单级倒立摆LQR和LQY控制

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1、单级倒立摆的LQR与LQY控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如下图所示。其中：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置(P摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：(M + m)x + bx + mlB. cos 0 一 ml。, sin 0 = F(I + ml 2)0. + mgl sin 0 = 一mlx cos 0倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设0

2、 =兀+8，8为足够小的角度，即可近似处理得：cos0 =-1，sin0 = -8，竺=0。dt 2用u来代表被控对象的输入力，线性化后两个方程如下：(I + ml 2)8 - mgl8 = mlx(M + m) x - bx + ml8 = u取状态变量:X,_o_10.X3X-X4_x_X =即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为:mgl(M +m)X X +tlI(M +m) + MmhI(M +m) + Mmh-ml2土 =、4I + mhX =X +u I(M +m) + MmhI(M +m) + Mmh4将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的

3、状态方程:x = Ax+ Bue=Cx这里设:M =1.32Kgm = 0.07 Kgb = 0.1N / m/ sI = 0.20mI = 0.0009Kg 秫 2将参数带入，有:010038.18250000001-0.3847000A =0-2.803700.74772、LQR控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量 的二次型。考虑线性系统的状态方程为：X (t) = Ax(t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)找一状态反馈控制律：u(t) = -Kx(t)，使得二次型性能指标最小化：1 1J = xt (t)S (t) + j

4、 f xt (t)Q(t)x(t) + utR(t)u(t)dt2 2 10其中，x(t)为系统的状态变量；f、10为起始时间与终止时间；S为终态约 束矩阵；Q(t)为运动约束矩阵；R(t)为约束控制矩阵。其中Q(t)、R(t)决定了 系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：u*(t) = R-1 BtPQ) x(t)式中，矩阵 p(t)为微分 Riccatti 方程：p(t) = p(t)A ATp(t) + p(t)BR-1BTp(t) Q 的解。如果令终止时间tf =8，P (t)为一个常数矩阵，且P(t) = 0，因此以上的Riccatti 方程

5、简化为P(t)A AtP(t) + P(t)BR-iBtP() Q = 0。对于最优反馈系数矩阵K = R-iBTP(t)，使用Matlab中专门的求解工具lqr()来求取K。将LQR控制方法用于倒立摆控制的原理如下图所示。用Matlab求解lqr(A, B, Q, R)可以求出最优反馈系数矩阵K的值。lqr函数需 要选择两个参数R和Q，这两个参数是用来平衡输入量和状态量的权重。其中，Q”代表摆杆角度的权重，而Q33是小车位置的权重。这里选择:25000000100L 000。R = 0.1通过 matlab 求得：K = -82.4246 -10.7034 -10.0000 -11.8512

6、。3、LQY控制取性能指标为1 1J = xt (t)S (t) + j f xt (t)Q(t)x(t) + utR(t)u(t)dt9 f x、f o2 2 10对应控制率为u*(t) = -R-1 BtP()x(t), P满足如下黎卡提方程PA + AtP PBR-1 BtP + CtQC = 0同LQR求解过程求解K = -276.86563.8430 -45.2606-8.62434、仿真通过matlab仿真，LQR控制与LQY倒立摆摆角和小车位移仿真结果如下图 所示。LQR仿真图：123456Sec (sec)step respond of inverted pendulum sy

7、stem3x=yz5postep respond of inverted pendulum systemp0.3LLLLLO0.2O 0.1-A-T/ 0rrrrr-0.100.511.522.53Sec (sec)LQY仿真图上下两条曲线分别为倒立摆摆角和小车位移。4、结果分析从仿真图我们可以看出对于这两种控制方法LQY的控制响应效果更好，图中 明显可以看出LQY控制器的控制下的倒立摆瞬时响应稳定时间更短，而LQR控 制方法下的倒立摆的响应稳定时间几乎是LQY控制器的2倍，但是LQR控制下 的倒立摆超调变化量更小，相对LQY响应过程更加稳定。5、程序LQR方法%Modellinga=0 38

8、.1825 0 -0.3847;1 -0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1 0;b=0;-2.8037;0;0.7477;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0;0;eig(a)Qc=ctrb(a,b);Rc=rank(Qc)if (Rc=4)disp(状态完全能控) elsedisp（状态不完全能控） endQo=obsv(a,c);Ro=rank(Qo)if( Ro=4)disp(状态完全能观测)elsedisp(状态不完全能观测)endQ=250 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0;R=1;K=lqr(a,b,Q,R);x0=0.2,0,0,0;ac=

9、(a-b*K);bc=;cc=c;dc=d;K,P,e=lqr(a,b,Q,R), t=0:0.005:7;figureinitial(ac,b,c,d,x0)title(step respond of inverted pendulum system ) xlabel(Sec) ylabel(Output y=x3) figure y,x,t=initial(ac,bc,cc,dc,x0,t);plot(t,x,y)figure,x1=1 0 0 0*x,plot(t,x1);grid;title(x1的响应曲线)figure,x2=0 1 0 0*x,plot(t,x2);grid;tit

10、le(x2的响应曲线)figure,x3=0 0 1 0*x,plot(t,x3);grid;title( x3的响应曲线) figure,x4=0 0 0 1*x,plot(t,x4);grid;title(x4的响应曲线)LQY方法%Modellinga=0 38.1825 0 -0.3847;1 -0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1 0;b=0;-2.8037;0;0.7477;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0;0;sys=ss(a,b,c,d);eig(a)Qc=ctrb(a,b);Rc=rank(Qc)if (Rc=4)disp(状态完全能控)elsedisp(状态

11、不完全能控)endQo=obsv(a,c);Ro=rank(Qo)if( Ro=4)disp(状态完全能观测)elsedisp(状态不完全能观测)endQ=5000 0;0 100R=1;K,P,e=lqry(sys,Q,R)x0=0.2,0,0,0;ac=(a-b*K);bc=;cc=c;dc=d;t=0:0.005:3 ;figureinitial(ac,b,c,d,x0,t)title(step respond of inverted pendulum system )xlabel(Sec)ylabel(Output y=x3)figurey,x,t=initial(ac,bc,cc,dc,x0,t);plot(t,x,y)figure,x1=1 0 0 0*x,plot(t,x1);grid;title(x1的响应曲线)figure,x2=0 1 0 0*x,plot(t,x2);grid;title(x2的响应曲线)figure,x3=0 0 1 0*x,plot(t,x3);grid;title( x3的响应曲线)figure,x4=0 0 0 1*x,plot(t,x4);grid;title(x4的响应曲线)