《数值计算方程》PPT课件

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1、2010.3.22 微 分 -积 分 方 程常 微 分 方 程 -初 值 问 题 偏 微 分 方 程 -边 值 问 题代 数 方 程求 根 方 程 组函 数插 值 拟 合 微 分 、 积 分 虫 口 模 型 分 叉 混 沌 )1(1 nnn xxx n-周 期 解n=1：n=2：n=3: 稳 定 性 ： x+dx F(x+dx)=F(x)+F (x)dxxxfffxf n )(.()()( xxx )1( xxxxx )1)(1( 22 xxfffxf )()( )3( 1|)(| xF 区 间 压 缩 a,b a1,b1 a2,b2 其 中 aa1a2 b2b1eps) x+=dx; f_n

2、ew=func(x); if(f_new*f_oldeps+eps) c=0.5*(a+b); fc=func(c); if(fa*fceps+eps) c=xb-fb*(xb-xa)/(fb-fa); fc=func(c); if(fa*fceps) xold=x; x=xold-func(xold)/dfunc(xold); return x; 注 意 ：*已 知 局 部 信 息 实 现 求 解 。 解 的 全 局 性 质 未 知*收 敛 性 与 效 率当 函 数 在 其 根 附 近 的 行 为 不 是 良 性 时 (例 如 在 根 附 近有 拐 点 )， 或 者 当 函 数 有 几 个

3、根 时 ， Newton-Raphson法 和 弦 割 法 有 可 能 不 收 敛 。可 靠 做 法 是 ： 先 用 搜 索 法 近 似 确 定 根 的 位 置 ， 然 后再 用 Newton-Raphson法 或 弦 割 法 找 精 确 的 根 。 用 三 种 不 同 方 法 求 解 方 程 x3-3x-2=0 (x1)比 较 他 们 的 收 敛 速 度 。 精 度 要 求 1e-6 要 求 写 出 程 序 ， 对 每 一 种 方 法 输 出 每 一 步迭 代 过 程 的 x（ 或 x的 区 间 ） 的 数 值 。 比 较不 同 方 法 迭 代 达 到 所 需 精 度 的 步 数 。 线 性

4、 方 程 组 数 值 解 法 及 矩 阵 求 逆火 箭 发 射 速 度 和 加 速 度测 定 过 程Time, t Velocity, vs m/s5 106.88 177.2 12 279.2 12.t5 , 3221 atatatv 3332231 2322221 1312211 vatata vatata vatata方 程 为 ： 321323 222 121 111 vvvaaa tt tt tt 321矩 阵 形 式 ： T DNS P ER CN QF SF超 重 元 素 合 成 ： 1 1111 , 111111 A AAAA tEAPdtEAPdWdt tEAdP A1=AP

5、 )()()()()( )()()()()( )()()()()( 321 222223222221 111113112111 tPttPattPattPattPa tPttPattPattPattPa tPttPattPattPattPa nnnnnnnnnn nn nnnnnnn nn nn BxAxAxAxA BxAxAxAxA BxAxAxAxA 332211 22323222121 11313212111N阶 线 性 方 程 组 ： nnnnnnn nnn BBBBxxxxAAAA AAAA AAAA AAAA 321321321 3333231 2232221 1131211 矩

6、阵 表 示 ： BAX 数 值 求 解 方 法 ：2. 迭 代 解 法 a) 简 单 迭 代 法 (雅 克 比 ) b) 赛 德 尔 迭 代 法1. 直 接 解 法 a) 高 斯 消 元 法 b) 主 元 素 消 元 法 高 斯 消 去 法a1x1 + a2x2 + a3x3 = db1x1 + b2x2 +b3x3 = ec1x1 + c2x2 + c3x3 = f X 1 = X2 = X3= fedccc bbb aaa 321 321 321 增 广 矩 阵矩 阵 行 运 算 100 10 1 332 fedbaa 100 10 1 332 fedbaa 3332 33221 fx e

7、xbx dxaxax nn nnnnn nn nn Bx BxAx BxAx BxAxAx . . . 111 222 112121 矩 阵 初 等 行 变 换 nnnnnn nnn BAAAA BAAAA BAAAA BAAAA 321 33333231 22232221 11131211 nnnn BBA BAA BAAA 1000 100 10 1 33 2223 111312 矩 阵 初 等 行 变 换互 换 矩 阵 两 行 位 置用 非 零 数 乘 (除 )矩 阵 某 行将 矩 阵 某 行 的 倍 数 加 到 矩 阵 的 另 一 行 上只要 A 非奇异，即 A 1 存在，则可通过逐次

8、消元及初等行变换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 第 一 步 ： 首 先 用 除 第 一 行 所 有 元 素 ， 然后 对 下 面 (n1)行 中 的 第 i行 分 别 用 乘第 一 行 再 与 第 i行 相 加 ， 以 消 去 第 一 列 中 的 其余 元 素 ， 此 时 变 为 ： 11A 1iA )1(11)1(111)1(1 / jiijijjj AAAAAAA 其 中 ： )1(22A )1(2iA 其 中 ： 第 k步 ， 是 对 矩 阵 进 行 下 列 运 算 ： )1(A ka 1052 15102 3210 321 321 321 xxx xxx xxx 521 11

9、02 1210A 10153b 10|521 15|1102 3|1210| bAr1/10r2+2r1r3+r1 3.10|9.42.20 6.15|2.16.90 3.0|1.02.01r2/9.6r3+2.2r2 875.13|625.400 625.1|125.010 3.0|1.02.01r 3/4.625 3|100 625.1|125.010 3.0|1.02.01 如 果 ， 消 去 过 程 会 失 败 如 果 ， 会 使 计 算 精 度 降 低 0)1( kkkA 1| )1( kkkA 解 决 方 法 ： 主 元 素 消 去 法 例 ： 2110 21 219 xx xx精

10、 确 解 为 : .1000.00.1101 1 91 x 8个.8999.99.02 12 xx 8个用 高 斯 消 去 法 计 算 ： 999 10100 1110 0,1 12 xx 9998)1( 10101010.0.022 A 911212 101/2 AAB 方 法 ： 列 主 元 消 去 法 行 主 元 消 去 法 全 主 元 消 去 法 例 ： 2110 21 219 xx xx 211 1110 9 1110 2119 99 10211010 211解 为 : .1000.00.1101 1 91 x 8个.8999.99.02 12 xx 8个 3547253173017

11、381 489301738153 76381539 321 321 321 xxx xxx xxx例 ： 3547253173017381 489301738153 76381539 938135477693812531738193813017530 533813547489533812531730175338130173810 38135473812531738130171 76381539 489301738153 3547253173017381 76381539 489301738153 38135473812531738130171 79.72173.180 42.45057.380

12、 31.94.6692.71 79.72173.180 42.45057.380 31.94.6692.71 79.72173.180 7.3842.47.3850510 31.94.6692.71 3.187.3842.479.73.187.3850521700 7.3842.47.3850510 31.94.6692.71 70.59.2000 114.00.1310 31.94.6692.71 273.0100 114.00.1310 31.94.6692.71 321 323 4.6692.731.9 0.13114.0 273.0 xxx xxx回 代 ： 273.0114.0 31

13、.9100 0.1310 4.6692.71 321xxx即 ： 273.066.3 55.1321xxx得 ： 简 单 迭 代 法 (雅 克 比 ) 11313212111 . bxaxaxaxa nn 2323222121 . bxaxaxaxa n2n nnnnnnn bxaxaxaxa .332211 . . . . . . 算 法 ： 11 131321211 a xaxaxacx nn nn nnnnnnn nn nnnnnnnnnn nna xaxaxacx a xaxaxaxacx a xaxaxacx 11,2211 1,1 ,122,122,111,111 22 23231

14、2122 .,2,1,1 nia xacx iinijj jijii 即 ： n-n2xxxx 11 n1-n21xxxxold new 100 x xx newi oldinewiia 当 相 对 误 差 小 于 某 预 先 设 定 值 时 ， 停 止 迭 代 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8x1(k) 0 0.3000 0.8000 0.9180 0.9716 0.9804 0.9962 0.9986 0.9995x2(k) 0 1.5000 1.7600 1.9260 1.9700 1.9897 1.9961 1.9986 1.9995x3(k) 0 2.0000 2.6600 2

15、.8640 2.9540 2.9823 2.9938 2.9977 2.9992 例 ： 1052 15102 3210 321 321 321 xxx xxx xxx ),2,1,0(24.02.0 5.11.02.0 3.01.02.0 )1(2)1(1)1(3 )(3)1(1)1(2 )(3)(2)1(1 kxxx xxx xxx kkk kkk kkk 塞 德 尔 采 用 迭 代 公 式 24.02.0 5.11.02.0 3.01.02.0 )(2)(1)1(3 )(3)(1)1(2 )(3)(2)1(1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx简 单 迭 代 公 式 k 0

16、1 2 3 4 5 6x1(k) 0 0.3000 0.8804 0.9840 0.9978 0.9997 1.0000 x2(k) 0 1.5600 1.9445 1.9922 1.9987 1.9999 2.0000 x3(k) 0 2.6840 2.9539 2.9938 2.9991 2.9999 3.0000)321( TX 建 立 迭 代 格 式 设 置 初 始 值 X(0),精 度 要 求 max(|x(k+1)-x(k)|) ? 迭 代 计 算 ,k=k+1 迭 代 结 束 ， X*=X(k+1) 迭 代 格 式 的 收 敛 性 35 14510 112010 321 321

17、321 xxx xxx xxx 35 14510 112010 213 312 321 xxx xxx xxxx1 x2 x30 0 0 01 11 -14 -32 -69 81 663 -499 -374 -429 不 可 约 ：对 角 优 势 ：若 矩 阵 A不 能 通 过 行 的 次 序 调 换 和 相 应 的 列 的 次 序 调 换 成 为 ： 2212110 AAA 则 A不 可 约 )3,2,1(| 1 niaa nijj ijii 若 矩 阵 A满 足且 自 少 有 一 个 i值 ， 上 式 中 严 格 的 不 等 号 成 立 ，则 A具 有 对 角 优 势 若 系 数 矩 阵

18、A不 可 约 且 具 有 对角 优 势 ， 简 单 迭 代 法 必 收 敛 。定 理 ： 雅 克 比 赛 德 尔 初 值 迭 代 14次 雅 克 比迭 代 11次 塞 德 尔 矩 阵 求 逆 nnnnnnn nnn BBBBxxxxAAAA AAAA AAAA AAAA 321321321 3333231 2232221 1131211 BAX BAX 1 设 Ti 为 初 等 行 变 换 ， 若 矩 阵 A经 一 系 列 初 等 行变 换 后 变 为 单 位 矩 阵 I， 即 ： IATTTTA )( 123则 有 ： 1 AT 提 供 了 一 种 矩 阵求 逆 的 方 法 TI TITA

19、A-1 1000 0100 0010 0001321 3333231 2232221 1131211 nnnnn nnnAAAA AAAA AAAA AAAA nnnnn nnnAAAA AAAA AAAA AAAA 1000 0100 0010 0001 321 3333231 2232221 1131211 A-1 521 1102 1210A 100521 0101102 0011210 101.09.42.20 012.02.16.90 001.01.02.01 12292.01458.0625.400 01042.00208.0125.010 00208.01042.0125.001 2162.00495.00315.0100 027.01104.00248.0010 027.0027.01081.0001 2162.00495.00315.0 027.01104.00248.0 027.0027.01081.01A 作 业建 立 一 个 收 敛 的 迭 代 格 式 ， 来 求 解 下 列 方程 组 ， 并 编 出 相 应 的 计 算 程 序 (FORTRAN语言 或 C语 言 均 可 ， 提 交 纸 质 文 档 )： 124 01122 133311 321 321 321 xxx xxx xxx