四边形知识点经典总结材料

实用文档 四边形知识点： 一、 关系结构图： 二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD是平行四边形Þ 2.平行四边形的判定（难点）： . 3. 矩形的性质： 因为ABCD是矩形Þ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形； 　　　　　　　　　　(2)有三个角是直角的四边形； 　　　　　　　　　　(3)对角线相等的平行四边形； 　　　　　　　　　　(4)对角线相等且互相平分的四边形． Þ四边形ABCD是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD是菱形Þ 6. 菱形的判定： Þ四边形四边形ABCD是菱形. 7.正方形的性质： ABCD是正方形Þ 8. 正方形的判定： Þ四边形ABCD是正方形. 名称 定义 性质 判定 面积 平 行 四 边 形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ① 对边平行； ②对边相等； ③对角相等； ④邻角互补； ⑤对角线互相平分； ⑥是中心对称图形 ①定义； ②两组对边分别相等的四边形； ③一组对边平行且相等的四边形； ④两组对角分别相等的四边形； ⑤对角线互相平分的四边形。 S=ah(a为一边长，h为这条边上的高) 矩 形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。 S=ab(a为一边长，b为另一边长) 菱 形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 除具有平行四边形的性质外，还有①四边形相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。 ①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)； ②(b、c为两条对角线的长) 正 方 形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。 ①(a为边长)； ②(b为对角线长) 三．精典例题解答： 　　1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。 　　　　　　求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：（1）∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 　　　　　　　 又ABCD是平行四边形， ∴ AD=CB，AD∥BC ∴ ∠DAF=∠BCE 　　　　　　　 在△ADF与△CBE中 　　　　　　　 ∴ △ADF≌△CBE（SAS） 　　　　　（2）∵ △ADF≌△CBE ∴ ∠DFA=∠BEC ∴ DF∥EB 　　例1图 例2图 2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。 　　　　证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 　　　　　∴ OA=OC，OB=OD 　　　　　又∵ AE=CF 　　　　　∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF 　　　　　∴ 四边形BFDE是平行四边形 3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。 　　求证：四边形是菱形。 　　　　证明：根据题意可知 　　　　　则 ，， 　　　　　∵ AD∥BC ∴ ∴ ∠CDE=∠CED 　　　　　∴ CD=CE ∴ ∴ 四边形为菱形 　例3图 　4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　解：HG=HB。 　　　　证法1：连结AH， 　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 　　　　　　　 ∴ ∠B=∠G=90° 　　　　　　　 由题意知AG=AB，又AH=AH 　　　　　　　 ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL） 　　　　　　　 ∴ HG=HB 　　　　证法2：连结GB 　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 　　　　　　　 ∴ ∠ABC=∠AGF=90° 　　　　　　　 由题意知AB=AG 　　　　　　　 ∴ ∠AGB=∠ABG 　　　　　　　 ∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB 　　　　　　　 ∴ HG=HB 　　5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。　　　　 　　（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相 　　　　 交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由； 　　（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。 　　　　解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。 　　　　　　 理由如下： 　　　　　　 ∵ 在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO， 　　　　　　 ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO 　　　　　　 ∴ ∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE） 　　　　　　 ∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一） 　　　　　　 注：其它的结论也成立如GD⊥BE。 　　　　（2）∵ 四边形AEOD的面积为 　　　　　　 ∴ 三角形ADO的面积= 　　　　　　 ∵ AD=2 　　　　　　 ∴ 　　　　　　 ∴ ∠DAO=30° 　　　　　　 ∴ ∠EAB=30°即旋转的角度是30° 　例5图 例6图 　6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。 　　（1）求证：AE=CG； 　　（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。 证明：（1）如图， 　　 　　　　　∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90° 　　 　　　　　又 ∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE 　　 　　　　　∴ △ADE≌△CDG 　　 　　　　　∴ AE=CG 　　　　　（2）猜想：AE⊥CG。 　　 　　　　　证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N 　　 　　　　　　　　∵ △ADE≌△CDG 　　 　　　　　　　　∴ ∠DAE=∠DCG 　　 　　　　　　　　又∵ ∠ANM=∠CND 　　 　　　　　　　　∴ △AMN∽△CDN 　　 　　　　　　　　∴ ∠AMN=∠ADC=90° 　　 　　　　　　　　∴ AE⊥CG 　7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， 　　（1）求证：四边形ADCE为矩形； 　　（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。 　　　证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC 　　　　　　　 ∴ ∠BAD=∠DAC 　　　　　　　 ∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线 　　　　　　　 ∴ ∠MAE=∠CAE 　　　　　　　 ∴ 　　　　　　　 又∵ AD⊥BC，CE⊥AN 　　　　　　　 ∴ ∠ADC=∠CEA=90° 　　　　　　　 ∴ 四边形ADCE为矩形 　　　　　（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。 　　　　　　　 证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D 　　　　　　　 　　　∴ 　　　　　　　 　　　又 　　　　　　　 　　　∴ DC=AD 　　　　　　　 　　　由（1）四边形ADCE为矩形 　　　　　　　 　　　∴ 矩形ADCE是正方形 　　 例8图 8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。 　　（1）求证：△ABE≌△AD′F； 　　（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：（1）由折叠可知：，， 　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 　　　　　　　 ∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD 　　　　　　　 ∴ ∠B=∠D′，AB=AD′ 　　　　　　　 ∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3 　　　　　　　 ∴ ∠1=∠3 　　　　　　　 ∴ △ABE≌△AD′F 　　　　　（2）四边形AECF是菱形。 　　　　　　　 由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5 　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 　　　　　　　 ∴ AD∥BC 　　　　　　　 ∴ ∠5=∠6 　　　　　　　 ∴ ∠4=∠6 　　　　　　　 ∴ AF=AE 　　　　　　　 ∵ AE=EC 　　　　　　　 ∴ AF=EC 　　　　　　　 又∵ AF∥EC 　　　　　　　 ∴ 四边形AECF是平行四边形 　　　　　　　 ∵ AF=AE ∴ 四边形AECF是菱形。 　　9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（1）求证：BP=DP； 　　（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不 　　　　 是，请用反例加以说明； 　　（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边 　　　　 形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论． 　　思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP． 　　 　　　　　　　 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP． 　　 　　　　　（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时， 　　　　 　　　　　 DP>DC>BP，此时BP=DP不成立． 　　　　 　　　　　 说明：未用举反例的方法说理的不得分． 　　　　　　　 （3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等． 　　　　 　　　　　 在图中，可证四边形PECF为正方形， 　　　　 　　　　　 在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC． 　　　　 　　　　　 从而有BE=DF 　　10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 　　提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种． 　　 　　解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一． 　　11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。 　　（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。 　　（2）设，用t表示△AMN的面积。 　　（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。 　　解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。 　　　　　　 由已知：，。 　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， 　　　　　　 ∴ ∠PAN=∠D=30°。 　　　　　　 在Rt△APN中，， 　　　　　　 即点N到AB的距离为。 　　　　　　 ∵ 点N在AD上，，点M在AB上，， 　　　　　　 ∴ x的取值范围是。 　　　　（2）根据（1），。 　　　　（3）∵ ，∴ 当t=0时，即x=10时，有最大值25。 　　　　　　 当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。 　　　　　　 此时，△AMN为等腰三角形。 　　12．（08通州22改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x， 　　（1）试用含x的代数式表示△CGF的面积； 　　（2）当GF⊥AD时，求AE的值。 　　　　　　　　　　　　　　　 　　解：（1）∵ 在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6 　　　　　　 ∵ DM=2，AD=6，∴ AM=4， 　　　　　　 取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQ∥AE且。 　　　　　　 由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM 　　　　　　 ∴ ， 　　　　　　 过点F作FN⊥CD于N， 　　　　　　 ∵ ∠C=∠A=60°，CF=x 　　　　　　 ∴ 　　　　　　 ∴ 　　　　（2）当GF⊥AD时， 　　　　　　 ∵ AD∥BC，∠GDA=∠A=60° 　　　　　　 ∴ ∠OGD=30°，GF⊥BC 　　　　　　 ∴ 在Rt△GFC中， 　　　　　　 即： 　　　　　　 ∴ 　　　　　　 ∴ 　　　　　　 ∴ 当GF⊥AD时， 标准文案