几何与代数科学出版社习题解析第四章1

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1、几何几何与与代数代数关秀翠关秀翠东南大学数学系东南大学数学系习题习题解析解析第四章第四章教学内容和学时分配教学内容和学时分配第四章第四章 n维向量维向量 教教 学学 内内 容容学时数学时数4.1 n维维向量空间向量空间24.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性44.3 子空间的基和维数子空间的基和维数24.4 向量的内积向量的内积24.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构24.7 用用Matlab解题解题 1 能由向量组能由向量组 I:1,s线性表线性表示示 r(A)=r(A,)Ax=有解有解.L(1,2,s)=R(A)1,2,s与与 1,2,t等价等价L(1,2,s)=L(1,2

2、,t)r(A)=r(A,B)=r(B)矩阵方程矩阵方程 AX=B,BY=A都都有解有解.1,t能能由由 1,s线性线性表示表示 AX=B 有解有解.等价的向量组等价的向量组(相同个数相同个数)构成的构成的矩阵必等价矩阵必等价(相抵相抵).).一、向量组的线性表示与等价一、向量组的线性表示与等价反之不成立反之不成立x1 1+x2 2+xs s=只在只在x1=x2=xs=0时成立时成立.(1,s)x=只有零只有零解解.(1,s)x=Ax=有有非零非零解解向量组向量组 1,s-1,s线性相线性相关关向量组向量组 1,s-1,s 线性无线性无关关 r(A)s r(A)=s=向量个数向量个数 某个向量某

3、个向量 i可由其余的向量线性表示可由其余的向量线性表示.共线共面的推广共线共面的推广唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理:I l.i.,I,l.d.可由可由I 唯一唯一线性表示线性表示.Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组由小向量组线性表示大向量组大向量组l.d.Th4.5.若若I可由可由II线性表示线性表示,则则秩秩(I)秩秩(II);且这两个向量组等价且这两个向量组等价 秩秩(I)=秩秩(II).反之不成立反之不成立二、向量组的线性相关与二、向量组的线性相关与线性无关线性无关三、向量三、向量组的极大无关组组的极大无关组(i)I0l.i.;(ii)II0,I0,l.d.

4、I可由可由I0线线性性表示表示命命题题：如果：如果r(1,2,s)=r,则则 1,2,s中任意中任意r个个线线性性无关的向量均无关的向量均为为 1,2,s的极大无关的极大无关组组.极大无关极大无关组组不唯一，任两个极大无关不唯一，任两个极大无关组组都都等价等价.向量空向量空间间V的基的基为为向量向量组组V中的中的极大无关极大无关组组.V的的维数维数为为向量向量组组的的秩秩.齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间V=x Rn|Ax=0的基础的基础解系解系为为向量向量组组V的的极大无关极大无关组组,V的的维数维数为为n r(A).向量组向量组极大无关组极大无关组向量空向量空间间.基基解空间解

5、空间四、向量四、向量空间空间向量空间的例子向量空间的例子基基维数维数 V Rn,对加法数乘封闭对加法数乘封闭Rn本身本身e1,e2,enn零空间零空间 无无0齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间x Rn|Ax=,A Rm nAx=的的基础解系基础解系n r(A)生成子空间生成子空间L(1,s)=k1 1+ks s|k1,ks R 1,s的的极大无关组极大无关组 1,s的的秩秩A的秩的秩A的列向量组的的列向量组的极大无关组极大无关组矩阵矩阵A的列空间的列空间,即即L L(A A1 1,A A2 2,A An n)n r(A)Ax=的的基础解系基础解系A的秩的秩A的列向量组的的列向量组的极

6、大无关组极大无关组A的核空间或零空间的核空间或零空间K K(A A)=)=x x R Rn n|AxAx=A的的值域值域值域值域R R(A A)=)=AxAx|x x R Rn n=L L(A A1 1,A A2 2,A An n)五、向量的内积五、向量的内积 向量向量空间空间基和维数基和维数 一一.内积和正交性内积和正交性二二.标准标准正交基和正交基和Schmidt正交化方法正交化方法 R3Rn线性相关线性相关共线共面共线共面基基直角坐标系直角坐标系 标准正交基标准正交基维数维数仿射坐标系仿射坐标系三三.正交矩阵正交矩阵 维数维数 ,=aibi=T n i=1 将将l.i.向量化向量化为标为

7、标准正交向量准正交向量组组Q(QT)正交正交QTQ=E Q 1=QT Q列列(行行)向量向量组标组标准正交准正交基础解系基础解系本质是解向量组的极大无关组本质是解向量组的极大无关组,维数为维数为n-r(A)(1)r r(A A,b b)=)=r r(A A)+1)+1 AxAx=b b无解无解无解无解b b不能由不能由不能由不能由A A的列向量的列向量的列向量的列向量组线性表示组线性表示组线性表示组线性表示直线直线直线直线(或平面或平面或平面或平面)间无公共点间无公共点间无公共点间无公共点;(2)(2)r r(A A,b b)=)=r r(A A)=n n AxAx=b b有唯一解有唯一解有唯

8、一解有唯一解 b b可由可由可由可由A A的列向的列向的列向的列向量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示 直线直线直线直线(或平面或平面或平面或平面)间有唯一公共点间有唯一公共点间有唯一公共点间有唯一公共点;(3)(3)r r(A A,b b)=)=r r(A A)n n Ax Ax=b b有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解,且通解中含有且通解中含有且通解中含有且通解中含有n n r r(A A)个自由变量个自由变量个自由变量个自由变量,AxAx=0 0的基础解系有的基础解系有的基础解系有的基础解系有n n r r(A A)个解个解个解个解向量向量向量向

9、量b b可由可由可由可由A A的列向量组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示,但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一 直线直线直线直线(或平面或平面或平面或平面)重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线.x=0+k1 1+kn r n r.六六.线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的一般解的一般解 u 作业作业中的问题：中的问题：作业中的问题作业中的问题作业中的问题作业中的问题 证明一组向量证明一组向量线性无

10、关线性无关时，时，最好最好不要假设它们不要假设它们线性相关线性相关，再令线性组合等于，再令线性组合等于0 0；而是直接令线性而是直接令线性组合等于组合等于0 0，再证明所有的组合系数都等于，再证明所有的组合系数都等于0.0.将向量组写成矩阵时，要事先说明向量是列向将向量组写成矩阵时，要事先说明向量是列向量还是行向量，并注意区分向量组等价及矩阵量还是行向量，并注意区分向量组等价及矩阵等价等价.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 A成立的充要条件是成立的充要条件是B成立成立.即即A成立成立 当且当且仅仅当当 B成立成立.即即A成立成立 B成立成立.既要既要证证明必要性明必要性

11、“”，又要，又要证证明充分性明充分性“”8.设设a,b为参数为参数,讨论向量组讨论向量组 的秩的秩;并问并问a,b为何值时为何值时,向量组线性无关？向量组线性无关？解解:令令A中含有一个二阶非零子式中含有一个二阶非零子式 r(A)2当当a=0或或b=1/3时时,r(A)=2.当当a 0且且b 1/3时时,r(A)=3,向量组线性无关向量组线性无关.习题解析习题解析习题解析习题解析第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 11.设设 1,2,s线性均为线性均为n维向量维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：证明：1,2,s线性无关线性无关 1,2

12、,s线性无关线性无关.证证1:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 设设 1,2,s线性无关线性无关.则则 k1 1+k2(1+2)+ks(1+2+s)=.习题解析习题解析习题解析习题解析证明充分性证明充分性:设设 k1 1+k2 2+ks s=.即即(k1+ks)1+(k2+ks)2+ks s=.因为因为 1,2,s线性无线性无关关.所以所以 1,2,s线性无关线性无关.11.设设 1,2,s线性均为线性均为n维向量维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：证明：1,2,s线性无关线性无关 1,2,s线性无关线性无关.证证1:第二章第二章第

13、二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 所以所以 1,2,s 线性无线性无关关.习题解析习题解析习题解析习题解析证明必要性证明必要性:设设 1,2,s线性无关线性无关.因因 1,2,s可由可由 1,2,s线性表示，线性表示，r(1,2,s)r(1,2,s)ss=所以所以 r(1,2,s)=s 11.设设 1,2,s线性均为线性均为n维向量维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：证明：1,2,s线性无关线性无关 1,2,s线性无关线性无关.证证2:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 习题解析习题解析习题解析习题解析由已知可得由已

14、知可得 1=1,2=2 1,3=3 2,s=s s 1,1,2,s 与与 1,2,s等价等价.r(1,2,s)=r(1,2,s)1,2,s线性无关线性无关 1,2,s线性无线性无关关.11.设设 1,2,s线性均为线性均为n维向量维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：证明：1,2,s线性无关线性无关 1,2,s线性无关线性无关.证证3:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 习题解析习题解析习题解析习题解析(1,2,s)=(1,2,s)1,2,s线性无关线性无关 1,2,s线性无线性无关关.因因因因 1 1,s s可由可由可由可由 1 1,

15、s s线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，设设 A=(1,s),B=(1,s),C B=AC|C|=1 0,C 可逆可逆.A=BC 1故故 1,s可由可由 1,s线性表示线性表示.r(1,2,s)=r(1,2,s)设设 i为列向量为列向量.12.已知已知 1,2,3线性无关线性无关,问参数问参数a,b为何值为何值时向量组时向量组 1=a 1+b 2,2=a 2+b 3,3=a 3+b 1线性无关线性无关?解解:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 设设 A=(1,2,3),B=(1,2,3),1,2,3线性无关，线性无关，r(B)=r(1,2,3)=3,|C|=

16、a3+b3 0设设 1,2,3为为n维列向量维列向量组组.则则B=(a 1+b 2,a 2+b 3,a 3+b 1)=AC.r(C)=3,|C|0,习题解析习题解析习题解析习题解析 a+b 0 3=r(B)r(C)3,13.已知已知 能由向量组能由向量组I:1,2,s线性表示线性表示,证明证明:表示方式唯一表示方式唯一 1,2,s线性无关线性无关.证明证明1:(充分性充分性)第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 习题解析习题解析习题解析习题解析 1,2,s线性无关线性无关,能由向量组能由向量组 1,2,s线性表示线性表示,由唯一表示定理知由唯一表示定理知,能由能由I

17、唯一的线性表示唯一的线性表示.(必要性必要性)=l1 1+l2 2+ls s.设设 k1 1+k2 2+ks s=0.=(l1+k1)1+(l2+k2)2+(ls+ks)s.因为因为 的线性表示方式唯一的线性表示方式唯一.k1=k2=ks=0.1,2,s线性无关线性无关.13.已知已知 能由向量组能由向量组I:1,2,s线性表示线性表示,证明证明:表示方式唯一表示方式唯一 1,2,s线性无关线性无关.证明证明2:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 习题解析习题解析习题解析习题解析且且 1,2,s线性无线性无关关.能由向量组能由向量组I:1,2,s线性表示线性表示设

18、设 i为列向量，为列向量，A=(1,s).r(A)=r(A,)Ax=有解有解.能由向量组能由向量组I唯一唯一线性表示线性表示 Ax=有有唯一唯一解解.r(A)=r(A,)=s r(A)=r(A,),且且Ax=只有零只有零解解 能由向量组能由向量组I:1,2,s线性表示线性表示14.设向量组设向量组 1,s线性相关线性相关,1 0,证明存在某证明存在某个个 j(2 j s)可由前可由前j 1个向量个向量 1,j 1线性线性表示表示.证明证明1:第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 设设kj(2 j s)是是最后一个最后一个不为不为0的系数的系数，即即k1,k2,kj

19、1不全为不全为0,kj 0,kj+1=ks=0,向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关设设k1 1+k2 2+kj j+ks s=0.习题解析习题解析习题解析习题解析则存在一组不全为则存在一组不全为0的数的数k1,k2,ks,使得使得 k1 1+k2 2+kj j=0,kj 0.存在某个存在某个 j可由前可由前j 1个向量个向量 1,j 1线性表示线性表示.证明证明2:(反证法反证法)第二章第二章第二章第二章 n n n n维向量维向量维向量维向量 则则ks=0，k1 1=0,假设错误，命题成立假设错误，命题成立.设设任意任意 j(2 j s)都不能由都不能由前前j 1个向量个向量 1,2,

20、j 1线性表示线性表示.设设k1 1+k2 2+ks 1 s 1+ks s=0.同理同理,ks 1=k2=0.因为因为 1 0，k1=0,1,2,s线性线性无无关关,与已知矛盾与已知矛盾.习题解析习题解析习题解析习题解析则则 s都不能由都不能由前前s 1个向量个向量 1,2,s 1线性线性表示表示.14.设向量组设向量组 1,s线性相关线性相关,1 0,证明存在某证明存在某个个 j(2 j s)可由前可由前j 1个向量个向量 1,j 1线性线性表示表示.第三章第三章第三章第三章 矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组

21、3.4 3.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构 证证明明1：17.设向量组设向量组 1,s线性无关线性无关,j=1,2,s,记记A=(aij)s s.证明证明:1,2,s线性无关线性无关 A可逆可逆.j=1,2,s,设设 B=(1,s),C=(1,s),B=CA必要性：设必要性：设 1,s线性无关线性无关 r(A)s则则s=r(B)r(A)=s A可逆可逆充分性：设充分性：设A可逆可逆,C=BA 1故故 1,s可由可由 1,s线性表示线性表示.两向量组等价两向量组等价.r(1,s)=s,则则 1,s线性无关线性无关.设设 i为列向量为列向量.第三章第三

22、章第三章第三章 矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 3.4 3.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构 证证明明2：17.设向量组设向量组 1,s线性无关线性无关,j=1,2,s,记记A=(aij)s s.证明证明:1,2,s线性无关线性无关 A可逆可逆.设设 k1 1+k2 2+ks s=.1,s线性无关线性无关A=(aij)Rs s可逆可逆只有零解只有零解 k1=ks=0.1,2,s线性无关线性无关证证明：明：A正交正交,28.设设A是是n阶正交阵，证明：阶正交阵，证明：(1)|A|=1.(2)若若|A|=1，则则|E+A|=0.|AAT|=|E|A|2=|A|AT|=1.|A|=1.(2)