《理论力学第7章》PPT课件.ppt

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1、第七章 点的合成运动 第七章 点的合成运动 7-1 相对运动、牵连运动、绝对运动 7-2 点的速度合成定理 7-3 牵连运动是平移时点的加速度合成定理 7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成 定理、科氏加速度 理解相对运动、绝对运动和牵连运动及相应三 种速度和三种加速度的定义，恰当选择动点、动系 和定系。 熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动 时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。 目标要求 重点：速度、加速度合成定理的应用。 难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵 连点、牵连速度分析。 重点与难点 定参考系（定系）：固定在地球上的坐标系 动参考系（动系）：固定

2、在其他相对于地球运动 的参考体上的坐标系 绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。 7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动 两个坐标系 三种运动 相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考 体的几个运动组合而成，这种运动称为 合成运动 。 例：飞机螺旋桨上一点 M 运动分析： 动点： 定系： 动系： 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 动点 M相对于机身作圆周运动 螺旋桨上一点 P 与地面固连 与机身固连 动点 M相对于地面作空间曲线运动 机身（刚体）相对于地面的运动 例： AB杆 运动分析： 动点： 定系： 动系： 绝对运动： 相对运动

3、： 牵连运动： AB杆上 A点 与地面固连 与凸轮固连 动点 A相对于地面作直线运动 动点 A相对于凸轮作曲线运动 凸轮的定轴运动 在动参考系上与动点相重合的那一点 （ 牵连 点 ） 的速度和加速度称为动点的 牵连速度 和 牵连加速度 。 的轨迹 相对轨迹 的速度 相对速度 的加速度 相对加速度 rv ra 的轨迹 绝对轨迹 的速度 绝对速度 的加速度 绝对加速度 av aa ea ev 动点在相对运动中 动点在绝对运动中 O x x y y M 已知：管子以 绕 O轴转动，小球 M沿转动 的管子运动，相对速度为 u， OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度 , 解 : 运动分析： 动点：小球；

4、 动系 :与管子固连； 绝对运动： M的曲线运动； 相对运动： M沿管子的直线运动； 牵连运动：管子的定轴转动。 O x x y y M OMv e ev 牵连速度： 牵连加速度： 2en OM OM et 42 2 en 2 ete OM et en 2a r c t a n 牵连运动：管子的定轴转动。 x x t y y t 绝对运动方程 x x t y y t 相对运动方程 c o s s in s in c o s O O x x x y y y x y 动点： M 动系： O x y 由坐标变换关系 绝对、相对和牵连运动之间的关系 牵连运动方程 t tyy txx OO OO 已知：

5、点 M相对于动系 沿半径为 r的圆周以速度 v 作匀速圆周运动 (圆心为 O1 ） ， 动系 相对于 定系 以匀角速度 绕点 O 作定轴转动，如图所 示。初始时 与 重合，点 M与 O重合。 yxO yxO Oxy yxO Oxy 求：点 M的绝对运动方程。 例 7-1 解 : 相对运动方程： r vtrMOy s ins in 1 r vt 动点： 点 动系： yxO M 绝对运动方程： trvtrtrvtryxx s i ns i nc o sc o s1s i nc o s rvtrMOOOx c o s1c o s11 trvtrtrvtryxy c o ss i ns i nc o

6、s1c o ss i n 牵连运动方程： t0 OO xx 0 OO yy 例：小球在金属丝上的运动 牵连点的运动 z x y O M 绝对运动 相对运动 M1 M2 M 7-2 点的速度合成定理 rv ev av 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和 点的速度合成定理 rea vvv 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的一端 A与滑块 用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 绕固定轴 O转动时， 滑块在摇杆 O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲 柄长为 OA=r， 两轴间距离 OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 。 1 例 7-3

7、 大小： 方向： 1OB 解 : s ins inae rvv 22 2 1 e 1 rl r AO v 2.速度分析： ?r rea vvv 1.运动分析： 动点：滑块 A； 动系 :与摇杆 固连； 绝对运动：以 O点为圆心， OA为半径的圆周运动； 相对运动：沿 O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕 O1轴的定轴转动。 已知： 如图所示半径为 R、 偏心距为 e的凸轮，以角速度 绕 O轴转动，杆 AB能在滑槽中上下平移，杆的端点 A始终 与凸轮接触，且 OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆 AB的速度。 例 7-4 大小：？ ？ 方向： OA eOA eOAvv c o tea 解 ：

8、2.速度分析 rea vvv 1.运动分析： 动点： AB杆上 A ； 动系 :与 凸轮 固连； 绝对运动： AB的直线运动； 相对运动：以凸轮中心 C为圆心的圆周运动； 牵连运动：凸轮绕 O轴的定轴转动。 已知： 圆盘半径为 R， 以角速度 1绕水平轴 CD转动， 支承 CD的框架又以角速度 2绕铅直的 AB轴转动，如图 所示。圆盘垂直于 CD， 圆心在 CD与 AB的交点 O处。 求：当连线 OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点 M的绝对速度。 例 7-6 M C D A B 大小： ？ 方向： ？ M C D A B 12 R R 22212r2ea Rvvv )a r c ta n ()

9、a r c ta n ( 1 2 r e v v 解： 1.运动分析： 动点： M点 ； 动系 :固连于框架 BACD； 绝对运动：未知； 相对运动：以 O为圆心的圆周运动； 牵连运动：绕 AB轴的定轴转动。 2.速度分析 rea vvv 1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度； 绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。 点的速度合成定理的解题步骤 1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少

10、一种运动， 不能成为合成运动； 2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 动点、动系的选择原则 （ 1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。 （ 2）运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 取该点为动点，动系固结于运动刚体上。 （ 3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （ 4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时

11、间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。 例 求图示机构中 OC杆端点 C的速度。其中 v与 已知，且设 OA=a, AC=b。 解：取套筒 A为动点，动系与 OC 固连，分析 A点速度，有 rea vvv 例 已知 : 凸轮半径 r , 图示位置时其速度为 v, 。杆 OA靠在凸轮上。 求：杆 OA的角速度。 30 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而 变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点。 凸轮上 C的轨迹是直线，若选 OA为动系，其 相对轨迹也容易确定是直线 解 : 取凸轮上 C点为动点 , 动系固结于 OA杆上。 绝对运动

12、 : 直线运动 , 绝对速度 : ，方向 相对运动 : 直线运动 , 相对速度 : 未知，方向 牵连运动 : 定轴转动 , 牵连速度 : 未知， 待 求，方向 垂直于 OC 根据速度合成定理 作出速度平行四边形 如 图示。 vva rv OA/ OCv e rea vvv 作业： 习题 7-7 7-10 7-11 设动系作平移，由于 x、 y、 z各轴方向不变，故有 ee d d d d aa t v t v OO re rea a d d d d d d aa t v t v t va 从而有 当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度 等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和 7-3

13、 牵连运动是平移时点的加速度合成 定理 点的加速度合成定理 rea aaa 已知： 如图所示平面机构中，曲柄 OA=r， 以匀角速度 O 转动。套筒 A沿 BC杆滑动。 BC=DE， 且 BD=CE=l。 求：图示位置时，杆 BD的角速度和角加速度。 例 7-8 大小： ？ ？ 方向： 2.速度分析 解： 1.运动分析： 动点： 滑块 A ； 动系 :固连于杆 BC上； 绝对运动：以 O为圆心的圆周运动； 相对运动： 滑块 A在杆 BC上的直线运动； 牵连运动： BC的平移。 Or rea vvv r e a Ov v v r e OBD vrB D l 3.加速度分析 沿 y轴投影 tna

14、e es in 3 0 c o s 3 0 s in 3 0a a a n2 t ae e ( ) sin 3 0 3 ( ) c o s 3 0 3 Oa a r l ra l t2 e 2 3 ( ) 3 O BD a r l r B D l rea aaa 大小： r2 ？ ？ 方向： 2BDl rnete aaa 例 已知：凸轮半径 R， v0， a0。 求： 时 , 顶杆 AB的加速度。 60 解：取杆上的 A点为动点， 动系与凸轮固连。 大小： ？ ？ 方向： 速度分析 0v rea vvv 加速度分析 era aaa ent aaa rr 大小： ？ ？ 方向： Rvr /2 0

15、a 将上式投影到 轴上，得 其中 整理得 7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度 合成定理 rra e 称为 科氏加速度 reC 2 va 当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对 加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度 与科氏加速度的矢量和 Crea aaaa M 科氏加速度 大小为： 方向 按右手法则确定 s in2 reC va 科氏加速度 是由于动系为转动 时，牵连运动与相对运动相互影响 而产生的。 rv ev 2rv 2M 3M ev rv 1M 1Mv 法国科里奥利 1792-1843 地球北半球上水流的科氏加速度 自然现象中的科氏加速度 在北半球，河水向北流动时，河水的科氏 加

16、速度向左，则河水必受右岸对水向左的作用 力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江 河，其右岸都受有较明显的冲刷。 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的一端 A与滑块 用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 绕固定轴 O转动时， 滑块在摇杆 O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲 柄长为 OA=r， 两轴间距离 OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。 例 7-9 1.运动分析： 动点：滑块 A； 动系 :与摇杆 固连； 绝对运动：以 O点为圆心， OA为半径的圆周运动； 相对运动：沿 O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕 O1轴的定轴转动。 1OB 解 : 2.速度

17、分析： ?r 大小： 方向： rea vvv 22ar c o s rl rlvv 22 2 22 e 1 e 1 rl r rl v AO v 22 2 ae s in rl rvv 3.加速度分析 Crnetena aaaaa 大小 : 方向 : 沿 轴投影 x 22t 2 2 2 2e 1 3222 22 22 21 ) rl l ra rl l r OA lr lrlr （ Cten aaa ax c o s2 2r1Cna x te rvaaa r11212 2? vAOr 求：该瞬时 AB的速度及加速度。 已知： 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 绕水平 O轴 转动，带动直杆 A

18、B沿铅直线上、下运动，且 O， A， B 共线。 凸轮上与点 A接触的为 ， 图示瞬时凸轮上点 曲率半径为 A ， 点 的法线与 OA夹角为 ， OA=l。 A A A 例 7-10 解： 1.运动分析： 动点： AB杆上 A点 ； 动系 :固连于凸轮； 绝对运动：点 A的直线运动； 相对运动：点 A沿凸轮外边缘的曲线运动； 牵连运动：凸轮绕 O轴的定轴转动。 2.速度分析： ? l 大小： 方向： rea vvv ta nta nea lvv c o sc o ser lvv 沿 轴投影 na e r Cc o s c o sa a a a 23 2 a c o s 2 c o s1 A l

19、la 3.加速度分析 已知： 圆盘半径 R=50mm， 以匀角速度 1绕水平轴 CD转 动。同时框架和 CD轴一起以匀角速度 2绕通过圆盘中心 O 的铅直轴 AB转动，如图所示。如 1=5rad/s, 2=3rad/s。 求：圆盘上 1和 2两点的绝对加速度。 例 7-11 1 2 22212r2ea Rvvv )a r c ta n ()a r c ta n ( 1 2 r e v v 解： 1.运动分析： 动点： 1、 2点 ； 动系 :固连于框架 BACD； 绝对运动：未知； 相对运动：以 O为圆心的圆周运动； 牵连运动：绕 AB轴的定轴转动。 12 R R 大小： ？ 方向： ？ 2.

20、速度分析 rea vvv 点 1的牵连加速度与相对加速 度在同一直线上，于是得 2rea smm1 7 0 0 aaa 3.加速度分析 方向指向轮心 O 对于点 1： ？ 0180s in2 r2C va且： 牵连加速度 0e a 科氏加速度大小为 2reC m m /s15 0090s in2 va 相对加速度大小为 221r m m /s1250 Ra r a r c ta n 5 0 1 2Caa 与铅垂方向夹角 各方向如图，于是得 222212C2ra m m / s1 9 5 3 Raaa 对于点 2： Crea aaaa 1.选取动点和动参考系后，应根据动参考系 有无转动确定是否有

21、科氏加速度； 2. 加速度合成定理的解题步骤 Cnrtrnetenata aaaaaaa 需要注意的问题 1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度； 2.牵连为转动时，加速度分析不要丢掉 ，正 确分析和计算 ； 3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，特 别要注意与静力平衡方程的投影式不同。 4. Ca Ca 22 / va n 作业： 习题 7-19 7-20 7-21 总结 求：矿砂相对于传送带 B的速度。 已知 ： 矿砂从传送带 A落入到另一传送带 B上，如图所示。 站在地面上观察矿砂下落的速度为 ，方向与铅 直线成 300角。传送带 B水平传动速度 。 sm41 v sm32 v

22、例 7-5 大小： ？ 方向： ？ sm6.360c o s2 ea2e2ar vvvvv 21 vv 2146)60s ina r c s in ( r e v v 解： 1.运动分析： 动点：矿砂 M ； 动系 :固连于 传送带 B； 绝对运动：矿砂相对地面的运动； 相对运动：未知； 牵连运动：传送带 B的平移。 2.速度分析 rea vvv 求：丁字形杆的加速度 。 已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A的滑 块，可在丁字形杆的铅直槽 DE内滑动。设曲柄以 角速度 作匀速转动， 。 rOA 例 7-7 DEa A D B E C O rea aaa 2.加速度分析 c o sc o s 2ae raa c o s2e raa DE 解： A D B E C O ae ar aa 1.运动分析： 动点： 滑块 A ； 动系 :固连于 DE上； 绝对运动：以 O为圆心的圆周运动； 相对运动： A沿槽 DE的直线运动； 牵连运动： DE的水平平移。 大小： r2 ？ ？ 方向： A D B E C O