非线性方程及非线性方程组解决

第八章非线性方程及非线性方程组解决1abx0 x1a1b2x*11区间对分法（二分法）区间对分法（二分法）1.确定有根区间确定有根区间:2.逐次对分区间：逐次对分区间：3.取根的近似值取根的近似值:b1a22其其误误差差为为:根的近似值根的近似值:abx0 x1a1b2x*b1a23用用对对分区分区间间法求根步法求根步骤骤：4 f=inline(x3+10*x-20,x);x,err=bisection(f,1,2,0.00005,15)n x err 1.000 1.500 0.500 2.000 1.750 0.250 3.000 1.625 0.125 4.000 1.56250000000000 0.000 5.000 1.59375000000000 0.000 6.000 1.600 0.00 7.000 1.60 0.000 8.000 1.59765625000000 0.000 9.000 1.59570312500000 0.000 10.000 1.59472656250000 0.000 11.000 1.59423828125000 0.000 12.000 1.59448242187500 0.500 13.000 1.59460449218750 0.250 14.000 1.59454345703125 0.625 15.000 1.59457397460938 0.813x=1.59457397460938err=3.0000e-005522简单迭代法简单迭代法2.1 简单简单迭代法的一般形式及其几何意迭代法的一般形式及其几何意义义6xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p17显显然，此迭代序列然，此迭代序列发发散。散。8 f=inline(x3+11*x-20,x);iteration(f)enter initial guess x1=1.5allowable tolerance tol=0.01maximum number of iterations max=3zero not found to desired tolerance step x 1.0000 1.5000 2.0000 -0.1250 3.0000 -21.3770ans=1.5000 -0.1250 -21.37709 f=inline(20/(x2+10),x);iteration(f)enter initial guess x1=1.5allowable tolerance tol=0.0000005maximum number of iterations max=20iteration method has convergedstep x 1.000 1.500 2.000 1.63265306122449 3.000 1.579 4.000 1.685 5.000 1.592 6.000 1.59559279984346 7.000 1.59414421311147 8.000 1.59473154634776 9.000 1.59449342271545 10.000 1.59458996763346 11.000 1.59455082476108 12.000 1.59456669477999 13.000 1.59456026047567 14.000 1.59456286918682 15.000 1.59456181151656 16.000 1.5945622403361610代入初代入初值值得：得：例例2的的结结果表明，果表明，对对同一方程可构造不同的迭代格式，同一方程可构造不同的迭代格式，产产生的迭代序列收生的迭代序列收敛敛性也不同。迭代序列的收性也不同。迭代序列的收敛敛性性取决于迭代函数在方程的根的取决于迭代函数在方程的根的邻邻近的性近的性态态。112.2 1.迭代法的收迭代法的收敛敛条件条件1213由定理由定理8.2，迭代收，迭代收敛敛142.3Steffensen(斯蒂芬森斯蒂芬森)方法方法简单简单迭代法的加速迭代法的加速（一）收（一）收敛敛速度速度15（二）二）Steffensen(斯蒂芬森斯蒂芬森)方法方法将将Aitken（埃特肯）加速技巧用于（埃特肯）加速技巧用于线线性收性收敛敛的迭代序列，的迭代序列，即得即得Steffensen方法，其方法，其计计算算过过程程为为16 iter_steffen(leonardo_iter)enter initial guess x1=2allowable tolerance tol=0.000001maximum number of iterations max=10iteration method has convergedstep x 1 2.000 2 1.192 3 1.35956267950143 4 1.36878079644430 5 1.36880810758180 6 1.36880810782137 iteration(leonardo_iter)enter initial guess x1=2allowable tolerance tol=0.0001maximum number of iterations max=10zero not found to desired tolerancestep x 1 2.000 2 0.400 3 1.96160000000000 4 0.47562601431040 5 1.94399636218919 6 0.586 7 1.93485140020862 8 0.52692937882011 9 1.92983865092369 10 0.53641914395953 function f=leonardo_iter(x)f=(20-x.3-2*x.2)/10function f=leonardo(x)%达芬奇在达芬奇在1425年研究此方程年研究此方程%并得到并得到1.368808107f=x.3+2*x.2.+10*x-2017 Newton Newton法法与与弦截法弦截法3.1Newton法法基本思想：将非基本思想：将非线线性方程性方程线线性化，以性化，以线线性方程的解性方程的解 逼近非逼近非线线性方程的解。性方程的解。18由此由此导导出迭代公式出迭代公式xyx*x019解：解：代入初代入初值值得：得：Newton法迭代公式法迭代公式为为20由定理由定理8.4，Newton法至少二法至少二阶阶收收敛敛。21以上两种改以上两种改进进都是至少二都是至少二阶阶收收敛敛的。的。22在在Newton公式中，用差商代替公式中，用差商代替导导数，即数，即即得迭代公式即得迭代公式3.2弦截法弦截法23x0 x1切线切线/*tangent line*/割线割线/*secant line*/切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率24证证明略，因弦截法非明略，因弦截法非单单步法，不能用定理步法，不能用定理8.4判判别别证明参考（关治，陆金甫证明参考（关治，陆金甫 数值分析基础）数值分析基础）。25 newton(leonardo,leonardo_pr)enter initial guess x1=2allowable tolerance tol=0.000001maximum number of iterations max=10Newton method has convergedstep x y 1 2.000 16.0000 2 1.46666666666667 2.123851851851853 3 1.372 0.4323 4 1.36881022263390 0.6963 5 1.36880810782267 0.7313 6 1.36880810782137 0.0000ans=2.0000 1.4667 1.3715 1.3688 1.3688 1.3688function f=leonardo_pr(x)f=3*x.2.+4*x+10function f=leonardo(x)f=x.3+2*x.2.+10*x-2026 secant(leonardo)enter initial guess x0=1enter initial guess x1=2allowable tolerance tol=0.000001maximum number of iterations max=10secant method has converged step x y 1 1.000 -7.0000 2 2.000 16.0000 3 1.396 -1.334757951836934 4 1.35791230465787 -0.2290 5 1.369 0.2105 6 1.36880745972192 -0.000 7 1.36880810778288 -0.2143ans=1.0000 2.0000 1.3043 1.3579 1.3690 1.3688 1.368827类似割线法，过三点做类似割线法，过三点做f(x)的二次插值多项式的二次插值多项式4抛物线法（抛物线法（抛物线法（抛物线法（mullermuller法）法）法）法）28y(x)xSecant linex1抛物线插值抛物线插值x2x3Parabola29 mullerEnter function f(x)=x.3+10*x-20enter the initial guess xr=1.75enter the interval length h=0.25enter the toleration tol=0.000001maximum number of iteration max=10 step x y 1 1.5949003375 0.0059626661 2 1.5945609031 -0.0000213915 3 1.5945621166 0.0000000001 4 1.5945621166 0.0000000000muller method has converged30 mullerEnter function f(x)=x.3+2*x.2+10*x-20enter the initial guess xr=1.5enter the interval length h=0.5enter the toleration tol=0.000001maximum number of iteration max=10 step x y 1 1.3702416528 0.0302548158 2 1.3688024583 -0.0001191819 3 1.3688081079 0.0000000011 4 1.3688081078 0.0000000000muller method has converged315 5 非线性方程组的解法非线性方程组的解法牛牛顿顿法：将非法：将非线线性方程性方程线线性化性化32最速下降法：最速下降法：33作业作业:P228 2(只需找出收敛的迭代格式只需找出收敛的迭代格式,并说明理由并说明理由)3(计算计算5次次)P228 8 10(写出公式写出公式,取初值取初值0.5 计算两步计算两步)11(取初值取初值1,计算两步计算两步)13 和和 14(选做选做)34