《总体均数估计》PPT课件.ppt

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1、 1 第六章 参数估计基础 总体 样 本 统计推断：用样本信息推断总体特征，包括参数 估计和假设检验。 2 图示：总体与样本 1x 1x 3x Population sample2 sample1 sample3 sample4 sample5 1x 2x 5x 4x 3 抽样试验（ n=5） 4 抽样试验（ n=10） 5 抽样试验（ n=30） 6 1000份样本抽样计算结果 总体的 均数 总体标 准差 s 均数的 均数 均数标准差 n=5 5.00 0.50 4.99 0.2212 0.2236 n=10 5.00 0.50 5.00 0.1580 0.1581 n=30 5.00 0.

2、50 5.00 0.0920 0.0913 nsnS 7 3个抽样实验结果图示 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19 均 数 频数 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19 均 数 频数 0 5 0 1

3、0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 3 . 7 1 3.92 4 . 1 2 4.33 4 . 5 4 4.74 4 . 9 5 5 . 1 5 5.36 5 . 5 7 5.77 5 . 9 8 6.19 均 数 频数 2 2 1 2.0;5 XSn 0 9 2 0.0;30 XSn 1580.0;10 XSn 8 各样本均数未必等于总体均数； 各样本均数间存在差异； 样本均数的分布为中间多 ， 两边少 ， 左右基本 对称 。 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大 大缩小 。 样本均数的抽样分布具有如下特点 9 10 中心极限定理：

4、 （ 1）从正态总体中作随机抽样，则样本均数服从 正态分布；从偏态总体中作随机抽样，样本含量 n 足够大（ n 30）则样本均数近似服从正态分布。 xs （ 2）从总体均数为 ，标准差为 的正态总体中抽 取例数为 n的样本，样本均数的总体均数为 ，标 准差为 。 11 若 i X 服从正态分布 则 j X 服从正态分布 n 大： 则 j X 近似服从正态分布 若 i X 不服从正态分布 n 小： 则 j X 为非正态分布 12 样本频率的抽样分与抽样误差 黑球的比例为 20%，重复摸球 50次， 计算摸到黑球的频率？ 黑球比例 （ %） 样本频数 样本频率 （ %） 黑球比例 （ %） 样本频

5、数 样本频率 （ %） 8 2 2.00 22 11 11.00 10 4 4.00 24 11 11.00 12 8 8.00 26 6 6.00 14 7 7.00 28 3 3.00 16 11 11.00 30 4 4.00 18 13 13.00 32 1 1.00 20 19 19.00 合计 100 100.00 表 6-3 =20%的随机抽样结果（ n=50） 13 一、抽样误差与标准误 1.抽样误差： 由于抽样造成的样本统计量与总体 参数以及样本统计量与样本统计量之间的差异。 抽样误差是不可避免的，但可以估计。 2.标准误 (Standard error， SE)： 标准误为

6、样本均 数的标准差，用 表示， 是说明样本均数抽样 误差的大小的指标，描述样本均数的离散程度， 反映用样本均数估计或推断总体均数的可靠性。 14 3.标准误的计算 均数的标准误与标准差成正比，与样本例数的平 方根成反比。 若标准差固定不变时，可增加 n而缩小抽样误差。 15 对于二项分布， XB(n,), 则样本频率 其标准误： n n X p p )1( s n pp n ppS p )1( 1 )1( 实际中， 一般未知， 常用 样本频率 p近似代替 则其标准误： 16 4. 标准误的应用 （ 1）表示抽样误差大小，描述（ n相同）样本 统计量的离散程度，反映用样本统计量估计或 推断总体参

7、数的可靠性； （ 2）用于估计总体参数的可信区间； （ 3）用于进行样本均数 /频率的假设检验。 17 标 准 差（ S ） 标 准 误 ( X S ) 1. 表示个体变量值的变异度大小， 即原始变量值的离散程度。公式为： 1 )( 2 n XX S 2. 计算变量值的频数分布范围，如： （ SX 96.1 ）。 3. 可对某一个变量值是否在正常值 范围内作出初步判断。 4 . 用于计算标准误。 1. 表示样本均数抽样误差的大小，即 样本均数的离散程度。公式为： n S S X 2. 计算总体均数的可信 区间，如： （ X SX 96.1 ）。 3. 可对总体均数的大小作出初步的判 断。 4

8、. 用于进行假设检验。 18 1 若某一随机变量 X 服从总体均数为 、总体 标准差为 s 的正态分布 2 ( , )N s ，则可通过 z 变换 ( X s ) 将一般正态分布转化为标准正态分布 N (0, 1 2 ) ， 即 z 分布 ； 二、 t 分布的概念 19 2 若样本均数 X 服从总体均数为 、 总体标准差为 X s 的正态分布 2 ( , ) X N s , 则通 过同样方式的 z 变换 ( X X s ) 也可将其转换为 标准正态分布 N (0, 1 2 ) ，即 z 分布 。 20 , 1 X XX tn S Sn 式中 为自由度 (degree of freedom, d

9、f) 3 实际工作中 ， 由于 未知 ， 用 代替 ， 则 不再服从标准正态分布 ， 而 服从 t 分布 。 Xs XS ( ) / XXS 21 )1,0(),( 2 NzNX xxzx s s nS x S x t x / )1,0(),( 2 NzNX x z s s 22 4. t 分布曲线的特征： （ 1） t 分布是一簇曲线。它受自由度的影响，自由度 不同曲线形状不同。 （ 2） 是 t 分布曲线的参数： n越小， 越小，曲线越平缓 n越大， 越大，曲线越陡峭 n ，曲线近似于标准正态分布曲线。 （ 3）以 0为中心，左右对称呈钟形。 （ 4）标准正态分布是 t 分布的特例。 23

10、 t -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 ( 标准正态曲线 ) = 5 = 1 f(t ) 24 2参数 (only one): 3 t界 值表：详见附表 2，可反映 t分布曲下的面积。 单侧概率或单尾概率：用 ,t表示； 双侧概率或双尾概率：用 /2,t表示。 t界值表：详见附表 2， 可反映 t分布曲 线下的面积 。 单侧概率或单尾概率：用 表示； 双侧概率或双尾概率：用 表示。 2参数 (only one): 3 t 界 值表：详见附表 2，可反映 t 分布曲下的面积。 单侧概率或单尾概率：用 ,t表示； 双侧概率或双尾概率：

11、用 /2,t表示。 25 附表 2 t 界值表 概 率， P 单侧 0 . 2 5 0 . 2 0 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 2 5 0 . 0 1 0 . 0 0 5 0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 5 自由度 双侧 0 . 5 0 0 . 4 0 0 . 2 0 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 2 0 . 0 1 0 . 0 0 5 0 . 0 0 2 0 . 0 0 1 1 1 . 0 0 0 1 . 3 7 6 3 . 0 7 8 6 . 3 1 4 1 2 . 7 0 6 3 1 . 8 2 1 6 3 . 6 5 7 1

12、 2 7 . 3 2 1 3 1 8 . 3 0 9 6 3 6 . 6 1 9 2 0 . 8 1 6 1 . 0 6 1 1 . 8 8 6 2 . 9 2 0 4 . 3 0 3 6 . 9 65 9 . 9 2 5 1 4 . 0 8 9 2 2 . 3 2 7 3 1 . 5 9 9 3 0 . 7 6 5 0 . 9 7 8 1 . 6 3 8 2 . 3 5 3 3 . 1 8 2 4 . 5 4 1 5 . 8 4 1 7 . 4 5 3 1 0 . 2 1 5 1 2 . 9 2 4 4 0 . 7 4 1 0 . 9 4 1 1 . 5 3 3 2 . 1 3 2 2 .

13、7 7 6 3 . 7 4 7 4 . 6 0 4 5 . 5 9 8 7 . 1 7 3 8 . 6 1 0 5 0 . 7 2 7 0 . 9 2 0 1 . 4 7 6 2 . 0 1 5 2 . 5 7 1 3 . 3 6 5 4 . 0 3 2 4 . 7 7 3 5 . 8 9 3 6 . 8 6 9 6 0 . 7 1 8 0 . 9 0 6 1 . 4 40 1 . 9 4 3 2 . 4 4 7 3 . 1 4 3 3 . 7 0 7 4 . 3 1 7 5 . 2 0 8 5 . 9 5 9 7 0 . 7 1 1 0 . 8 9 6 1 . 4 1 5 1 . 8 9 5

14、 2 . 3 6 5 2 . 9 9 8 3 . 4 9 9 4 . 0 2 9 4 . 7 8 5 5 . 4 0 8 8 0 . 7 0 6 0 . 8 8 9 1 . 3 9 7 1 . 8 6 0 2 . 3 0 6 2 . 8 9 6 3 . 3 5 5 3 . 8 3 3 4 . 5 0 1 5 . 0 4 1 9 0 . 7 0 3 0 . 8 8 3 1 . 3 8 3 1 . 8 3 3 2 . 2 6 2 2 . 8 2 1 3 . 2 5 0 3 . 6 9 0 4 . 2 9 7 4 . 7 8 1 10 0 . 7 0 0 0 . 8 7 9 1. 3 7 2 1 .

15、 8 1 2 2 . 2 2 8 2 . 7 6 4 3 . 1 6 9 3 . 5 8 1 4 . 1 4 4 4 . 5 8 7 21 0 . 6 8 6 0 . 8 5 9 1 . 3 2 3 1 . 7 2 1 2 . 0 8 0 2 . 5 1 8 2 . 8 3 1 3 . 1 3 5 3 . 5 2 7 3 . 8 1 9 22 0 . 6 8 6 0 . 8 5 8 1 . 3 2 1 1 . 7 1 7 2 . 0 7 4 2 . 5 0 8 2 . 8 1 9 3 . 1 1 9 3 . 5 0 5 3 . 7 9 2 23 0 . 6 8 5 0 . 8 5 8 1 .

16、3 1 9 1 . 7 1 4 2 . 0 6 9 2 . 5 0 0 2 . 8 0 7 3 . 1 0 4 3 . 4 8 5 3 . 7 6 8 2 4 0 . 6 8 5 0 . 8 5 7 1 . 3 1 8 1 . 7 1 1 2 . 0 6 4 2 . 4 9 2 2 . 7 9 7 3 . 0 9 1 3 . 4 6 7 3 . 7 4 5 25 0 . 6 8 4 0 . 8 5 6 1 . 3 1 6 1 . 7 0 8 2 . 0 6 0 2 . 4 8 5 2 . 7 8 7 3 . 0 7 8 3 . 4 5 0 3 . 7 2 5 -t t 0 26 三、总体参数的

17、估计 1.参数估计 ：用样本统计量估计总体参数。包括点 估计和区间估计。 （ 1）点估计 (Point Estimation)：直接用样本指标作 为总体参数的估计； （ 2）区间估计 (Interval Estimation) ：用预先给定 的概率（可信度、把握度 1- ）估计总体参数所在 的范围。此范围称为置信区间（可信区间）： Confidence Interval, CI 27 1点估计 (point estimation) 用相应样本统计量直接作为其总体参数的估计值。 、 S估计 s 代替，用代替如用 sx 其方法虽简单，但未考虑抽样误差的大小。 28 按预先给定的概率 (1)所确定的

18、包含 未知总体参数的一个范围 。 总体均数的区间估计： 按预先给定的 概率 (1)所确定的包含未知总体均数的一 个范围 。 如给定 =0.05,该范围称为参数的 95%可信区 间或置信区间； 如给定 =0.01,该范围称为参数的 99%可信区 间或置信区间 。 2 区间估计 (interval estimation)： 29 总体均数置信区间的计算需考虑： （ 1） 总体标准差 s是否已知 ， （ 2） 样本含量 n的大小 通常有两类方法： （ 1） t分布法 （ 2） z分布法 总体均数置信区间的计算 30 总体均数置信区间的计算 1、 t分布法 当总体标准差 未知且 n50时 ）即（ xx

19、 x stxstx stx ,2/,2/ ,2/ , 总体均数的双侧（ 1-）置信区间 总体均数的单侧（ 1-）置信区间 xx stxstx ,2/,2/ 31 例 5 - 3 某地 27 名健康成年男子血红蛋白 的均数 125g L (c m ) ，标准差 15g L ，求其总体均数的 95% 和 99% 置信 区间。 32 Lgstx Lgstx t x x /)02.133,98.116( 27 15 779.2125 /)94.130,06.119( 27 15 056.2125 .779.201.0 ,056.2t0.0526,1-n 2 27,n 26,2/01.0 26,2/05

20、.0 262/01.0 0 . 0 5 / 2 , 2 6 ， 时， 时，双侧 ，查附表本例 33 2、 正态分布近似法 当 已知 或 未知，但 n50 时 ）即（ xx x zxzx zx ss s 2/2/ 2/ , 总体均数的双侧（ 1-）置信区间 ）即（ xx x szxszx szx 2/2/ 2/ , 34 总体均数的单侧（ 1-）置信区间 xx zxzx ss 或 xx szxszx 或 35 例 3-3 某地抽取正常成年人 200名 ，测得其 血清胆固醇的均数为 3.64 mmol/L，标准差为 1.20mmol/L，估计该地正常成年人血清胆固醇 均数的 95%置信区间。 36

21、 故该地正常成年人血清胆固醇均数的双侧 95% 可信区间为 (3.47, 3.81)mmolL。 本例 n =2 0 0 5 0 ，故可采用正态近似的方法 计算 置信 区间。今 X =3 .64 、 S =1 .20 、 n =2 0 0 、 XS =0 .08 4 9 ， 取双尾 0 .05 得 Z a / 2 = 1 .96 3 . 6 4 1 . 9 6 0 . 0 8 4 9 ( 3 . 4 7 , 3 . 8 1 ) ( m m o l / L ) 37 参数估计的方法： （ 1） 已知，根据正态分布原理， 95%、 99%CI： （ 2） 未知， n较小，据 t分布原理： 95%、

22、 99%CI： x x s96.1 xSx 58.2 xStx ,05.0 xStx ,01.0 （ 3） 未知， n较大，据近似正态分布原理， xSx 96.1 xx s58.2 38 正态分布法 样本含量 n足够大， np与 n(1-p)均 5时 , p Szp 2/ 总体概率的置信区间计算 39 For example 例 6-6 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名 ， 检出乳腺癌患者 94例 ， 检出率为 78.3%。 估计该仪 器乳腺癌总体检出率的 95%置信区间 。 95%的置信区间为： 该仪器乳腺癌总体检出率的 95%置信区间 （ 70.9%， 85.7% ） 857.0

23、709.0 120 )783.01(783.0 96.1783.0 )1( 2/05.02/ n pp ZpSzp p 40 查表法 当样本含量较小（如 n50 ）， np或 n(1 p)6 0 ： X Xu s 或 X X u S * 正 态 分 布 ： X u S * 偏 态 分 布 ： P X P 100 X 用 途 总 体 均 数 的 区 间 估 计 绝 大 多 数 ( 如 95 % ) 观 察 对 象 某 项 指 标 的 分 布 范 围 * , t 也 可 用 / 2 , t ( 对 应 于 双 尾 概 率 时 ) * , u 也 可 用 / 2 , u ( 对 应 于 双 尾 概 率 时 )