八年级数学上册 15.4因式分解（第2课时）教案 人教新课标版

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1、15.4因式分解（2）完全平方公式 教学目标 （一）教学知识点 1完全平方公式的推导及其应用 2完全平方公式的几何解释 （二）能力训练要求 1经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力 2重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力 （三）情感与价值观要求 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 教学方法 自主探索法 有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的

2、目的 教具准备 投影片 教学过程提出问题，创设情境 师请同学们探究下列问题： （出示投影片） 一位老人非常喜欢孩子每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘， （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 生（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖 （2）第二天老人一共给了这些孩

3、子b2糖 （3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖 （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法即： （a+b）2（a2+b2） 我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题 师老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题导入新课 师能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？ 生可以我们知道a2=aa，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了 师像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律 （出示投影片） 计算下列各式，你能发现什么规

4、律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p（-1）+（-1）p+（-1）（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（-2）（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（

5、a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 生乙我还发现（1）结果中的2p=2p1，（2）结果中4m=2m2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用 师大家分析得很好可以用语言叙述吗？ 生两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍 生它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 师很有道理它和平方差公式一样，使整式运算简便易行于是我们得到完全平方公式： 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方

6、和，加（或减）它们的积的2倍 符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式 （出示投影片）你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ 生甲先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b 生乙还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和 生丙阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）

7、2=a2+ab+b2这正好符合完全平方公式 生丁那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了 如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2这也正好符合完全平方公式 师数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征

8、现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了 （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块 应用举例： 出示投影片： 例1应用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2运用完全平方公式计算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+24mn+n2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法

9、一： （y-）2=y2-2y+（）2 （a-b）2=a2-2ab+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2y（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2（-a）b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 从（3）、（4）的计算可以发现： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1022=（100+2）2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-21001+12 =

10、10000-200+1 =9801 师请同学们总结完全平方公式的结构特征 生公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍 师说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式随堂练习 课本练习1、2课堂小结（略）课后作业 课本习题1542、4、7题三级训练 板书设计 15421 完全平方公式（一） 一、1提出问题：（a+b）2-a2+b2=？ 2探究公式：（ab）2=a22ab+b2 3完全平方公式的几何意义： 二、应用举例：利用完全平方公式计算：

11、例1（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 例2（1）1022 （2）992 三、巩固练习 四、小结 完全平方公式（二） 教学目标 （一）教学知识点 1添括号法则 2利用添括号法则灵活应用完全平方公式 （二）能力训练目标 1利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力 2进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义 （三）情感与价值观要求 鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神 教学重点 理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用 教学难点 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的 教学方法 引导探究相结合 教师由去括号法则引入添括

12、号法则，并引导学生适当添括号变形，从而达到熟悉乘法公式应用的目的 教具准备 投影片（或多媒体课件） 教学过程提出问题，创设情境 师请同学们完成下列运算并回忆去括号法则 （1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c） 生解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括号法则： 去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合 也就是说，遇“加”不

13、变，遇“减”都变 师4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等所以可以写出下列两个等式： （1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2） 左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？ （学生分组讨论，最后总结） 生添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 也是：遇“加”不变，遇“减”都变 师能举例说明吗？ 生例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也

14、就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值 师你说得很有条理，也很准确 请同学们利用添括号法则完成下列练习： （出示投影片） 1在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2判断下列运算是否正确 （1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2

15、a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5） （学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学） 总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确 导入新课 师有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵请同学们分组讨论，完成下列计算 （出示投影片）例：运用乘法公式计算 （1）（x+2y-3）（x-2y+3）

16、 （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3） （让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的） 分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，以便利用乘法公式，达到简化运算的目的 （2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算 （3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算 （4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算

17、出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误随堂练习课时小结 通过本节课的学习，你有何收获和体会？ 生我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算 生我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等 师同学们总结得很好在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现 课后作业 课本习题1545、6、8、9题 板书设计 完全平方公式（二） 一、去括号法则：a+（b+c）=a+b+c a-（b+c）=a-b-c 添括号法则：a+b+c=a+（b+c） a+b+c=a-（-b-c） 做一做： 1填空：（略） 2判断下列运算是否正确： （1）方法一：用去括号法则验证 方法二：用添括号法则验证 二、乘法公式的深化应用 例：计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）