大学物理-第六章静电场.ppt

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1、2009级信管专业 第六章 静电场 Electrostatic Field 2009级信管专业 电与磁：物理学的第二次大综合 法拉第的电磁感应定律： 电磁一体 麦克斯韦电磁场统一理论（ 19世纪中叶）； 赫兹在实验中证实电磁波的存在，光是电磁波 . 技术上的重要意义：发电机、电动机、电磁控制、 无线电技术等。 库仑发现：静止的电荷与电荷间的相互作用； 奥斯特的发现： 电流的磁效应； 安培发现：电流与电流间的相互作用规律； 2009级信管专业 2009级信管专业 本章主要内容 1、静电场的基本性质和规律。 2、 两个基本 概念： 电场强度和电势 场强、电势的叠加原理 3、静电场的两个基本规律：

2、高斯定理和环路定理 4、静电场中导体的静电平衡，电介质。 5、电容。 6、静电场能量。 2009级信管专业 第一节 库仑定律、电场强度 一、库仑定律 (Coulombs Law) f q1 q2 r12 3 0 1 4 qq fr r 12 2 qqf r ) CmN (1085.8 221120 0为真空中的电容率 (permittivity)或介电常数 (dielectric constant)： 真空中两个静止 点电荷 之间的作用力 f 2009级信管专业 关于电荷 1 电荷有正负之分； 3 同性相斥，异性相吸； 强子的夸克模型具有分数电荷（ 1/3或 2/3电子电荷） 但实验上尚未直接

3、证明。 C10602.1 19e2 电荷量子化；电子电荷 ),3,2,1( nneq 电荷守恒定律 在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统 所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。 2009级信管专业 电荷 电场 电荷 静电场： 静止电荷所产生的电场 二、电场强度 激发 激发 作用力 作用力 为了考察电场对电荷的作用引入 试探电荷 q0 ：所带电量 足够小的点电荷。测量 q0在不同位臵所受的电场力 。 f 0fq 对于电场中的一个固定点，比值 是一个大小与 方向都与 q0无关的量，反映了该点处电场本身的性质， 称为电场强度： 0 fE q 2009级信管专业 单位： N/C或 V/m 电

4、场强度是矢量。 如果空间各点的场强都相等的电场，称为匀强电场。 已知电场强度分布时，点电荷 q在场中某点处所受 的力为： EqF 0 fE q 电场强度 电场强度定义：电场中某点的电场强度在量值上等于放 在该点的单位正试探电荷所受的电场力，其方向与正电 荷受力方向一致。 2009级信管专业 点电荷的场强 0 02 04 qq fr r 0 f E q 023 0044 qqE r r rr q 0q r f 从上式可看出点电荷场强具有球对称性，并且： 当 q0 时， 的方向与 的方向相同； 当 q0时， 的方向与 的方向相反。 E E r r 2009级信管专业 点电荷系的场强 1 11 3

5、014 qEr r 3 04 i ii i q E E r r 2q 1q P E 2E 1E 21 EEE 122 3 024 qEr r 2009级信管专业 点电荷系在空间某点产生的场强等于各点电荷单独存 在时在该点产生的场强的矢量和。 21 EEE 场强叠加原理 2q 1q P E 2E 1E n i iEE 1 2009级信管专业 电荷连续分布的带电体的场强 02 0 dd 4 qEr r 因此，整个带电体在 P 点的场强： 02 0 dd 4 qE E r r dE 体电荷 d dqV 线电荷 d dql 面电荷 d dqs 电荷元 在 P 点的场强 dq dq P r 2009级信

6、管专业 电偶极矩 : p q l 例 求在电偶极子 (electric dipole)延长线上任一点 P 的 场强。 q l q q q r O P EE 20 24 lr qE 2 0 24 lr qE 解 2009级信管专业 22240 41 12 4 rlr rlqEEE P 22 4 0r l l r 33 00 22 44P q l pE rr 方向与电偶极矩方向相同，写成矢量式 : 3 0 2 4 pE r 2009级信管专业 例 计算电偶极子中垂线上任一点 P 的场强。 -q q l r P c o sc o s EEE P 22044 qEE rl 42 c o s 22 lr

7、 l 23220 44c o s2 lr qlEE P 解 E E PE 2009级信管专业 23220 44c o s2 lr qlEE P rl 33 00 44P q l pE rr 3 04 P pE r 2009级信管专业 一、电场线、电通量 为了形象直观的描写电场的性质，引进一系列曲线，叫 做 电场线 (electric field lines)或电力线 ： 电场线上一点的 切线方向 表示该点场强的方向， 电场线 的 疏密 表示该点处场强的大小。 E 第二节 电通量、高斯定理 1、电场线 2009级信管专业 点电荷的电场线 + 2009级信管专业 + 一对等量异号电荷的电力线 20

8、09级信管专业 + + 一对等量正点电荷的电力线 2009级信管专业 一对异号不等量点电荷的电力线 2q q + 2009级信管专业 平板电容器中的电力线 + + + + + + + + + 2009级信管专业 静电场中电场线的特点 3、电场线 密集处电场强，电场线稀疏处电场弱 。 1、电场线 起始于正电荷，终止于负电荷，不会中断。 2、电场线 不闭合，不相交。 2009级信管专业 2、电通量 (electric flux): 电通量：通过电场中某一曲面的电场线条数。 均匀电场中通过平面的电通量 S E ESe c o s e ES 2009级信管专业 非均匀电场或曲面的情况 d co s d

9、 de E S E S c o s d de SS E E S ddS S n 由此可得，在电场中对曲面 S 的电通量为： 2009级信管专业 闭合曲面上的电通量 de S ES 90 ， 穿入，电通量为负 = 90 ， 电通量为零 取 外法线方向 Sd + n n 2009级信管专业 例 求均匀电场中半球面 S1 的电通量 。 E R O 1S n 2S 1 1 dS S ES 1 2 2S E S E R 解 注意到半球面 S1的投影即为 圆面 S2。因此有： n n n 2009级信管专业 o z y x 例 三棱柱放在电场强度为 E = 200 NC-1 的均匀电场 中，求通过此三棱柱

10、面上的电通量。 S1 S3 111 c o s ESES 0432 155 c o s ESES 054321 E n 解 两个侧面及底面的电 通量为零： 对整个三棱柱的电通量即为这五个面的通量之和： 2009级信管专业 二、高斯定理 (Gausss Law) 现讨论对封闭曲面的电通量问题。 + 1、点电荷在球面的圆心处 dS 2 04 R qE 球面上场强 2 0 dd co s 0 d 4e qSES R 2 22 0 0 0 d 4 44e S q S q qR RR E 2009级信管专业 + S 2、点电荷在任意形状的曲面内 通过任意曲面 S 的电场线也必然先通过球面 S ，即它们

11、的电通量相等，并等于： S 0 de S qES 3、电荷在闭合曲面以外 穿入曲面的电场线条数等于 穿出曲面的电场线条数： + d0e S ES 2009级信管专业 4、一般的情形 任意的带电体系，由多个点电荷组成，其中部分点电荷 q1、 q2、 qn 被某 任意闭合曲面 S 所包围，另外的点 电荷 q1、 q2、 qm 在该闭合曲面之外。则通过 S 的 电通量可由叠加原理求得： 1 2 1 2 de n mS E E E E E E S 0 d 1 , 2 , . .ii S qE S i n 从前述结论可知： d 0 1 , 2 , . . .i S E S i m 因此： 12 100

12、11d n e n iS i E S q q q q 2009级信管专业 在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲 面所包围的所有电荷的代数和再除以 o。 0 1d iS i E S q The total electric flux through a closed surface is equal to the total (net) electric charge inside the surface, divided by 0 . 高斯定理 2009级信管专业 高斯定理的应用 高斯定理普遍适用于任何静电场中，但应用高斯定理只 能计算具有某种对称性分布的源电荷产生的电场， 求解 的关键

13、是选取适当的高斯面 。 常见的具有对称性分布的源点荷有： 1、球对称分布： 包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。 2、轴对称分布： 包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 3、无限大平面电荷： 包括无限大的均匀带电平面，平板等。 2009级信管专业 例 求均匀带电球体的场强分布。 （已知球体半径为 R ，带电量为 q ，电荷密度为 ） R 本题中的电荷分布具有球对称性，产生的电场 方向沿半径方向。 （ 1）先求 球外 某点的场强：过球外一点作同心 球面的高斯面 S，对此面 应用高斯定理。 r 0 d S qES 2 0 4 qEr 34 3qR 2 3 2 0 34 r R r q

14、 E 球外 rR 解 方向：沿半径 方向向外。 2009级信管专业 R （ 2）求球体内一点的场强：过球内一 点作同心球面的高斯面 S，对此面应用 高斯定理。 r 3 3 0 2 3 4 34 1 4 r R qrE 0 d i S qES 0 3 0 34 r R qrE 球内 rR，可以 沿径向 积分至无限 远处求出电势： 2009级信管专业 2 0 0 d d d 1 0 d = 4 d 4 R P r r R R rR V E r E r E r q r q R r r ()Vr 0 4 rq R r 0 4 rq R R r V 对于球内各点， rR，同样可以 沿径向 积分至无限远处

15、 求出电势，只是注意球内、球外区域电场不同： 2009级信管专业 例 半径为 R 的均匀带电球体，带电量为 q ， 求电势分布。 (P158习题 12) q R r 解 本题中球内、球外区域电 场不同，前述例题中已经 求出： 2 04 r qE 3 04 R qrE 对于球内各点， rR， 对于球外各点， rR， 因此，可以分别从球内、外出发 沿径向 积分至无限远 处求出球内、外的电势。 2009级信管专业 d d dR r r R U E r E r E r 32 00 dd44R rR q r qrr Rr 22 3 0 ( 3 ) 8 q R r R 对于球内各点， rR： 2 0 dd

16、 4rr qU E r r r 04 q r 对于球内各点， rR： 2009级信管专业 例 均匀带电圆环，带电量为 q ，半径为 a ， 求轴线上任意一点 P 的电势。 0 dd 4 qU r 0 0 0 d1dd 4 4 4LL qqU U q r r r 22 00 44 ax q r qU 解 a r P x x 本题中电荷分布在有限区域， 可以先求出环上 电荷微元 dq 产生 的电势，再应用电势叠加求出整个 环在 P点产生的电势。 当然本题也可以由场强积分法求电势 课后练习。 2009级信管专业 例 图中 q1 = 3.010 8 C ， q2 = -3.010 8 C ， a =

17、8.0 cm , r = 6.0 cm ，求下列过程中 电场力所作的功和电势 能的增量。 （ 1）将电量为 2.010-9 C 的点电荷从无限 远处移到 A 点；（ 2）将此电荷从 A 点移到 B 点；（ 3） 将此点电荷从 C 点移到 D 点。 V 1800 44 220 2 0 1 ar q r q U A J 106.3 6 AA qUW J 106.3 6 AA WWA J 106.3 6 W A B C D r a/2 a/2 r r 1q 2q 解 电场力作功为电势能之差，因此先求电势： 2009级信管专业 A B C D r a/2 a/2 r r （ 2） 044 0 2 0

18、1 r q r qU B J 106.3 0 J 106.3 66 BAAB WWA J 106.3 6 W 1q 2q 2009级信管专业 A B C D r a/2 a/2 r r 1q 2q （ 3） V 18004 4 0 2 22 0 1 rq ra qU C 0DU J 106.3)( 6 DCDCCD UUqWWA J 106.3 6 W 2009级信管专业 4、等势面 (equipotential surface) 电势相等的点所组成的曲面。 用一组等势面描述静电场时规定： 相 邻两个等势面之间的电势差相等。 等势面与电场线处处正交 电场线指向电势降低的方向 等势面和电场线密集

19、处场强量值大， 稀疏处场强量值小 2009级信管专业 电偶极子的等势面 + 2009级信管专业 第四节 静电场中的导体 一、导体的静电平衡条件 oE - F E- + E=0 - - - - - - + + + + + + 静电感应 (induction) 在外电场的作用下，导体 表面出现感应电荷。 静电平衡 静电平衡（ electrostatic equilibrium）状态：导体内部和表面都没有电荷的宏观 定向运动。 导体内部的场强处处为零；导体表面的场强 垂直于导体的表面。 2009级信管专业 二、静电平衡时导体的性质 1、导体是个等势体，导体表面是个等势面 导体内部任意两点 a、 b

20、之间的电势差： d0bab aU U E l E= 0 2、导体内部处处没有净电荷，电荷只能 分布在导体的表面。 S 01 iS E d S q + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 上式对导体内部任意的闭合曲面都 成立，又因为导体内部场强处处为 零，所以上式等于零。 2009级信管专业 电荷在导体表面上的分布规律：静电平衡时，孤立导体表 面某处的电荷面密度与该处表面曲率有关， 曲率越大（曲 率半径越小）的地方电荷密度也越大。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + R R R R - +

21、 + + + + + + + + - + + 尖端放电现象： 2009级信管专业 三、空腔导体和静电屏蔽 1、空腔内无电荷的情况 内表面没有净电荷，电荷只分布在导体外表面。 空腔内场强为零，导体及空腔为等势区域。 电场线在外表面处中断，导体及空腔内无电场线， 在外表面处场强不连续。 2009级信管专业 2、空腔内有电荷 q 的情况 00 iqE 内表面所带电荷为 q 外表面所带电荷为 Q+q 起始于 +q 的电场线在内表面处中断，导体内无 电场线，在内、外表面处场强不连续。 + q q Qq Q 2009级信管专业 3、静电屏蔽（ electrostatic shielding） 空腔导体起到

22、屏蔽外部空间的电场变化对腔内的影响。 接地的空腔导体可以屏蔽腔内电 场的变化对外部空间的影响。 静电屏蔽的应用： （ 1）高压带电作业，金属丝网制成的均压服； （ 2）电气设备金属罩壳接地； （ 3）人体电信号的提取，信号数量级在 mV、 V，装置、导线用金属丝网屏蔽。 2009级信管专业 例 外半径 R1 、 内半径为 R2 的金属球壳中放一半径为 R3 的金属球，球壳和球均带有电量 10-8 C 的正电荷。 求：（ 1）球心的电势。（ 2）球壳电势。 电荷 +q 分布在内球外表面 球壳内表面带电 q 球壳外表面带电 2q R3 R2 R1 + + + + + + + + + + + + +

23、 + + + + + + + - - - - - - - - 电荷分布具有球对称，故场强分布也具有球对称， 可以利用高斯定理求出电场的分布情况。 解 2009级信管专业 30 ( )E r R 12 0 2 ( ) 4 qE r R r 210 ( )E R r R 322 0 ( )4 qE R r Rr 小球内部的电场： 小球外空腔内的电场： 球壳内部的电场： 球壳外部的电场： 则球心处的电势可以通过场强积分求得： 3 2 1 3 2 122 0 0 0 0 00 2d d 0 d d 0 d d 44 R R R r R R R qqU E l E r r r r r rr 123010

24、230 211 44 211 4 RRR q R q RR q 同理球壳处的电势也可以通过场强积分求得： 10 2 0 4 2 4 2 11 R qdr r qU RRr 2009级信管专业 例 两块大导体平板，面积为 S ，分别带电 q1 和 q2 ，两 板间距远小于板的线度。求平板各表面的电荷密度。 2 3 4 1 q1 q2 B A 电荷守恒： 1 2 1 3 4 2 S S q S S q 由静电平衡条件，导体板内 E = 0 0 2222 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 0 4 0 3 0 2 0 1 B A E E 12 14 2 qq S 12 23 2 qq S

25、解 2009级信管专业 第五节 静电场中的电介质 一、电介质的极化 电介质： 电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得 很紧，即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原 子核有一微观的位移，而不象导体中的电子那样，能 够脱离所属原子作宏观运动。因而电介质在宏观上几 乎没有自由电荷，其导电性很差，故也就是通常所说 的 绝缘体 。并且，在外电场作用下达到静电平衡时， 电介质内部的场强也可以不等于零。 2009级信管专业 从分子由正、负电荷中心的分布来看，电介质可分为 两类。 一类电介质，如氦 (He)、氢 (H2)、甲烷 (CH4)等，分子 内正、负电荷中心是重合的，因而 ，故分子电矩 为 零

26、。这类分子称为 无极分子 。 另一类电介质，如氯化氢 (HCl)、水 (H2O)、氨 (NH3)、 甲醇 (CH3OH)等，分子内正、负电荷的中心不相重合， 其间有一定距离，这类分子称为 有极分子 。 电介质在外电场作用下，要发生极化 (polarization)。无 极分子发生位移极化，有极分子发生取向极化。它们的 共同特点是，在电介质某些表面产生束缚电荷 ( bound charge )，并使得介质内部的场强小于外场强。 2009级信管专业 电介质的极化 2009级信管专业 电介质中的场强 匀强电场的例子 0 + + + + + 0E 0 + + + + E 电介质中的总场强为 ， 大小为

27、： 0 E E E 00 0 eE E E E 00 01 ( 1 )ee EE 即： 令 ，并 则： 1 re 00( 1 )er 0 0 0 0rr EE 其中 称为相对介电常数（ relative permittivity）。 r 2009级信管专业 第六节 电 容 (Capacitance) 一、孤立导体的电容 单位： F 例如，真空中孤立导体球带电 q时的电容： 04 qU R 0 4qCRU pF 10F10F 1 126 U QC 对于附近没有其他带电体的孤立导体，其所带的电量 q 与 它的电势 U成正比，比值 q/U是与导体所带电量无关的一 个物理量，用符号 C表示，称为孤立导

28、体的电容： 2009级信管专业 二、电容器的电容 + + + + + - - - - - B A q q E U q UU qC BA 电容器是两个导体组成的系统，用来储存电荷和电能。 在电路中用符号 表示。 电容器电容定义： 例如平行板电容器：两个极板，分别带有电荷 +q和 -q， 两板间电势差为 U。 2009级信管专业 一般的步骤： 1、设电容器充电 q ，求极板间的 场强分布 dB A U E l 2、计算极板间的 电势差 ： 3、由电容器电容定义计算 C。 三、电容器的电容的计算 2009级信管专业 平板电容器 S qE 00 0 0 ddAB qdU U E l E d S 0 A

29、B qSC U U d d + + + + + - - - - - B A q q E S 电容 C与电容器的形状、尺寸、介质的因数有关。 当其中充满电介质后，电容为： C S d 2009级信管专业 圆柱形电容器 2 qE lr dd 2 BB AA RR qrU E r lr ln 2 B A qR lR 2 ln BA qlC U R R RA RB l 2009级信管专业 RA RB 球形电容器 24 qE r 2 11 44 B A R R AB q d r qU r R R 4 AB BA q R RC U R R 2009级信管专业 电容器的串联和并联 U 1U 2U nU qq

30、 qq 1C 2C nC串联 （ in series） : 12 12 12 1 1 1 () n n n U U U U q q q q CC C C CC 1 12 1 1 1 1() 1 n n i iC C CCC 串联电容器组的电容的倒数等于每个电容的倒数之和。 2009级信管专业 并联 （ in parallel） : U 1q 2q nq 1C 2C nC 1 2 1 2()nnq q q q C C C U 12 niC C C CU C q 串联电容器组的电容等于每个电容器电容之和。 2009级信管专业 第七节 静电场的能量 q2 两个点电荷间的相互作用能： (Interac

31、tion Energy) q1 r 在形成任何一个带电系统的 过程中，外力必然要克服电 荷间的相互作用力而作功， 外力所作的功将转化为带电体系的能量。因此任何带电 系统都具有一定的相互作用能。例如两个点电荷间： 2009级信管专业 n 个点电荷系统的相互作用能 n i iiUqW 12 1 Ui 为除 qi 以外的其它点电荷所产生 的电场在 qi 所在点的电势。 连续分布的电荷系统的相互作用能 dq 1 d 2 VW u V 1 d 2 SW u S 1 d 2 L W u l 具体形式视电荷 分布形态而定。 2009级信管专业 一、电容器的能量 dq 外力所作的功转化为系统的 相互作用能。这

32、一过程通过 充电实现。 B A 电容器的充电过程：不断地 把 dq 从 B 板移到 A 板，最 后板间电压达到 U： d d dAB qA q u q C q q ABu C Qdq C qdAA Q 2 0 2 1 2 21 1 1 2 2 2 QW Q U C U C 2 2 QWA C 即为电容器的能量表达式。或： 2009级信管专业 二、电场的能量和能量密度 (Energy Density) 电场具有能量 21 2W C U SC d U E d 21 2 W E Sd 电场能量密度 : 21 2 wE 21dd 2V W w V E V 外力作功形成带电系统，同时建立起电场，因此能量

33、是 储存在电场中的： 电场中单位体积内的能量： 2009级信管专业 例 空气平行板电容器，面积为 S ，间距为 d ，板间插 有一块厚度为 l 的铜板。在电容器充电 Q 后断开电源， 再抽出铜板，问需作多少功？ 抽出前 d SC 0 2 0 U d l 0 1 SSC U d l 2 2 2 21 2 1 02 2 2 Q Q Q lA W W C C S l 抽出后 解 2009级信管专业 R2 R1 例 球形电容器带电 q ，内、外半径分别为 R1 和 R2 ，极 板间充满介电常数为 的电介质。计算电场的能量。 24 qE r 2d 4 dV r r 2 2 24 1 2 3 2 qwE

34、r 解 极板间电场： 取体积微元： 2 1 22 2 12 11dd 88 R VR qqW w V r r R R 21 2 qW C 2009级信管专业 本 章 结 束 2009级信管专业 a y x P 1 2 o 例 真空中一均匀带电直线，电荷线密度为 。 线外有 一点 P ，离开直线的垂直距离为 a ， P 点和直线两端连 线的夹角分别为 1 和 2 。求 P 点的场强。 dx x 电荷元： dq =dx 2 0 dd 4 xE r dEx dEy r d d c o sxEE d d s i nyEE 2 0 d c o s 4 x r 2 0 d sin 4 x r 解 dE 2

35、009级信管专业 t a nxa 2d c s c dxa c s c s in aar 2 0 d c o sd 4x xE r 2 0 d si nd 4y xE r 2 22 00 cs c co s d co s dd 4 cs c 4x a E aa 2009级信管专业 2 1 21 00 co s d s i n s i n 44x E aa 0 si ndd 4y E a 12 0 d co s co s 4yy EE a 对无限长带电直线： 1 = 0 ， 2 = 0 xE a EE y 02 2009级信管专业 例 电荷 q 均匀地分布在一半径为 R 的圆环上。计算 在圆环的

36、轴线上任一给定点 P 的场强。 dd2 qqlR 2 2 2 00 ddd 48 q q lE r R r P x x R r d d co s dxx L L L xE E E E E r 2/32204 Rx qx 2 230 d 8 R o q x lE Rr 解 dE 2009级信管专业 例 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。求 轴线上任一点 P 的电场强度。 r dr 32220 2d d 4 x r r E xr 利用带电圆环场强公式。 d 2 dq r r R P x 2/32204 Rx qx E 环 解 dE 2009级信管专业 2 2 1 2 0 1 2 ( )

37、x E xR 320 220 2d d 4 R x r r EE xr 当 xR 时，对应无限大平板的情况，电场为： 02 E 方向为垂直盘面沿轴线向外！ 2009级信管专业 a Q 例 真空中一半径为 a 的球体，均匀带电 Q ，计算其 电场的能量。 3 04 QrE a 2 04 QE r 343 Q a 场强分布 解 球内 ra： 球外 ra： 2 0 1dd 2VVW w V E V 2 2 2 2 000 114 d 4 d 22 a aE r r E r r 2 0 3 20 Q a 2009级信管专业 三、电场强度与电势的关系 d d c o s dU E l E l dco s

38、 dl UEE l 上式表明：电场中某一点的场强沿任一方向的分量等 于这一点的 电势沿该方向的变化率的负值 。 0n E U dUU U和 U+dU为电势相近的两个等势面。 显然，在沿等势面法线方向的路径 dn 最短。先求电势差： dl c a b dn d dn UE n 沿等势面法线方向的分量为： ，在该方向上 电势的变化率最大！ 2009级信管专业 0 d= g r ad d UU U n n 电势梯度的大小等于电势在该点 最大空间变化率 ；方向沿等势面 法向， 指向电势增加的方向， 电 势梯度是矢量。 电势梯度（ electric potential gradient） 0n E U

39、dUU dl c a b dn 由此可得：电场强度与电势梯度的关系： UE 电场中某点的电场强度为该点处 电势梯度矢量的负值。 2009级信管专业 kzjyix ) ( k z U j y U i x U kEjEiEE zyx 场强与电势梯度的关系表明，场强与电势的空间变化率 有关， 场强为零的地方，电势不一定为零；同样电势为 零的地方，场强不一定为零。 利用这一关系，可以先求出电势，再根据电势梯度求出 电场强度。数学上有如下关系： UE E U 2009级信管专业 例 均匀带电圆环，带电量为 q ，半径为 a 。求轴线上 任一点 P 的场强。 22 04 ax qU 2 2 3 2 0 d

40、 d 4 ( )x U q xEE x x a P x r a x 解 方向：沿 x轴正向。 2009级信管专业 定义电极化强度 pP V :电极化强度 p :分子电偶极矩 的 单位 ： 2mC P P 电介质分子被极化后在表面的形成极化电荷，产生附加 电场 ，这个电场与外电场 的矢量和构成了 空间的 总的电场 ： E 0E E 0 E E E 实验表明，对于各向同性电介质，其内部任意一点的 极化强度与该点的场强成正比： 0ePE 比例系数 是与电介质材料有关的常数，成为极 化率（ electric polarizability） e 二、极化强度和极化电荷 2009级信管专业 + + + +

41、 + + + + + d P S 极化强度和极化电荷 均匀电场中放入电介质，取其中底为 S的圆柱面，有如下关系： ip SdP V S d 在一般情况下，表面极化电荷面密度等 于电极化强度在介质表面外法线方向上 的分量： c o snPP 2009级信管专业 三、电位移、有介质时的高斯定理 0 + + + + + E 0 + + + + P 电场中有电介质时就会产生束缚电荷， 应用高斯定理计算高斯面内的电荷时就 要将束缚电荷考虑进去。 对于图中所示的底面为 S 的 圆柱形高斯 面，应用高斯定理： 00 00 11d ( ) ( ) S E S S S E S S S 00 EP 化简可得 。定

42、义电位移矢量： 0D E P 2009级信管专业 同样可以引入电位移通量。对前述闭合曲面求电 位移通量，可得： 0dS D S D S S 上式右边就是闭合曲面内自由电荷的总量。由此即可得 到有介质时的高斯定理： 0dS D S q 通过任一闭合曲面的电位移通量 ， 等于该闭合 曲面所包围的自由电荷的代数和 。 这一定理是普遍成立的，是真空中高斯定理在电介质 中的应用和推广，适合于各种介质（包括真空）。是 电磁理论的重要方程之一。 2009级信管专业 对于各向同性的均匀电介质，有： 0 0 0 00 ( 1 ) e er D E P E E E E E 2009级信管专业 例 计算电偶极子电场

43、中任一点的电势。 这是求点电荷系电势的问题。 0044 P qqV rr P r- r+ re/2 re/2 r q q co s , co s22eerrr r r r 代入，并化简可得： 23 00 co s 44 ee P qrV rr Pr 解 2009级信管专业 例 求无限长均匀带电直线外任一点 P 的电势。 ( 设线电荷密度为 ) P r 00 0 dd 2rrU E l rr rE 02 r rrrr r r 0 0 0 00 ln2)ln( l n2ln2 0 rU ln2 0 0r 如果势能零点选在 r0=1m处： 解 本题中电荷分布在无限大 的区域，因此不能将无限远处选 为电势零点，而应该选取直线附 近到直线距离一定的地方， 例如 r0处 ，为电势零点。