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2、 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心若若 是一母线平行于是一母线平行于z 轴的柱面轴的柱面,z1(x,y)z z2(x,y),(x,y)Dxy,在在 xy 面上的面上的投影区域投影区域 Dxy则可考虑用柱面坐标求三重积分则可考虑用柱面坐标求三重积分.并可将其化并可将其化为先对为先对z,再对再对r,再对再对 的三次积分的三次积分(即先对即先对z积分积分,然后在然后在Dxy上用极坐标做二重积分上用极坐标做二重积分).哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心其中其中 由由x2+y2=2z及及z=2所围成所围成.求求解：解：一般一般,若若 的表达式
3、的表达式中含有中含有x2+y2,则可考虑则可考虑用柱面坐标积分用柱面坐标积分.令令x=rcos,y=rsin,z=z,且且 z 2,0 r 2,0 2.xzyx2+y2=2zx2+y2=4 或 r=2o2练习练习2 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心注：注：常用的二次曲面有常用的二次曲面有,球面球面,椭球面椭球面,柱面柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面圆锥面).哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心球面坐标与直角坐标的关系为球面坐
4、标与直角坐标的关系为3.利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心规定规定0 r+,0 ,0 2 (或或 )哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半平面半平面P动点动点M(r,)yz x0 MP P =常数常数:锥面锥面C.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面+d 球面球面r+d r元素区域由元素区域由六个坐标面围成：六个坐标
5、面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心r drd xz y0 d rd rsin d.r 2sin drd d 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心若
6、若 的表达式中含的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分可考虑用柱面坐标积分.比如比如,球面与圆柱面球面与圆柱面,球面与旋转抛物面球面与旋转抛物面,但不绝对但不绝对.若若 的表达式中含的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标可考虑用球面坐标.比如比如,球面与圆锥面球面与圆锥面,但不绝对但不绝对.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心用两种方法计算用两种方法计算 其中其中 解：解：利用函数与域的对称性，利用函数与域的对称性，练习练习3用柱坐标：用柱坐标：哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解：解：用球坐标：用球坐标：用两种方法计算用两种方法计算 其中其中 练习练习3 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！26
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