面 ， 再 由 其 他 直 线 确 定 平 面 ,然 后 证 明 这 些 平面 重 合 . 举 一 反 三3. 在 正 方 体 ABCD- 中 ,E是 AB的 中 点 ,F是 的 中 点 .求 证 :E、F、 、 C四 点 共 面 .1 1 1 1ABC D 1AA1D证 明 如 图 ， 连 接 ,EF, . E是 AB的 中 点 ,F是 的 中 点 , EF . , EF .故 E、 F、 、 C四 点 共 面 .1AB 1CD1AA 1AB 1CD 1AB 1CD1D题 型 四 证 明 三 线 共 点【 例 5】 (12分 )已 知 四 面 体 A-BCD中 ,E、 F分 别 是 AB、 AD的 中 点 ,G、 H分 别 是 BC、 CD上 的 点 ,且 .求 证 :直 线 EG、 FH、 AC相 交 于同 一 点 P