线性代数试卷

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1、线性代数试卷（A卷）、填空题（每题 4分，将正确的答案写在题后的横线上）1计算四阶行列式a 00b0 12 00 3 4 02.若n阶方阵A, B满足AB - A + B则(A E)-1 =1 23.设方阵A = 4 t3-1，非零矩阵BAP满足BA二0则t = 丿且又4.设 a =(2,5,1,3), a =(10,1,5,10), a =(4,1,一1,1)1233(a - x)+ 2(a + x) = 5 (a + x)123贝y向量x=。5. 齐次线性方程组九 x + x + x = 0 123 x + 九 x + x = 0123x + x + 九 x = 0123只有零解，则应满足

2、的条件是=6.已知三阶矩阵A的特征值为1, 1, 2 ,设矩阵B = A3 - 5 A2 ,则行列式8.设向量组3、121r 111,4、1 ,则向量组是线性=。（相关还是线性2 0 0 2 0A=0 1 0B=0 10 0 -11 2已知J丿与B = =7.0、1x丿相似，则x =无关）.9.若向量组 a = （a, aa） ,a= （a, a, a ），a= （a, aa ）的秩为1 11 121n2 21 222 nmm1 m 2mnq,则向量组卩=（a, aa），卩=（a, a a ），卩=（a, aa ）的秩为1 11 21m12 12 22m 2n1n 2 n mn =。10.已知

3、二次型 f = -5x2 - 6y2 - 4z2 + 4xy + 4xz ,则它是（正定或负定）二次型 。二、判断题（每题3分，将“V”或“X”填在题后的括号内）1. 设A、B为n阶非零方阵，则AB = BA.（）2. 设B、C为n阶非零方阵，且矩阵A可逆，若AB = AC，则B = C.（）3. 已知矩阵A的秩R（A） = r，则A中所有r阶子式都不为零.（）4. 矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等.（）5. 设九,九是矩阵A的2个不相等的特征值，对应的特征向量依次为p , p，1 2 1 2P + P也是A的特征值.（）12三、 计算题（45 分）x 22 x - 2x-12x-1x-

4、22x-2x 32 x - 31.设函数f ( x)=，则方程f （x） = 0的根的个数为多少!3 x 33x-24x-53 x 54 x4x-35x-74 x - 3分别是什么？（8分）2.求向量组片=（1，-1，2,8）,卩2 = （1，-1，2,4），卩3 = （1，2,3,2），卩4 =（，3丄2），B5 = （2,1,5,10）的秩及一个极大无关组（8分）x + ay + a 2 z = 13. a,b为何值时，方程组 0），其中二次型的矩阵的1231231 3特征值之和为 1，特征值之积为12.（1）求a, b的值；2）利用正交变换将二次型 f 化为标准型，并写出所用的正交变换和

5、所用的正交矩阵.线性代数试卷（B卷）分数20分得分一、选择题：（每题4分，共20分）1.设A、B为n阶方阵，下列说法正确的是A. AB二BA c. I- A = 一|AB. A 2 - B 2 二(A - B)(A + B)D.若 A 可逆，k 丰 0，则(kA)-1 = k-1A-12已知D = 4 56，Aj表示（，j的代数余子式，则A2i + 2 A22 + 3 A23二7 8 9A. 0B. -3 C. 3D. 53. 下列命题不正确的是 A. 向量组线性相关，则其部分组可能线性无关;B. 若向量组线性无关，则其部分组必线性无关C. 若向量组线性相关，则其部分组必线性相关D. 正交向量

6、组必线性无关.4. n 阶方阵 A 与某对角矩阵相似，则 .A.方阵A的秩等于n . B.方阵A有n个不同的特征值.C.方阵A 一定是对称阵.D.方阵A有n个线性无关的特征向量.5. 线性方程组A x二b有唯一解的充分必要条件是mxnA. m = n ；B. R( A) = R( A, b) = n ；C. Ax二0只有零解;D.以上都不对.分数20分得分1.已知向量组：二、填空题（每题4分，共20分）=（1, 2, 一1,笃=（2, 5, 3巴=（1, 3, 4，则3a - 2a + 4a1232 .当常数a =或时，方程组ax = 0i ax + 5x = 0有非零解23X 一 X = 0

7、233.设 A 为n 阶方阵，且 A2 = A，贝y(A 2E)-1 =.4设三阶方阵A的三个特征值为：入=2，入2 = 1，入3 = 3 ,则|A| =A的伴随矩阵对应的行列式|A* =.5.如果f (x,x ,x )= x2 + 2x 2 + tx 2 + 2xx + 4xx + 6x x是正定的，则t的取值范围123123121323是.三、解答题：（每题10分，共60分）1.求矩阵A =1一1302一42、-14丿的秩，并求一个最高阶非零子式.2.设 A =01-13、0 , AX = 2X + A，求 X .3丿3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3已知勺,今是它的三个解向量，

8、且(2 3,g +g =24233 5丿 4丿求该方程组的通解.4.（1+九）x + x1 2九取何值时，非齐次线性方程组 x + （1+九）x + x =九（1）有唯一解；（2）无解;123x + x + （1+尢）x =一尢1233)有无限多个解？厂06.设 A = -1、15.设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若|A| = 0，则A* = 0.（2） A* = |A|n-1一 1 101，求一个正交阵P，使P-1AP = A为对角阵。1 0丿线性代数试卷（C卷）|得分| 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、A和B均为n阶矩阵，且（A - B）2 = A2 - 2AB + B2

9、，则必有（）A A 二 E ；B B 二 E ； C A 二 B .D AB 二 BA。2、设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0 B. B 工 C 时 A=0C. A 工 0 时 B=C D. |A| 工 0 时 B=C3、设A是s x n矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条 件是（ ）A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关4、若x是方程AX = B的解，x是方程AX = O的解，贝9（）是方程AX = B的 12解（c e R ）C. cx 一 cx D. cx + x1 2 1 2

10、 ）B.所有r- 1阶子式全为0D. 所有r阶子式都不为0A. x + cx B. cx + cx1 2 1 25、设矩阵A的秩为r,则A中（ A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于0二、填空题（每小题3分，共15分）1、已知向量a 二（1,3,2,4）t 与 0 二（k，-1,- 3,2k）t 正交,（1 I）-】2、= .10 1丿3、设3阶矩阵A的行列式| A |=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.4、如果X ,X都是方程A X二O的解，且X丰X，则|A |=；12nxn12nxn（填相关或无关）5、设向量组a = (1,0,0)t,a = (-1,3,

11、0)T,a = (1,2,-1” 线性123三、 （10分）计算行列式-52110-5-123-41 -13-3四、(10 分)已知 f (x) = x2 + 4x-1,(1A = 2 0-2 0、10 ,求f(A)。o 2” 2x 一 3x + x + 5x = 01234五、(10分)求齐次线性方程组 -3x + x + 2x - 4x = 0的一个基础解 1 234x 2 x + 3x + x = 0I 123 4系及其通解.得分|六、（12分）判定二次型f = -x2 -x2 -x2 + 4x x + 4x x -4x x的正定性,I寸 4 I1231 21 32 3并求该二次型的秩。

12、七、（10 分）求向量组：T-2 -3 -12556a =-1， a =2，a=， a =17123-74-1-1-49的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.得分1 1 00 0 0 -八、（12分）已知矩阵A =1 1 0与B =0 3 0,相似10 0 30 0 x（1）求x；（2）求可逆矩阵P，使得P-1AP = B。得分|九、（6分）设3阶矩阵A的特征值为2 （二重），-4，求卜*一、单项选择题（每小题3分，共 15分）评分标准：选对得3 分，不选或选错得0 分1、D；2、D； 3、D； 4、A； 5、C二、填空题（每小题3分，共15分）： 评分标准：填对

13、得3 分，不填或填错得0 分11)1、24；2、；101丿3、-2；4、0；5、无关三、计算行列式（12分1、原式 =4010 分四、（10 分）解-34A2 =4304分1 004 J480、4A=840O1008丿8 分012 0 03 3f (a)=1200=12 310 分001 1 1 0 J五、（12分）234+ x + 2 x 4 x = 01234x 2 x + 3x + x = 012342 x - 3 x + x + 5 x = 02315 )1231 1011 A=312407770111.1231 ,.0777 ,.0000丿解：齐次线性方程组的系数矩阵A为:4分x =

14、 x -x 134x = x +x2x3x43=x3=x4x3为自由未知量）6分故齐次线性方程组的通解为 X=k1,1、-1、1+k1120 0丿、1丿(k k 为常数)1210 分六、（12 分）解：二次型对应的矩阵为r-1-124分-2-1丿-1 =-1 02分-1-1=-3 02分-1所以矩阵的秩为 3，-1-2= -13 02分-2-1即二次型的秩为 32分七、（10 分） 解：向量组对应的矩阵为所以矩阵的秩为 3 123-1 、1 050、25560 1 -1 0-12-7 170 0 0 1I -1 -49 丿.0 0 0 0 丿(aa a a )=12346分3分所以a1,a2,

15、a4为一组极大无关组8分a = 5a + a31210 分=5，tr (B) = 3 + x，4分A 的特征值为取 P = (a , a , a )=1231 0 1、-1 0 10 1 0 丿，则 P-i AP = B。12分八、(8分)解:解:(1)、由于A与B相似，则tr(A) = tr(B)。因为tr(A)则x二2。(2 )、因为B的特征值为九二0,九二3,九二2，所以123九=0,九=3,九=2。123当“ 0时，它对应的特征向量为a二(1,-1,0)t 11当对于九二3时，它对应的特征向量为a二(0,0,1)t22当九二2时，它对应的特征向量为a二(1,1,0)t。33九、(6 分)(-1 a-1=-8(A*)_1I 2 J证明:126分