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1、 函数之函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性一定义：假设T为非零常数 ,对于定义域内的任一x ,使恒成立那么f(x)叫做周期函数 ,T叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 ,那么是以为周期的周期函数；2、 假设函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 假设函数 ,那么是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),那么f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、假设函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),那么f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、 ,那么是以为周期的周期函数.7、 ,那么是以为周
2、期的周期函数.8、 假设函数y=f(x)满足f(x+a)= (xR ,a0),那么f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、 假设函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,那么f(x)为周期函数且2b-a是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称 ,那么函数是以为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称 ,那么函数 是以为周期的周期函数；12、 假设偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称 ,那么f(x)为周期函数且2是它的一个周期。13、假设奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称 ,那么f(x)为周期函数且4是它的一个周期。14、假设函数y=f(x)满
3、足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),那么f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、假设奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR ,T0),那么f()=0.三、两个函数的图象对称性1、 与关于X轴对称。换种说法：与假设满足 ,即它们关于对称。2、 与关于Y轴对称。换种说法：与假设满足 ,即它们关于对称。3、 与关于直线对称。换种说法：与假设满足 ,即它们关于对称。4、 与关于直线对称。换种说法：与假设满足 ,即它们关于对称。5、 关于点(a,b)对称。换种说法：与假设满足 ,即它们关于点(a,b)对称。6、 与关于直线对称。7、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足 ,那
4、么函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足 ,那么函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足 ,那么函数的图象关于直线y轴对称.特别地 ,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数满足 ,那么函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足 ,那么函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足 ,那么函数的图象关于原点对称.特别地 ,推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.经典试题：知识梳理对于函数 ,存在非0常数T ,使得对于其定义域内总有 ,那么称的常数T为函数的周期.1.周期函数的定义：对于函数 ,存在非0常数T ,使得对于其定义域内
5、总有 ,那么称的常数_为函数的周期.2.周期函数的性质： 的周期为_；的周期为_；如的周期为_；的周期为_；的周期为_；的周期为_；的周期为_；如果奇函数满足的周期为_；如果偶函数满足的周期为_；二、经典例题例1、安徽卷函数对于任意实数满足条件 ,假设那么_例2、 函数是定义在上的周期函数 ,周期 ,函数是奇函数又知在上是一次函数 ,在上是二次函数 ,且在时函数取得最小值证明：； 求的解析式例3、设函数是以3为周期的奇函数 ,且那么 A. 2 B. 1 D. -1 例4、2019山东定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),那么,f(6)的值为 ( )A.1 B.0 C. 1 D.
6、2例5、函数fx是定义域为R的偶函数 ,又是以2为周期的周期函数.假设fx在1 ,0上是减函数 ,那么fx在2 ,3上是( )A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数例6、定义在R上的函数是偶函数 ,对时 ,的值为 A2B4C2D4例7、定义在R上的函数既是奇函数 ,又是周期函数 ,是它的一个正周期.假设将方程在闭区间上的根的个数记为 ,那么可能为( ) A.0 B.1C.3 D.5 跟踪练习：1、 函数对于任意实数满足条件 ,假设那么_2、函数是一个以4为最小正周期的奇函数 ,那么 A0B4C4D不能确定3、 设是上的奇函数 , ,当时 , ,那么等于_4、 定义在上的函
7、数是以2为周期的奇函数 ,那么方程在上至少有_个实数根5、是偶函数 ,且=993 ,=是奇函数 ,求的值6、定义在R上的函数f(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数 ,那么f(1)f(4)f(7)等于()A1B0C1D47、f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数 ,且f(2)0 ,那么方程f(x)0在区间(6,6)内解的个数的最小值是()A10 B8 C6 D48、定义在R上的奇函数f(x) ,满足f(x4)f(x) ,且在区间0,2上是增函数 ,那么()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)9、设
8、函数f(x)在( ,)上满足f(2x)f(2x) ,f(7x)f(7x) ,且在闭区间0,7上 ,只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2009,2009上的根的个数 ,并证明你的结论10、函数对任意实数均有 ,且存在非零常数1求的值； 2判断的奇偶性并证明；3求证是周期函数 ,并求出的一个周期. 11、函数是定义在上的周期函数 ,周期 ,函数是奇函数又知在上是一次函数 ,在上是二次函数 ,且在时函数取得最小值。证明：； 求的解析式； 求在上的解析式。课后作业：1、设偶函数对任意 ,都有 ,且当时 , ,那么 2、设函数是定义在上的奇函数
9、,对于任意的 ,都有 ,当时 , ,那么 是定义在实数集上的函数 ,满足 ,且时 ,.求时 ,的表达式；证明是上的奇函数朝阳模拟函数的图象关于点对称 ,且满足 ,又 , ,求的值六走向高考： 福建是定义在上的以为周期的奇函数 ,且在区间内解的个数的最小值是 安徽定义在上的函数既是奇函数 ,又是周期函数 ,是它的一个正周期假设将方程在闭区间上的根的个数记为 ,那么可能为 (全国)函数为上的奇函数 ,且满足 ,当时 , ,那么等于( ) 安徽函数对于任意实数满足条件 ,假设 ,那么 (福建文是周期为的奇函数 ,当时 ,设那么天津定义在上的函数既是偶函数又是周期函数 ,假设的最小正周期是 ,且当时
10、, ,那么的值为天津设是定义在上的奇函数 ,且的图象关于直线对称 ,那么 广东设函数在上满足 , ,且在闭区间上 ,只有试判断函数的奇偶性；试求方程在闭区间上的根的个数 ,并证明你的结论9、定义在在上是减函数。下面四个关于的命题：是周期函数；的图象关于对称；在上是减函数；在上为增函数。其中真命题的序号为 . 10、 函数是定义在上以2为周期的周期函数 ,同时又为偶函数 ,并且在区间上 , ,那么当时 ,_11、定义域为的函数满足 ,且为偶函数 ,那么 A是周期为4的周期函数 B是周期为8的周期函数C是周期为12的周期函数 D不是周期函数12、函数满足: ,那么=_.6 / 66 / 66 / 6
第七讲 函数之周期性与对称性
