同济高数12_7傅里叶级数

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1、目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 七 节一 、 三 角 级 数 及 三 角 函 数 系 的 正 交 性 第 十 二 章 傅 里 叶 级 数 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 三 角 级 数 及 三 角 函 数 系 的 正 交 性简 单 的 周 期 运 动 : )sin( tAy (谐 波 函 数 )( A为 振 幅 , 复 杂 的 周 期 运 动 : )sin(10 nn n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令 ,2 00 Aa ,sin nnn Aa ,cos nnn Ab xt得 函 数 项 级 数 )sincos(2 10 xnbxn

2、aa nnk 为 角 频 率 ,为 初 相 )(谐 波 迭 加 )称 上 述 形 式 的 级 数 为 三 角 级 数 . 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxnkxnk d)cos()cos( 21 定 理 1. 组 成 三 角 级 数 的 函 数 系,1 ,cosx ,sinx ,2cos x ,2sin x ,cos, nx ,sinnx证 : 1 xnxdcos 1 xnxdsin 0 xnxk coscos )( nk xxnxk dcoscos 00sinsin xxnxk d同 理 可 证 : ),2,1( n xnkxnk )(cos)(cos21 上在, 正 交 , 上

3、 的 积 分 等 于 0 .即 其 中 任 意 两 个 不 同 的 函 数 之 积 在0sincos xxnxk d )( nk 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 上 的 积 分 不 等 于 0 . ,2d11 x xxn dsin2 xxn dcos2 ),2,1( n,2 2cos1cos2 xnxn 2 2cos1sin2 xnxn 且 有 但 是 在 三 角 函 数 系 中 两 个 相 同 的 函 数 的 乘 积 在 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 函 数 展 开 成 傅 里 叶 级 数定 理 2 . 设 f (x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且

4、)sincos(2)( 10 nxbnxaaxf nnn 右 端 级 数 可 逐 项 积 分 , 则 有 ),1,0(dcos)(1 nxnxxfan ),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn 证 : 由 定 理 条 件 , 1 0 dsindcosd2d)( n nn xxnbxxnaxaxxf 0a ,对 在 逐 项 积 分 , 得 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxkaxxkxf dcos2dcos)( 0 1n xxnxkan dcoscos xxnxkbn dsincosxxkak dcos 2 ka xxkxfak dcos)(1 ),2,1( k (利 用 正 交

5、性 ) ),2,1(dsin)(1 kxxkxfbk xxfa d)(1 0 类 似 地 , 用 sin k x 乘 式 两 边 , 再 逐 项 积 分 可 得 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 叶 系 数 为 系 数 的 三 角 级 数 称 为的 傅 里 叶 系 数 ; 10 sincos2)( n nn xnbxnaaxf ),1,0(dcos)(1 nxnxxfan由 公 式 确 定 的 nn ba , 以 )(xf)(xf ),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn 的 傅 里的 傅 里 叶 级 数 . 称 为 函 数)(xf 简 介 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定

6、 理 3 (收 敛 定 理 , 展 开 定 理 ) 设 f (x) 是 周 期 为 2 的周 期 函 数 , 并 满 足 狄 利 克 雷 ( Dirichlet )条 件 :1) 在 一 个 周 期 内 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ;2) 在 一 个 周 期 内 只 有 有 限 个 极 值 点 , 则 f (x) 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 , 且 有 10 sincos2 n nn nxbnxaa ,)(xf ,2 )()( xfxf x 为 间 断 点其 中 nn ba , ( 证 明 略 )为 f (x) 的 傅 里 叶 系 数 . x 为 连 续 点 注

7、 意 : 函 数 展 成傅 里 叶 级 数 的 条件 比 展 成 幂 级 数的 条 件 低 得 多 .简 介 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 y x例 1. 设 f (x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 它 在 上 的 表 达 式 为 ), 0,1 0,1)( x xxf解 : 先 求 傅 里 叶 系 数 dcos)(1 xnxxfan 00 dcos11dcos)1(1 xnxxnx ),2,1,0(0 n将 f (x) 展 成 傅 里 叶 级 数 . O11 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 dsin)(1 xnxxfbn 0 01 1( 1)sin d 1 s

8、in d nx x nx x 01 cos nxn 01 cos nxn 2 1 cos nn 2 1 ( 1) nn 4 ,n ,0 ,5,3,1n当,6,4,2n当4( ) sin f x x x3sin31 xkk )12sin(12 1 ( , 0, , 2 , ) x x 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 y x11 O),2,0,( xx 77sin x 99sin x1) 根 据 收 敛 定 理 可 知 ,时 ,级 数 收 敛 于 02 11 2) 傅 氏 级 数 的 部 分 和 逼 近 33sinsin4)( xxxf 55sin x说 明 : ),2,1,0( kkx当

9、f (x) 的 情 况 见 右 图 . Oy x 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 设 f (x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 上 的 表 达 式 为 ), 0,0 0,)( xxxxf将 f (x) 展 成 傅 里 叶 级 数 .解 : 0 d)(1 xxfa 0 dcos1 xxnx dcos)(1 xnxxfan 0 d1 xx 0221 x 202cossin1 nnxnnxx 21 cos nn 它 在 xyO 2 33 2 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),2,1( n dsin)(1 xnxxfbn nn 1)1( ),2,1( k 12

10、 kn kn 2,0 0 dsin1 xnxx)(xf 4 cos x2 xsin x2sin21 3sin 3cos xx 322 31 x4sin41 5sin 5cos xx 522 51 cos1 2n nan ,)12( 2 2k ),2,1,0,)12(,( kkxx说 明 : 当 )12( kx 时 , 级 数 收 敛 于 22 )(0 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,)( xxf 周 期 延 拓)(xF 傅 里 叶 展 开,)( 在xf 上 的 傅 里 叶 级 数定 义 在 ,上 的 函 数 f (x)的 傅 氏 级 数 展 开 法),)( xxf ,)2( kxf

11、其 它 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 将 函 数 0, 0,)( xx xxxf 则 0 d)(1 xxFa d)(1 xxf 0 d2 xx0222 x dcos)(1 xnxxFan dcos)(1 xnxxf 0 dcos2 xnxx 02cossin2 nnxnnxx解 : 将 f (x)延 拓 成 以 展 成 傅 里 叶 级 数 .2为 周 期 的 函 数 F(x) , y x O 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x3cos312na )1cos(22 nn 12 kn kn 2,0 ),2,1( k,)12( 4 2 k dsin)(1 xnxxFbn

12、dsin)(1 xnxxf 0 )(xf 2 4 xcos x5cos512 )( x当 x = 0 时 , f (0) = 0 , 得 2222 )12( 1513118 n说 明 : 利 用 此 展 式 可 求 出 几 个 特 殊 的 级 数 的 和 . 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 42 ,4 21 312 242设 ,4131211 222 2221 7151311,614121 2222 已 知 821 2223 4131211又 21 213 6248 222 12248 222 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数1. 周

13、期 为 2 的 奇 、 偶 函 数 的 傅 里 叶 级 数定 理 4 . 对 周 期 为 2 的 奇 函 数 f (x) , 其 傅 里 叶 级 数 为周 期 为 2的 偶 函 数 f (x) , 其 傅 里 叶 级 数 为 余 弦 级 数 , 02 ( )cos d ( 0,1,2, ) na f x nx x n ),3,2,1( 0 nbn ),2,1,0( 0 nan 02 ( )sin d ( 1,2,3, )nb f x nx x n 它 的 傅 里 叶 系 数 为正 弦 级 数 ,它 的 傅 里 叶 系 数 为 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 设的 表 达 式

14、为 f (x) x , 将 f (x) 展 成 傅 里 叶 级 数 . f (x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 ,它 在上), 解 : 若 不 计 ),2,1,0()12( kkx 是则)(xf周 期 为 2 的 奇 函 数 , 0 dsin)(2 xnxxfbn ),2,1,0(0 nan ),3,2,1( n 0 dsin2 xnxx 因 此 02sincos2 nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn y xO 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 n 1根 据 收 敛 定 理 可 得 f (x) 的 正 弦 级 数 :)(xf ,( x )3sin312sin21(

15、sin2 xxx12n nxnn sin)1( 1 (2 1) , 0, 1, )x k k 级 数 的 部 分 和 , ) 在上逼 近 f (x) 的 情 况 见 右 图 . y xO 2 3 4 5 O xy 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 将 周 期 函 数 tEtu sin)( 展 成 傅 里 叶 级 数 , 其 中E 为 正 常 数 .解 : )(tu ;),2,1(0 nbn0a 0 dsin2 ttE 4Ettntuan 0 dcos)(2 02 sin cos d E t nt t 0 sin( 1) sin( 1) dE n t n t t 是 周 期 为

16、2 的周 期 偶 函 数 , 因 此 0 d)(2 ttu 为 便 于 计 算 , 将 周 期 取 为 2 y 2 xO 2 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 t2cos31 0 sin( 1) sin( 1) dn Ea n t n t t kn 2 12,0 kn ),2,1( k1a 0 )(tu )( t24 ,(4 1)Ek 0 sin2 dE t t 21 t4cos151 t6cos3512E4 E 214 1 cos24 1 kE kxk 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 定 义 在 0,上 的 函 数 展 成 正 弦 级 数 与 余 弦 级 数( ), 0,

17、 f x x)(xF周 期 延 拓 F (x) )(xF f (x) 在 0, 上 展 成 周 期 延 拓 F (x)余 弦 级 数奇 延 拓 偶 延 拓 xO y正 弦 级 数 f (x) 在 0, 上 展 成 O xy ( ), (0, f x x0,0 x( ), ( ,0)f x x ( ), 0, f x x( ), ( ,0)f x x 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xy O 1 例 6. 将 函 数 )0(1)( xxxf 分 别 展 成 正 弦 级数 与 余 弦 级 数 . 解 : 先 求 正 弦 级 数 . 去 掉 端 点 , 将 f (x) 作 奇 周 期 延 拓

18、 ,0 dsin)( xnxxf2nb 0 dsin)1(2 xnxx 2 02 cos sin cos x nx nx nxn n n 2 1 cos cos n nn 12 kn kn 2 ),2,1( k2 2 ,2 1 k ,1k 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 nb 12,12 22 knk knk 2,1 ),2,1( k 21x xsin)2( x2sin2x3sin32 x4sin4 )0( x注 意 : 在 端 点 x = 0, , 级 数 的 和 为 0 , 与 给 定 函 数因 此 得 f (x) = x + 1 的 值 不 同 . xy O 1 目 录 上 页

19、下 页 返 回 结 束 再 求 余 弦 级 数 . xy将 )(xf 则 有 O0a 02 ( 1)d x xna 02 ( 1)cos d x nx x 2 02 2 x x 2 2 02 sin cos sin x nx nx nxn n n 22 cos 1 nn 24 , 2 1(2 1) n kk kn 2,0 ),2,1( k 作 偶 周 期 延 拓 , 1 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 na 12,)12( 4 2 knk kn 2,0 ),2,1( k 1 12x xcos x3cos312 (0 )x x5cos512说 明 : 令 x = 0 可 得 22 21

20、11 3 5 8 221 1(2 1) 8n k 即 412 214 1(2 1) k k xk )12cos( xy O1 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 周 期 为 2 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数 及 收 敛 定 理 )sincos(2)( 10 xnbxnaaxf nnn )(间断点x其 中 1 ( )cos d na f x nx x 1 ( )sin dnb f x nx x ),2,1,0( n ),2,1( n注 意 : 若 0 x 为 间 断 点 , 则 级 数 收 敛 于 2 )()( 00 xfxf 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束

21、 2. 周 期 为 2 的 奇 、 偶 函 数 的 傅 里 叶 级 数 奇 函 数 正 弦 级 数 偶 函 数 余 弦 级 数3. 在 0, 上 函 数 的 傅 里 叶 展 开 法 作 奇 周 期 延 拓 , 展 开 为 正 弦 级 数 作 偶 周 期 延 拓 , 展 开 为 余 弦 级 数1. 在 0 , 上 的 函 数 的 傅 里 叶 展 开 法 唯 一 吗 ?答 : 不 唯 一 , 延 拓 方 式 不 同 级 数 就 不 同 .思 考 与 练 习 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 , 处 收 敛 于2. )(xf 0 x ,1 0 x ,1 2x则 它 的 傅 里 叶 级 数 在

22、x在 4x 处 收 敛 于 .提 示 :( ) ( )2 f f ( ) 2 f ( )f 222 (4 ) (4 )2 f f 2 )0()0( ff 2 1102设 周 期 函 数 在 一 个 周 期 内 的 表 达 式 为 x yO 11 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xO 3. 设 ,0,)( 2 xxxxf 又 设 )(xS求 当 ( ,2 ) ( ) x S x 的 表 达 式 .解 : 由 题 设 可 知 应 对 )(xf 作 奇 延 拓 :)(xF xxx 0,2 0 x,0 0 x,2xx( , ) , 在上;)()( xFxS 由 周 期 性 :( ,2 ) ,

23、在上( ) ( 2 )S x S x 2 ( ,0) x 2( 2 ) ( 2 ) x x 2 23 2 x x )(xf是(0, ) 2 以为 周 期 的 正 弦 级 数 展 开 式 的 和 函 数 , 在 2x f (x)的 定 义 域 内 时 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x yO 11 )(xf4. 写 出 函 数 )(xf 0,1 x x0,1上在, 傅 氏 级 数 的 和 函 数 .)(xS 0,1 x x0,1 0 x,0 x,0答 案 : 定 理 3 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ;

24、 7 (2) 第 八 节 作 业 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 备 用 题 1. 2( ) f x x x ( ) x 叶 级 数 展 式 为 ,)sincos(2 10 n nn nxbnxaa 则 其 中 系 数. 3 b提 示 : 13 ( )sin3 d b f x x x 21 ( )sin3 d x x x x x x3sin 0 x3cos31 x3sin91 2( cos3 sin3 )3 9 x x x 0 2323 利 用 “ 偶 倍 奇 零 ”(1993 考 研 ) 的 傅 里 函 数 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 设 )(xf 是 以 2 为

25、周 期 的 函 数 ,其 傅 氏 系 数 为 ,na则 )()(为常数hhxf 的 傅 氏 系 数 . , nn ba提 示 : 1 ( )cos d na f nx x hx1 ( )cos ( )d hh f t n t h t 1sin ( )sin d nh f t nt t nanhcos nbnhsin hxt 令1cos ( )cos dnh f t nt t nhbnha nn sincos nhanhb nn sincos hh ,nb类 似 可 得 nb 利 用 周 期 函 数 性 质 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 傅 里 叶 (1768 1830)法 国 数 学

26、 家 . 他 的 著 作 热 的 解 析 理 论 (1822) 是 数 学 史 上 一 部 经 典 性 书 中 系 统 的 运 用 了 三 角 级 数 和 三 角 积 分 , 他 的 学 生 将 它 们 命 名 为 傅里 叶 级 数 和 傅 里 叶 积 分 . 最 卓 越 的 工 具 . 以 后 以 傅 里 叶 著 作 为 基 础 发 展 起 来 的 文 献 , 他 深 信 数 学 是 解 决 实 际 问 题傅 里 叶 分 析 对 近 代 数 学 以 及 物 理 和 工 程 技 术 的 发 展 都 产 生 了 深 远 的 影 响 . 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 狄 利 克 雷 (1

27、8 05 1859)德 国 数 学 家 . 对 数 论 , 数 学 分 析 和数 学 物 理 有 突 出 的 贡 献 , 是 解 析 数 论 他 是 最 早 提 倡 严 格 化方 法 的 数 学 家 .函 数 f (x) 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 的 第 一 个 充 分 条 件 ; 了 改 变 绝 对 收 敛 级 数 中 项 的 顺 序 不 影 响 级 数 的 和 , 举 例 说 明 条 件 收 敛 级 数 不 具 有 这 样 的 性 质 . 他 的 主 要的 创 始 人 之 一 , 并论 文 都 收 在 狄 利 克 雷 论 文 集 (1889一 1897)中 . 1829年 他 得 到 了 给 定 证 明