阶常系数非齐次线性方程

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1、 )(xfqyypy 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程对 应 齐 次 方 程 ,0 qyypy通 解 结 构 ,yYy 常 见 类 型 ),(xPm ,)( xm exP ,cos)( xexP xm ,sin)( xexP xm 难 点 ： 如 何 求 特 解 ？ 方 法 ： 待 定 系 数 法 .)()( xPexf mx一 、 型 设 非 齐 方 程 特 解 为 xexQy )( 代 入 原 方 程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不 是 特 征 方 程 的 根 ，若 )1( ,02 qp),()( xQxQ m可 设 是 特 征 方 程 的 单

2、 根 ，若 )2( ,02 qp ,02 p),()( xxQxQ m可 设 ;)( xm exQy ;)( xm exxQy 是 特 征 方 程 的 重 根 ，若 )3( ,02 qp ,02 p),()( 2 xQxxQ m可 设综 上 讨 论 ,)(xQexy mxk 设 是 重 根是 单 根不 是 根2 ,10k注 意 上 述 结 论 可 推 广 到 n阶 常 系 数 非 齐 次 线 性微 分 方 程 （ k是 重 根 次 数 ） . .)(2 xm exQxy 特 别 地 xAeqyypy 是 特 征 方 程 的 重 根是 特 征 方 程 的 单 根不 是 特 征 方 程 的 根 x

3、 x xexA xepA eqpAy 22 2 ,2 , .23 2 的 通 解求 方 程 xxeyyy 解对 应 齐 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是 单 根 ，2 ,)( 2xeBAxxy 设代 入 方 程 , 得 xABAx 22 ,121 BAxexxy 2)121( 于 是原 方 程 通 解 为 .)121( 2221 xxx exxeCeCy 例 1 型二 、 sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx sincos)( xPxPexf nlx 22 ieePeePe xixinxixilx

4、 xinlxinl eiPPeiPP )()( )22()22( ,)()( )()( xixi exPexP ,)( )( xiexPqyypy 设 ,)(1 ximk eQxy 利 用 欧 拉 公 式 ,)( )( xiexPqyypy 设 ,)(2 ximk eQxy ximximxk eQeQexy ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRex mmxk 次 多 项 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max,10 是 单 根不 是 根 iik注 意上 述 结 论 可 推 广 到 n阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 . .s

5、in4 的 通 解求 方 程 xyy 解 对 应 齐 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 辅 助 方 程 ,4 ixeyy ,是 单 根i ,* ixAxey 故代 入 上 式 ,42 Ai ,2iA ,)cos2(sin22* ixxxxixey ix 所 求 非 齐 方 程 特 解 为 ,cos2 xxy 原 方 程 通 解 为 .cos2sincos 21 xxxCxCy （ 取 虚 部 ）例 2 .2cos 的 通 解求 方 程 xxyy 解 对 应 齐 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 辅 助 方 程 ,2ixxeyy ,2 不 是 特 征 方 程 的

6、根i ,)( 2* ixeBAxy 设 代 入 辅 助 方 程 13 034 A BAi ,9431 iBA ，,)9431( 2* ixeixy 例 3 )2sin2)(cos9431( xixix 所 求 非 齐 方 程 特 解 为 ,2sin942cos31 xxxy 原 方 程 通 解 为 .2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31 ixxxxxx （ 取 实 部 ）注 意 xAexAe xx sin,cos .)( 的 实 部 和 虚 部分 别 是 xiAe .tan 的 通 解求 方 程 xyy 解 对 应

7、 齐 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 用 常 数 变 易 法 求 非 齐 方 程 通 解 ,sin)(cos)( 21 xxcxxcy 设 ,1)( xw ,cos)( tanseclnsin)( 22 11 Cxxc Cxxxxc原 方 程 通 解 为 .tanseclncossincos 21 xxxxCxCy 例 4 三 、 小 结 可 以 是 复 数 ） (),()()1( xPexf mx );(xQexy mxk ,sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ;sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy mmxk (待 定 系 数 法 )只

8、 含 上 式 一 项 解 法 ： 作 辅 助 方 程 ,求 特 解 , 取特 解 的 实 部 或 虚 部 , 得 原 非 齐 方 程 特 解 . 思 考 题写 出 微 分 方 程 xexyyy 22 8644 的 待 定 特 解 的 形 式 . 思 考 题 解 答设 的 特 解 为2644 xyyy *1yxeyyy 2844 设 的 特 解 为 *2y*2y*1* yy 则 所 求 特 解 为 0442 rr 特 征 根 22,1 rCBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （ 重 根 ）*2y*1* yy CBxAx 2 .22 xeDx 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解

9、: 1、 xeyay 2 ； 2、 xxeyyy 323 ； 3、 xxyy cos4 ； 4、 xyy 2sin . 二 、 求 下 列 各 微 分 方 程 满 足 已 给 初 始 条 件 的 特 解 : 1、 0,1,54 00 xx yyyy ； 2、 xx exeyyy 2 , 1,1 11 xx yy ； 3、 )2cos(214 xxyy , 0,0 00 xx yy . 练 习 题 三 、 含 源在 CLR , 串 联 电 路 中 ,电 动 E势 为 的 电 源 对电 充 电容 器 C .已 20E知 伏 , 微 法2.0C ,亨1.0L , 欧1000R ,试 求 合 上 开

10、后关 K 的 电及流 )(ti )(tuc电 压 . 四 、 设 )(x函 数 连 续 ,且 满 足 xxx dttxdtttex 00 )()()( , )(x求 . 练 习 题 答 案一 、 1、 221 1sincos aeaxCaxCy x ； 2、 )323( 2221 xxeeCeCy xxx ； 3、 xxxxCxCy sin92cos312sin2cos 21 ； 4、 212cos10121 xeCeCy xx . 二 、 1、 xey x 45)511(161 4 ； 2、 xxx exexexeey 26)121(612 23 ； 3、 )2sin1(812sin161 xxxy . 三 、 )105sin(104)( 31052 3 teti t (安 ), 105sin()105cos(2020)( 33105 3 ttetu tc (伏 ). 四 、 )sin(cos21)( xexxx .