高阶线性微分方程解的结构

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1、 第十二章 高 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 第 七 节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、线性微分方程的定义 第十二章 第十二章 )()()(22 xfyxQdxdyxPdxyd 时，当0)( xf二阶线性齐次微分方程时，当0)( xf二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn 一、二阶线性微分方程复习: 一阶线性方程)()( xQyxPy 通解: xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)( 非齐次方程特解齐次方程通解Y 第十二章 )( 11 yCxP )( 11

2、yCxQ 0证毕 二、线性齐次方程解的结构)(),( 21 xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证: )()( 2211 xyCxyCy 将代入方程左边, 得 11 yC 22yC 22yC 22yC)()( 1111 yxQyxPyC )()( 2222 yxQyxPyC (叠加原理) )()( 2211 xyCxyCy 则),( 21为任意常数CC定理1. 第十二章 说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如, )(1 xy是某二阶齐次方程的解,)(2)( 12 xyxy 也是齐次方程的解 )()2()()( 1212211 xyCCxyCxyC

3、 并不是通解但是)()( 2211 xyCxyCy 则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第十二章 定义: )(,),(),( 21 xyxyxy n设是定义在区间 I 上的 n 个函数, , 21 nkkk使得Ixxykxykxyk nn ,0)()()( 2211则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， ,sin,cos,1 22 xx在( , )上都有0sincos1 22 xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,1 2xx若在某区间 I 上,02321 xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 , 321 , kkk必需全为

4、 0 ,可见2,1 xx故在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数 第十二章 两个非零函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:)(),( 21 xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()( 2211 xykxyk 1221 )( )( kkxy xy ( 无妨设)0 1 k)(),( 21 xyxy线性无关)( )(21 xy xy 常数思考: )(),( 21 xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),( 21 xyxy必线性相关 第十二章 定理 2. )(),( 21 xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()( 2211 xyCxyCy

5、 数) 是该方程的通解.例如, 方程0 yy有特解,cos1 xy ,sin2 xy 且常数,故方程的通解为xCxCy sincos 21 (自证) 推论. nyyy , 21若是 n 阶齐次方程 0)()()( 1)1(1)( yxayxayxay nnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knn CyCyCy xy tan2 1y为任意常21,( CC 第十二章 三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)( xyxYy Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3. )()()( xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证: 将

6、)(*)( xyxYy 代入方程左端, 得)*( yY )*()( yYxP )*)(*)(*( yxQyxPy )()( YxQYxPY )(0)( xfxf )*()( yYxQ 第十二章 )(*)( xyxYy 故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCY sincos 21 对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCy sincos 21证毕因而 也是通解 . 第十二章 定理 4. ),2,1()( nkxyk 设分别是方程的特解,是方程),2,1()()()( nkxfyxQyxPy k nk kyy 1则)()()( 1

7、 xfyxQyxPy nk k的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 第十二章 定理 5. )(,),(),( 21 xyxyxy n设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()( 2211 xyxyCxyCxyCy nn 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()( )1(1)( xfyxayxay nnn )()( xyxY )(* xy是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解 第十二章 常数, 则该方程的通解是 ( ). 321 , yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()( xfyxQy

8、xPy 的解, 21,CC是任意;)( 32211 yyCyCA ;)()( 3212211 yCCyCyCB ;)1()( 3212211 yCCyCyCC .)1()( 3212211 yCCyCyCD D例3.提示: 3231 , yyyy 都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证) 3322311 )()()( yyyCyyCC 3322311 )()()( yyyCyyCD 第十二章 例4. 已知微分方程)()()( xfyxqyxpy 个解, 2321 xx eyeyxy 求此方程满足初始条件3)0(,1)0( yy的特解 .解: 1312 yyyy 与是对应齐次方程的解,且 xe xeyy yy xx213 12常数因而线性无关,故原方程通解为 )()( 221 xeCxeCy xx x代入初始条件,3)0(,1)0( yy ,2,1 21 CC得.2 2 xx eey 故所求特解为有三 第十二章 补充内容可观察出一个特解0)()( yxQyxPy ,0)()()1( xxQxP若;xy 特解,0)()(1)2( xQxP若;xey 特解,0)()(1)3( xQxP若.xey 特解 第十二章 思考与练习 P331 题1, 3, 4(2), (5)