常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答-(1)

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1、1.4习题答案1. (1)1215, (2) 2.5.2(1) ， (2) , (3) .3.(1), （2) ， （).解： 由于当时, 将保持不变； 当时,将增长; 当时,将减少. 由知，(）当, 即时, 将保持不变.() 当,即或时, 将增长.（3）当， 即或 时, 将减少.57076解:(） 设 为在时刻的放射性同位素质量.则模型为, 为比例系数， 方程的解为 ,由 时, , 得,于是， 又由于 时， 得 ，,因此 .(2)当 时, (3) 质量减半时 ， 得， .7 (1) ， (2), (3) 同样.(1)105， () 769, (3） 2, (4)1689. 解： （1）. (

2、) . (3) , 其中 是捕获量与总量平方根的比例系数.0(1) 趋向于, (2) 鱼的数量递减趋于11.2.13.() 为任意常数 () 为任意常数.(3) 为任意常数.(4)为任意常数.(5)为任意常数,此外也是解.(6) 为任意常数.() 为任意常数, 此外也是解.（8) 为任意常数(9） 为任意常数,此外也是解(10) 为任意常数14(1） .(2) .(3)() 5解: 设, 则可导且, 这样有， 得 , 又, 得. 从而 ，进而 .16.解: 一方面令 ， 由已知可得 , 化简有 , 知 由函数的导数定义 变形为 , 积分得 , 由， 知 ，因此满足条件的函数为 18(1） 为任

3、意常数. (2) 为任意常数.(） 为任意常数（4) .（5） .() .(7)19.()为任意常数.(2) 为任意常数(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.0.直接代入方程验证即可.22.(1） 为任意常数.(2)为任意常数.(） 为任意常数.(4） 为任意常数.3.（1） 为任意常数.(） 为任意常数.(3) 为任意常数.（4) 为任意常数.(5）为任意常数, 此外也是解.(6) 为任意常数.注： 上面的不定积分在这里代表某一种原函数.在附近的所有解是递减的,对的解,当不也许趋于25(1） 取,如图122: (2) 取, 如图1-23. 图1- 图123., 在的直线上，斜率场的斜率标记

4、为水平的; 我们并不能得到有关初始条件的特解的有用信息.28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量为公斤， 则可释得 （2）29.() 最后趋向于000公斤.2.(1) 可解得 .(2) 21810.30设C处电压为,则有, 因此 1.（1） .(2) , (3)(4） , 3.(1) , (2) , (3) , (4).3. 解: 由方程的右端项为 仅为的函数在全平面上持续可微, 从而由存在唯一性定理,给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 一方面由知方程有三个平衡解 (1) 初始条件为 , 初值位于的上方， 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定不小于 , 且 ,知这个解递增,并且随着的递增, 也

5、递增并且越来越大,知在增长时， 在有限时间内爆破,趋向于 .当 减少时, 递减,并且随着的递减趋于, 也递减趋向于0,递减越来越来越缓慢, 知 ， (2) 初始条件为 , 而平衡解满足这一初始条件， 由唯一性， 满足这个初始条件的解就是平衡解 (3) 初始条件为 , 初值位于这两个平衡解的中间, 由唯一性， 满足这个初始条件的解一定满足 , 且 由, 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增但随着趋向于,趋向于0, 增长越来越缓慢, 知， 同样, , . (4)初始条件为 ， 初值位于的下方， 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定不不小于， 且 ,与前面类似讨论知, 在增长时,在有限时间内爆破

6、， 趋向于 当时， .34. 证明： 由于持续可微, 知方程满足存在唯一性定理的条件. 由于是方程的一种解, 必可微，又由于在 处获得极值, 则由极值的必要条件知, 从而 , 知是方程的一种平衡解,并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样的初始条件， 由解的唯一性, 知 3, 其中为任意常数, 这些解的定义区间为.36解: 由, 知它在全平面内持续,又由于, 在除去的区域内持续, 从而在除去的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件，知方程满足初始条件的解在充足小的邻域内存在并且唯一.当 时, 函数是方程过 (0,) 的解.当时, 方程可变形为 ,积分得 ， 为任意常数.当 时, 得特解 是

7、过 (0,0) 的另一种解,其实， 除零解外， 过（0,0)的所有解可以表达为, 其中是满足，的任意常数， 这些解的定义区间为, 但本质上在充足小的邻域 内方程所拟定的过(0,0)的解只有四个,即 函数, 及.37 解: （1) 由得平衡点为 和 . 由于, 因此是汇; 而，因此是源. (2) 由得平衡点为 和 . 当时, , 知为汇; 而， 知为源.相反, 当时, , 知为源; 而, 知为汇 同样和都为汇. (3) 总是不小于0，知方程无平衡点. (4) 由 得平衡点， 且当时，,知, 都为结点.3.（) 图1-24， () 图1-25, (3) 图6,(）图27. 图1 图15 图12 图

8、739.(1)减少时, 在有限时间内趋于(2) .(3）同().（4) 增长时, 在有限时间内趋于.4. 图1-11 解： (a) 相应于(), ()相应于(2), (c) 相应于 ()， (d) 相应于(3）.例21.41.如图1-28 图1284(1) 运用持续函数的介值性定理可证.(2)运用教材中定理1.7和持续函数的介值性定理.(1）汇, () 源， (3) 结点44.解: （1) 当 时, 方程有一种平衡点, 当时, 方程没有平衡点, 当 时， 方程有两个平衡点和,知是方程的分歧值， 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12. () 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或 . 当或时

9、， 方程有一种平衡点, 当 或 时， 方程有两个平衡点和, 当时, 方程没有平衡点， 知和是方程的分歧值,在每个分歧值处均为鞍结点分歧 相线如图1-13. (3） 当时, 方程有一种平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和， 知是方程的分歧值,这是跨越式分歧,相线如图14. (4) 由分歧的必要条件，若为分歧值则满足， 得 或.当，方程有两个平衡点, 当时，方程也有两个平衡点 或 时, 方程有一种平衡点, 当 时， 方程有三个平衡点，知和是方程的分歧值这是复合式分歧. 设， 方程的实根为; 时, 方程的实根为； 时, 方程的实根为, 且,相线如图1-15 图1-1 图1-1 图114 图15 45(1) 是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时, 方程有无穷多种平衡点.（） 是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时, 方程有两个平衡点;当时, 方程有一种平衡点.